6.3等比数列（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 数列 6.3 等比数列 【复习目标】 1.掌握等比数列和等比中项的概念； 2.掌握等比数列的通项与前n项和公式. 【知识梳理内容】 考点1 等比数列的概念及通项公式 1.等比数列的概念 如果一个数列首项不为0，从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个不等于0的常数，这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作公比，记作q，即＝q或表示成an＋1＝an q，an＝，这三个式子都表示数列{an}是等比数列，因此判断一个数列是否是等比数列，只要证明(n∈N*)为常数即可. 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则＝⇒G2＝ab.反之，若G2＝ab(ab≠0)，则＝，即a，G，b成等比数列． 3.通项公式 在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q. 由等比数列的定义可知，＝q，(n≥2) ＝q，…＝q，＝q， 将所有等式左右两边相乘可得··…··＝qn－1，即＝qn－1，an＝a1qn－1.经验证n＝1时也成立． 【即时训练】 1.等比数列的第6项为(  ) A.32 B.64 C.78 D.128 【答案】B 【分析】根据题意，先求出等比数列的首项和公比，结合等比数列的通项公式，即可求解． 【详解】因为等比数列的首项，公比， 所以. 故选:B． 2.已知等比数列的通项公式为，则(  ) A. B. C.2 D.4 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为是等比数列，， 所以，则. 故选:C. 3.在等比数列中，，，则(  ) A.6 B.8 C.3 D.9 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， ，，则， ， 故选:. 4.在数列中，，且，则(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由已知确定数列是等比数列，由等比数列的通项公式得结论． 【详解】由题意可知，， 则， 则数列是公比为的等比数列，因为，则， 则， 故选:. 5.与两数的等比中项是(  ) A.1 B. C. D. 【答案】C 【分析】根据等比中项的公式即可得解. 【详解】与两数的等比中项为， 故选:. 6.已知等比数列的前3项分别为，则的值为(  ) A. B. C.或 D. 【答案】C 【分析】根据题意利用等比中项公式即可得解. 【详解】等比数列的前3项分别为， 则， 解得或， 故选:. 7.在等比数列中，已知，，则_______. 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式求出即可得解. 【详解】等比数列中，已知，， 设公比为， ， 则， 故答案为:. 8.在等比数列中，若，，，则 ________. 【答案】6 【分析】根据题意利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，若，， 设公比为，则，解得， 因为，则， 解得， 故答案为:. 9.已知数列为等比数列， (1)若，，求； (2)若，，求和． 【答案】(1). (2)，. 【分析】(1)根据等比数列的通项公式即可得解. (2)根据题意列出方程组求出首项及公比即可得解. 【详解】(1)由等比数列通项公式，得：. (2)数列为等比数列，且，， 则，则得，所以， 所以，解得， 所以，． 10.一个等比数列的第2项和第3项分别是和， (1)求它的第5项和第6项； (2)求它的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据公比的定义结合已知条件求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求解. (2)根据已知条件求出首项，结合等比数列的通项公式即可求解. 【详解】(1)因为在等比数列中，， 所以数列的公比为， 所以 (2)由(1)可知公比为， 所以，则等比数列通项公式为. 【知识梳理内容】 考点2 等比数列的前n项和公式及性质 1.等比数列前n项和 在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则等比数列的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an， 当q≠1时，根据等比数列的通项公式，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 将①式两边同时乘以公比q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 当q≠1时，Sn＝.将an＝a1qn－1代入可得Sn＝.(上述推导等比数列的前n项和公式的方法叫作错位相减法.) 当q＝1时，Sn＝na1. 2.性质: (1)若m＋n＝p＋q，则am an＝ap aq.(m，n，p，q∈N*) (2)在等比数列中，每连续m项之和构成的数列仍然是等比数列.即若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也构成等比数列.如a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6仍然是等比数列． (3)在等比数列中，每连续m项之积构成的数列仍然是等比数列.如a1a2，a3a4，a5a6仍然是等比数列． 【即时训练】 11.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】A 【分析】根据题意，结合等比数列的性质和通项公式，即可求解. 【详解】因为等比数列中，，所以， 又等比数列的各项都是正数，所以， 所以. 故选:A. 12.在等比数列中，若和分别是方程的两个实数根，则的值为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质求值即可.. 【详解】已知和分别是方程的两个实数根， 可知，所以， 又，所以， 故选:C. 13.在各项均为正数的等比数列中，若，则(  ) A.3 B.4 C.10 D.15 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则及等比数列的性质即可得解. 【详解】各项均为正数的等比数列中，若， 则， 故选:. 14.等比数列1，，，，…的前项和为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由条件求出等比数列的公比，利用等比数列求和公式求其前项和． 【详解】设该数列为，数列的公比为， 所以，则， 故选:. 15.已知等比数列的前项和是，若，，则(  ) A.8 B. C.3 D. 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义求出公比，代入求和公式即可得解. 【详解】因为，所以，所以公比， ，解得， 故选:C. 16.设等比数列的前项和为．若，，则(  ) A.18 B.21 C.63 D.64 【答案】B 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】当，，又， 所以. 故选:B. 17.已知数列为等比数列，前n项和，则a等于(  ) A.3 B.1 C. D. 【答案】B 【分析】首先由时，，得出，再由等比数列的通项公式求出，最后由求值即可. 【详解】已知的前n项和， 则， ， 所以公比，所以， 则，解得， 故选:B. 18.已知等比数列的前项和为30，且前项和为90，则前项和为(  ) A.130 B.170 C.210 D.260 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和的性质求解即可. 【详解】根据等比数列的性质，数列仍成等比数列， 即，公比为2，所以． 故选:C. 19.已知数列是等比数列，且，若，则(  ) A.5 B.10 C.15 D.25 【答案】A 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列中，， 又， 所以， 又，所以. 故选:A. 20.在等差数列中，. (1)求的通项公式. (2)若等比数列满足.求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)首先求出等差数列的公差，再求出等差数列的通项公式求解即可. (2)根据(1)求出，再求出公比，进而得到等比数列的前项和. 【详解】(1)在等差数列中，，则，解得. 则. (2)根据(1)知，. 则. 因此. 21.在等比数列中，已知，公比，前3项和． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据等比数列的前项和公式求解即可. (2)先得到数列的通项公式，证明是等差数列，再结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】(1)因为，， 所以， ，则， 解得或(舍)， 所以数列的通项公式为． (2)因为，所以， 则，， 则数列是首项为，公差为的等差数列， 则的前项和． 22.已知数列是公差为3的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质建立关于首项的方程，进而求出的值，最后得到数列的通项公式； (2)根据等差数列、等比数列的前项和公式分别求出数列和的前项和，再相加即可得出. 【详解】(1)已知数列是公差为的等差数列， 可得，， 因为成等比数列，     可得，即，解得， 所以； (2)由(1)可知，， 可得数列的前项和， 已知数列是首项，公比为的等比数列， 可得数列的前项和， 所以数列的前项和 . 1.(2025年山东省春季高考数学真题)现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【分析】根据题意该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，其前5项和．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【详解】根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2， 设该等比数列为，因为她5天共织布31尺，则， 解得，则. 故选:C. 2.(2023年山东省春季高考数学真题)若成等比数列，则实数的值是(  ) A. B. C.6或－6 D.8或－8 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义即可求解. 【详解】若成等比数列， 则， 解得. 故选:A. 3.(2026年山东省春季高考数学真题)已知等比数列的前n项和是(C为常数) (1)求常数C的值. (2)若，求n的最小值. 【答案】(1)1 (2)7 【分析】(1)根据等比数列的前项和与通项公式的关系求解即可. (2)根据(1)求出，再根据不等式求解即可. 【小问1详解】 因为为等比数列，前n项和是(为常数)， 所以当时， ， 当时，， 则， 得到. 【小问2详解】 由(1)知，， 因为 ，所以 ， 得到，解得， 又，所以的最小值为7. 4.(2024年山东省春季高考数学真题)在等比数列中，公比， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等比数列的通项公式求出，即可求出； (2)先由求出数列的通项公式，再由通项公式判断数列为等比数列，带入前n项和公式即可求解. 【详解】解:(1)因为为等比数列，， 所以，可得， 解得或(舍) ， 所以. (2)因为， ，， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列. 又因为， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 数列 6.3 等比数列 【复习目标】 1.掌握等比数列和等比中项的概念； 2.掌握等比数列的通项与前n项和公式. 【知识梳理内容】 考点1 等比数列的概念及通项公式 1.等比数列的概念 如果一个数列首项不为0，从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个 的常数，这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作 ，记作 ，即＝q或表示成an＋1＝an q，an＝ ，这三个式子都表示数列{an}是等比数列，因此判断一个数列是否是等比数列，只要证明(n∈N*)为常数即可. 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则＝⇒ .反之，若G2＝ab(ab≠0)，则＝，即a，G，b成等比数列． 3.通项公式 在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q. 由等比数列的定义可知，＝q，(n≥2) ＝q，…＝q，＝q， 将所有等式左右两边相乘可得··…··＝qn－1，即＝qn－1， .经验证n＝1时也成立． 【即时训练】 1.等比数列的第6项为(  ) A.32 B.64 C.78 D.128 2.已知等比数列的通项公式为，则(  ) A. B. C.2 D.4 3.在等比数列中，，，则(  ) A.6 B.8 C.3 D.9 4.在数列中，，且，则(  ) A. B. C. D. 5.与两数的等比中项是(  ) A.1 B. C. D. 6.已知等比数列的前3项分别为，则的值为(  ) A. B. C.或 D. 7.在等比数列中，已知，，则_______. 8.在等比数列中，若，，，则 ________. 9.已知数列为等比数列， (1)若，，求； (2)若，，求和． 10.一个等比数列的第2项和第3项分别是和， (1)求它的第5项和第6项； (2)求它的通项公式． 【知识梳理内容】 考点2 等比数列的前n项和公式及性质 1.等比数列前n项和 在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则等比数列的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an， 当q≠1时，根据等比数列的通项公式，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 将①式两边同时乘以公比q，得q Sn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 当q≠1时，Sn＝ .将an＝a1qn－1代入可得Sn＝ .(上述推导等比数列的前n项和公式的方法叫作错位相减法.) 当q＝1时，Sn＝na1. 2.性质: (1)若m＋n＝p＋q，则 .(m，n，p，q∈N*) (2)在等比数列中，每连续m项之和构成的数列仍然是等比数列.即若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也构成等比数列.如a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6仍然是等比数列． (3)在等比数列中，每连续m项之积构成的数列仍然是等比数列.如a1a2，a3a4，a5a6仍然是等比数列． 【即时训练】 11.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 12.在等比数列中，若和分别是方程的两个实数根，则的值为(  ) A. B. C. D. 13.在各项均为正数的等比数列中，若，则(  ) A.3 B.4 C.10 D.15 14.等比数列1，，，，…的前项和为(  ) A. B. C. D. 15.已知等比数列的前项和是，若，，则(  ) A.8 B. C.3 D. 16.设等比数列的前项和为．若，，则(  ) A.18 B.21 C.63 D.64 17.已知数列为等比数列，前n项和，则a等于(  ) A.3 B.1 C. D. 18.已知等比数列的前项和为30，且前项和为90，则前项和为(  ) A.130 B.170 C.210 D.260 19.已知数列是等比数列，且，若，则(  ) A.5 B.10 C.15 D.25 20.在等差数列中，. (1)求的通项公式. (2)若等比数列满足.求数列的前n项和. 21.在等比数列中，已知，公比，前3项和． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前项和． 22.已知数列是公差为3的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 1.(2025年山东省春季高考数学真题)现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 2.(2023年山东省春季高考数学真题)若成等比数列，则实数的值是(  ) A. B. C.6或－6 D.8或－8 3.(2026年山东省春季高考数学真题)已知等比数列的前n项和是(C为常数) (1)求常数C的值. (2)若，求n的最小值. 4.(2024年山东省春季高考数学真题)在等比数列中，公比， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $