专题08 三角计算与解三角形（讲义）-2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》 专题08 三角计算与解三角形 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 三角计算与解三角形 三角计算 2026-19 计算题 8 解三角形 2025-20 计算题 8 解三角形 2024-14 填空 3 二倍角公式 2023-13 填空 3 解三角形 2023-20 计算题 8 命题轨迹透视： 三角计算与解三角形为每年必考题目，题型主要集中在选择题、填空题、解答题，分值一般在11分左右，内容主要考查三角和差公式、二倍角公式、辅助角公式、正余弦定理、面积公式等，用来求边求角。 1．（2026年·河南对口升学高考第19题）已知 α 、β 都为锐角, 切满足 sinα= 求α+β的值。 2．（2024年·河南对口升学高考第14题）在中，，则_________． 3．（2023年·河南对口升学高考第13题） 的值为_________． （一）两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； （2）公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； （3）公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； （4）公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； （5）公式T(α－β)：tan(α－β)＝； （6）公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. （二）二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. （2）公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）公式T2α：tan 2α＝. （三）常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) （四）正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ （五）三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 一、选择题 1．在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 3．的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知分别为三个内角的对边，且，边（    ） A． B． C． D． 5．△ABC中，三个内角之比为，则等于（    ） A． B． C． D．1 6．（ ） A． B． C． D． 7．下列各式中，值不为的是（ ） A． B． C． D． 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 9．在中，若，则（   ） A．4 B． C．3 D． 10．在中，，则（   ） A． B． C． D． 11．在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 12．已知的三边，则最大角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．计算 . 14．在中，，，面积S为，则的大小是 . 15．若是的一个内角，且，则 . 16．= . 17．在中，，则 . 18． . 19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 . 20．已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则 . 三、解答题 21．已知角 （1）求的值； （2）求的值． 22．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 23． 在中，内角的对边分别为，若，求：角B. 24．在中，，． (1)求的值； (2)若，求BC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》 专题08 三角计算与解三角形 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 三角计算与解三角形 三角计算 2026-19 计算题 8 解三角形 2025-20 计算题 8 解三角形 2024-14 填空 3 二倍角公式 2023-13 填空 3 解三角形 2023-20 计算题 8 命题轨迹透视： 三角计算与解三角形为每年必考题目，题型主要集中在选择题、填空题、解答题，分值一般在11分左右，内容主要考查三角和差公式、二倍角公式、辅助角公式、正余弦定理、面积公式等，用来求边求角。 1．（2026年·河南对口升学高考第19题）已知 α 、β 都为锐角, 切满足 sinα= 求α+β的值。 【答案】 【解析】因为α，β为锐角， ∴ ∴ ∴ 因 故 ∴ 2．（2024年·河南对口升学高考第14题）在中，，则_________． 【答案】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【解析】因为在中，， 所以，则. 故答案为：. 3．（2023年·河南对口升学高考第13题） 的值为______． 【答案】## 【分析】根据三角函数半角公式和诱导公式计算. 【解析】根据三角函数的半角公式可知，， 故. 根据诱导公式可知，. 故答案为：. （一）两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； （2）公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； （3）公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； （4）公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； （5）公式T(α－β)：tan(α－β)＝； （6）公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. （二）二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. （2）公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）公式T2α：tan 2α＝. （三）常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) （四）正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ （五）三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 一、选择题 1．在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，， 根据正弦定理得. 故选：A. 2．在中，已知，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为在中，， 所以． 故选：C. 3．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可. 【解析】原式 . 故选：D. 4．已知分别为三个内角的对边，且，边（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】因为， 所以在三角形中，由余弦定理可得， . 故选：A. 5．△ABC中，三个内角之比为，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由三内角之比设出三角，再由三个内角之和为求出角即可求解. 【详解】因为，不妨设，，， 由三角形三个内角之和为可得：， 解得，则，. 故选：C. 6．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的诱导公式以及两角差的正切公式求解即可. 【解析】. 故选：C. 7．下列各式中，值不为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A符合，； B不符合，； C不符合，； D不符合，. 故选：A. 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】，，则， 由正弦定理得，解得； 故选：D. 9．在中，若，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和余弦定理即可求解. 【详解】在中，因为，则， 所以，则． 故选：D. 10．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的面积公式即可求解. 【详解】在中，，所以， 则． 故选：C. 11．在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求得即可. 【详解】在中，. 由正弦定理，得：. 解得：. 故选：C. 12．已知的三边，则最大角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据边的大小关系判断出最大角，再利用余弦定理计算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以是最大角， 所以. 故选：D. 二、填空题 13．计算__________. 【答案】1 【解析】， 所以答案为：1. 14．在中，，，面积S为，则的大小是 . 【答案】30°或150° 【分析】由三角形面积公式计算即可. 【详解】因为在中，，，面积S为， 所以， 解得， 所以在中，的大小是30°或150°. 故答案为：30°或150°. 15．若是的一个内角，且，则 . 【答案】 【解析】在中，，所以，，， 故答案为：. 16．= . 【答案】 【解析】， 故答案为：. 17．在中，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 18． . 【答案】1 【解析】因为， 所以 ， 所以， 故答案为：1. 19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 . 【答案】 【分析】由题意，根据正弦定理可得，据此可求解. 【详解】由题意，根据正弦定理可得 ， ， . 故答案为： 20．已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则 . 【答案】 【分析】根据已知可以得到三条边的比例关系，再利用余弦定理即可求解. 【详解】因为， 所以，可设 利用余弦定理： . 故答案为： 三、解答题 21．已知角 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1) 因为角， 所以， 所以； (2)． 22．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅角公式可得，由此即可求出的最小正周期； （2）根据，可得，在结合正弦函数的性质，即可求出结果. 【解析】（1）解： 所以最小正周期为； （2）， ，的值域为. 23． 在中，内角的对边分别为，若，求：角B. 【答案】 【分析】根据正弦定理得，再化简求值即可. 【详解】由正弦定理 ， 得，， ， ， 为三角形的内角，为三角形外接圆半径， ，，， 即， ， 为三角形的内角，， . 24．在中，，． (1)求的值； (2)若，求BC的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得角的正弦，再根据两角和的正弦公式计算. （2）利用正弦定理求解. 【详解】（1）∵，， ∴，. 又∵，， ∴由同角三角函数的平方关系可知， ，， 因此，利用两角和的正弦公式，可得： ，代入数值可得， 故，. （2）根据正弦定理，，得， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $