专题4.1 任意角的三角函数（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4.1 ·任意角的三角函数 【复习目标】 1.理解角的概念的推广，理解象限角、界限角和终边相同的角的概念 2.掌握弧度制，能正确进行弧度和角度的换算 3.理解任意角的三角函数的定义；掌握特殊角的三角函数值；能判断任意角三角函数值的符号 ． 【考点 任意角三角函数】 一、角的概念 1.象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 3.角度与弧度制换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4. 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 二、三角函数定义 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2.三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 【即时训练】 1．在平面直角坐标系中，下列命题正确的是 （    ） A．小于的角是第一象限角 B．第二象限角是钝角 C．终边相同的角一定相等 D．相等的角终边一定相同 【答案】D 【分析】根据角的概念、象限角的定义及终边相同的角的概念判断各选项. 【详解】A．小于的角不一定是第一象限角，例如是小于的角，但不是第一象限角，故A错误； B．第二象限角不一定是钝角，如是第二象限角但不是钝角，故B错误； C．终边相同的角不一定相等，如和终边相同但不相等，故C错误； D．相等的角终边一定相同，故D正确， 故选：D. 2．与终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的表示方法求解. 【详解】终边相同的角相差的整数倍，而不是相差的整数倍. ∴与终边相同的角的集合是， 故选：D. 3．已知角，则角为 （    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据题意，结合象限角的概念，即可判断求解. 【详解】因为， 又是第四象限角，所以角为第四象限角. 故选：D. 4．将时钟调快分钟，则分针转过的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的定义即可求解. 【详解】分针绕一圈转过， 则每分钟转过的角度为， 又调快15分钟，则角度为负角， 所以调快15分钟分针转过的角度为. 故选：D. 5．已知一个扇形的弧长为，扇形的圆心角是，则该扇形的面积等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式求解即可. 【详解】因为扇形的圆心角，弧长. 由 得：，所以， 所以扇形的面积：. 故选：B. 6．扇形弧长是，面积是π，求圆心角（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】由弧长公式和扇形面积公式即可得解. 【详解】设圆心角为，半径为， 则扇形弧长为，面积为， 解得. 故选：D. 7．已知，，则角终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据三角函数值在各象限的符号求解. 【详解】当时，角的终边在第一象限或第四象限，或终边在轴的正半轴上， 当时，角的终边在第二象限或第四象限， ∴当且时，角的终边在第四象限， 故选：D． 8．设是第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限三角函数符号，去掉绝对值再运算即可. 【详解】是第二象限角，故有， ，， ，， ，， 代入原式可得， 故选：A. 9．已知角的终边经过点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的三角函数的定义分析求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，解得：， 所以 . 故选：D. 10．已知角的终边经过点 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数定义，分情况化简求值即可. 【详解】已知角终边上点 ， 先求该点到原点的距离： ， 由三角函数定义得， ， 当时，， ， 当时，， ， 故. 故选：C. 11．若，则点位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据角的范围判断三角函数值的正负，进而求解即可. 【详解】当 时，即为第四象限角， 此时， 因此点的横坐标为正，纵坐标为负，即该点在第四象限. 故选：D. 12．角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边经过点， 则， 所以. 故选：A. 13．已知角的终边经过点，则__________． 【答案】 【分析】根据题意利用三角函数的定义即可得解. 【详解】角的终边经过点， 则， 则. 故答案为：. 14．已知角的终边经过点，若，则 ______ 【答案】 【分析】根据题意，结合任意角三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，， 所以，解得. 故答案为：. 15．求值：_________. 【答案】3 【分析】根据题意，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】原式. 故答案为：3. 16．已知角的终边经过点. (1)求、、的值； (2)求的值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可. （2）根据（1）代入求解即可. 【详解】（1）点 ， . ∴ ，，. （2）. 1．（2020湖南对口升学考试第2题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解. 【详解】 故选：C. 2．（2020湖南对口升学考试第8题）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较正弦值的大小、诱导公式五、六、求含cosx(型)函数的值域或最值及对应x值、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据诱导公式化简，再根据不等式的性质和正弦函数的单调性比较大小. 【详解】根据诱导公式可得，. 而， ∵，故. 而根据正弦函数的单调性可知，， ∴. 故选：C. 3．（2026湖南对口升学考试第3题）若角的终边在第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据象限角的符号即可选出正确答案. 【详解】第二象限内的点，横坐标为负，纵坐标为正， 所以若角的终边在第二象限，则， 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4.1 ·任意角的三角函数 【复习目标】 1.理解角的概念的推广，理解象限角、界限角和终边相同的角的概念 2.掌握弧度制，能正确进行弧度和角度的换算 3.理解任意角的三角函数的定义；掌握特殊角的三角函数值；能判断任意角三角函数值的符号 ． 【考点 任意角三角函数】 一、角的概念 1.象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 3.角度与弧度制换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4. 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， ，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 二、三角函数定义 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2.三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 【即时训练】 1．在平面直角坐标系中，下列命题正确的是 （    ） A．小于的角是第一象限角 B．第二象限角是钝角 C．终边相同的角一定相等 D．相等的角终边一定相同 2．与终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 3．已知角，则角为 （    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．将时钟调快分钟，则分针转过的角度为（   ） A． B． C． D． 5．已知一个扇形的弧长为，扇形的圆心角是，则该扇形的面积等于 （    ） A． B． C． D． 6．扇形弧长是，面积是π，求圆心角（    ） A．π B． C． D． 7．已知，，则角终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．设是第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 9．已知角的终边经过点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 10．已知角的终边经过点 ，则等于（    ） A． B． C． D． 11．若，则点位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则__________． 14．已知角的终边经过点，若，则 ______ 15．求值：_________. 16．已知角的终边经过点. (1)求、、的值； (2)求的值. 1．（2020湖南对口升学考试第2题）的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（2020湖南对口升学考试第8题）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026湖南对口升学考试第3题）若角的终边在第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $