专题05 指数函数与对数函数（讲义）-2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》 专题05 指数函数与对数函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 指数函数与对数函数 指数幂的运算 2026-13 填空 3 指数和对数的运算 2026-15 填空 3 对数的运算 2025-4 单选 3 对数函数的综合 2025-24 综合题 10 对数的运算 2024-4 单选 3 指数函数过定点 2024-12 填空 3 对数求定义域 2023-3 单选 3 对数的运算 2023-4 单选 3 分数指数幂 2022-12 填空 3 命题轨迹透视： 指数函数与对数函数为每年必考题目，考查题型主要集中在选择题、填空题，分值一般在6分左右，内容主要考查对数的运算、指数幂的运算、指数函数和对数函数的图像和性质。 1．（2026年·河南对口升学高考第13题）设 则x= . 【答案】-2 【解析】 故 故答案为：-2． 2． 【答案】5 【解析】 故 应为 故答案为：5． 3．（2025年·河南对口升学高考第4题）计算（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【分析】根据对数运算法则以及，即可求解. 【详解】. 故选：C 4．（2024年·河南对口升学高考第4题） 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质直接计算即可. 【解析】 . 故选:B. 5．（2024年·河南对口升学高考第12题） 当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 【答案】## 【分析】令取一个特定的值，使得的值与无关，即可得到图像必过点的坐标. 【解析】当时，. 故，函数的图像必过一点是. 故答案为：. （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶　函数 奇函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0)上单调递减，在 (0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在 [0，＋∞)上单调递增 在 (－∞，0)和 (0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1)　 一、选择题 1．若指数函数在是减函数，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当，即时，该指数函数在是减函数， 故选：B. 2．函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据分母不为零和对数真数部分大于零列式求解即可. 【解析】由分母不为零可得：，即， 解得，且由对数真数部分大于零可知， 则函数定义域为：. 故选：A. 3．当且时，下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则逐个分析即可. 【详解】已知，故A不正确， 因为，故B正确， 因为，故C正确， 因为，故D正确， 故选：A. 4．（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用对数的运算可求解. 【解析】. 故选：C. 5．设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数式与对数式的互化，及换底公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 6．设函数, 则是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】因为，，，所以是偶函数， 故选：B. 7．已知，则（   ） A．7 B．10 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据指数运算法则即可得出结果. 【详解】． 故选:B. 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，故， 故选：B． 9．若指数函数（且）的图像经过点，则=（    ） A．4 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据指数函数经过点，求出的值，再将和代入即可. 【详解】因为指数函数（且）的图像经过点， 所以， 所以. 故选：C. 10．已知函数，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数， 所以， 故选：C. 11．函数（且）的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数型函数恒过的定点求解即可. 【详解】函数为（且） 令，即时，， 所以函数（且）的图像恒过定点． 故选：B. 12．函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（ ） A．9 B．8 C．6 D． 【答案】A 【解析】令，得，即时，， 点的坐标是，幂函数的图象过点， 所以，解得，所以幂函数为，则， 故选：A． 二、填空题 13．将写成分数指数幂的形式为___________. 【答案】 【解析】写成分数指数幂的形式为：， 故答案为：. 14．已知，则 ． 【答案】64 【解析】因为，所以， 所以，则， 故答案为：64. 15．函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为是定义域上的增函数， 所以当时，，所以， 故的值域为：. 16．函数，若，则函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为函数为增函数， 所以最小值为，最大值为， 故函数的值域为：. 17．已知，则 . 【答案】2 【解析】由，两边平方得，， 再两边平方得，， 故答案为：2. 18．已知，，则 . 【答案】13 【解析】由得，得， 由，，得，所以， 故答案为：13. 19．方程的解集为 ． 【答案】/ 【分析】由实数指数幂运算公式及解一元二次方程即可得解. 【详解】 整理得. 解得或. 所以解集为. 故答案为:. 20．函数, , 则 . 【答案】0 【解析】因为①， 用去替换①中的得，即②， ①+②可得，所以若, 则， 故答案为：0. 三、解答题 21．已知，求的值. 【答案】7 【分析】对两边同时平方可得. 【详解】∵， 两边同时平方得， ． 22．已知实数，且满足不等式，解不等式. 【答案】 【详解】解：由题意得:，∴， ∴，解得. 23．已知，求的值． 【答案】1 【分析】先将指数式转换成对数式，代入算式，利用对数的换底公式和运算性质求解. 【详解】∵，∴， 而，∴. ． 24．已知函数. （1）求函数的定义域; （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）由，得， 所以函数的定义域是：. （2）若，则， ，， 所以的取值范围是：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》 专题05 指数函数与对数函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 指数函数与对数函数 指数幂的运算 2026-13 填空 3 指数和对数的运算 2026-15 填空 3 对数的运算 2025-4 单选 3 对数函数的综合 2025-24 综合题 10 对数的运算 2024-4 单选 3 指数函数过定点 2024-12 填空 3 对数求定义域 2023-3 单选 3 对数的运算 2023-4 单选 3 分数指数幂 2022-12 填空 3 命题轨迹透视： 指数函数与对数函数为每年必考题目，考查题型主要集中在选择题、填空题，分值一般在6分左右，内容主要考查对数的运算、指数幂的运算、指数函数和对数函数的图像和性质。 1．（2026年·河南对口升学高考第13题）设 则x= . 2． 3．（2025年·河南对口升学高考第4题）计算（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4．（2024年·河南对口升学高考第4题） 的值为（ ） A. B. C. D. 5．（2024年·河南对口升学高考第12题） 当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶　函数 奇函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0)上单调递减，在 (0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在 [0，＋∞)上单调递增 在 (－∞，0)和 (0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1)　 一、选择题 1．若指数函数在是减函数，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 2．函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 3．当且时，下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（    ） A. B. C. D. 5．设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．设函数, 则是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 7．已知，则（   ） A．7 B．10 C．1 D．3 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 9．若指数函数（且）的图像经过点，则=（    ） A．4 B．16 C．20 D．24 10．已知函数，若，则（    ） A. B. C. D. 11．函数（且）的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 12．函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（ ） A．9 B．8 C．6 D． 二、填空题 13．将写成分数指数幂的形式为___________. 14．已知，则 ． 15．函数的值域为 . 16．函数，若，则函数的值域为 . 17．已知，则 . 18．已知，，则 . 19．方程的解集为 . 20．函数, , 则 . 三、解答题 21．已知，求的值. 22．已知实数，且满足不等式，解不等式. 23．已知，求的值． 24．已知函数. （1）求函数的定义域; （2）若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $