专题04 函数的性质（讲义）-2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》 专题04 函数的性质 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 函数的性质 判断函数的奇偶性 2026-5 单选 3 函数的单调性 2024-3 单选 3 函数的奇偶性、单调性 2023-2 单选 3 证明函数的奇偶性 2023-22 证明题 6 函数的奇偶性、单调性 2022-3 单选 3 函数的奇偶性 2022-20 计算题 8 命题轨迹透视： 函数的性质为每年必考题目，题型主要集中在选择题、证明题、计算题。分值一般在6分左右，考查的主要内容为函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合。 1．（2026年·河南对口升学高考第5题）设函数 其图象关于（ ） A.原点对称 B.直线 y=对称 C. 轴对称 D. y轴对称 2．（2024年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 3．（2023年·河南对口升学高考第2题）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4．（2023年·河南对口升学高考第22题）求证函数为奇函数． 5．（2022年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. （一）函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 （二）函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (2)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． (3)函数奇偶性与单调性之间的关系 若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； 若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． （三）函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 一、选择题 1．下列函数在R上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3．函数的图像（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 4．已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 6．函数的最小值、最大值分别为（   ） A．3，5 B．，5 C．1，5 D．5， 7．设的定义域为，图象关于y轴对称，且在上为增函数，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数为奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9．函数 与的图像关于（    ） A．原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．直线 对称 10．已知函数是定义在上的奇函数，则等于（   ） A． B．0 C．4 D． 11．已知函数为偶函数，当时，，则（　 ） A．2 B．1 C．0 D． 12．已知函数，则函数的图像关于点（    ）对称 A． B． C． D． 二、填空题 13．已知函数是R上的减函数，则不等式的解集为 . 14．已知是定义域为的偶函数，当时，，则函数在时， . 15．已知是奇函数，在区间上的解析式为，则 . 16．函数的单调递增区间是 ． 17．若 为偶函数，则实数 . 18．已知函数为奇函数，且，则 . 19．已知是定义在R上的奇函数，对于任意，都有，当时，，则 ． 20．已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 ． 三、解答题 21．若函数是上的增函数，对任意实数，若， 求证：. 22．奇函数在定义域内是减函数，且，求实数a的取值范围. 23．已知函数，且， (1)求m的值 (2)判断函数的奇偶性 24．已知函数是偶函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）求，的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》 专题04 函数的性质 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 函数的性质 判断函数的奇偶性 2026-5 单选 3 函数的单调性 2024-3 单选 3 函数的奇偶性、单调性 2023-2 单选 3 证明函数的奇偶性 2023-22 证明题 6 函数的奇偶性、单调性 2022-3 单选 3 函数的奇偶性 2022-20 计算题 8 命题轨迹透视： 函数的性质为每年必考题目，题型主要集中在选择题、证明题、计算题。分值一般在6分左右，考查的主要内容为函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合。 1．（2026年·河南对口升学高考第5题）设函数 其图象关于（ ） A.原点对称 B.直线 y=对称 C. 轴对称 D. y轴对称 【答案】 D 【解析】 故函数为偶函数， 图象关于y轴对称． 故选：D． 2．（2024年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D 3．（2023年·河南对口升学高考第2题）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项判断即可. 【解析】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 4．（2023年·河南对口升学高考第22题）求证函数为奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用奇函数的定义即：定义域关于原点对称且满足，再结合指数幂的运算法则，即可证明. 【解析】证明：对于函数，由分母不为0得，解得， 即该函数的定义域为. 对于任意都有，故定义域关于原点对称. 又∵ ∴函数是奇函数 5．（2022年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数的图像可知，为开口向上，顶点坐标为， 对称轴为y轴的抛物线，符合题意， 故选：B. （一）函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 （二）函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (2)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． (3)函数奇偶性与单调性之间的关系 若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； 若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． （三）函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 一、选择题 1．下列函数在R上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数，二次函数，幂函数，反比例函数的单调性逐项分析即可. 【详解】为一次函数，其中， 所以该函数在R上是减函数，故A错误， 为二次函数，其中， 图像开口向上，对称轴为轴， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误， 为幂函数，在R上是增函数，故C正确， 为反比例函数，其中， 所以该函数在上单调递增和在单调递增，故D错误， 故选：C. 2．已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为在上为增函数， 所以，所以， 故选：B. 3．函数的图像（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 【答案】B 【解析】因为是一个偶函数，根据偶函数的性质可以，图像关于轴对称， 故选：B. 4．已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 解得， 故选：. 5．已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】因为函数为奇函数，函数为偶函数，所以是奇函数， 是偶函数，是奇函数，是偶函数，选项C正确， 故选：C. 6．函数的最小值、最大值分别为（   ） A．3，5 B．，5 C．1，5 D．5， 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，即可求解最值问题. 【详解】函数，可知一次函数的系数为负， 故是单调递减函数， 故在定义域的左端取得最大值，右端取得最小值， 则， . 故选:B. 7．设的定义域为，图象关于y轴对称，且在上为增函数，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的图象关于轴对称可知是偶函数,再根据的单调性即可求解. 【详解】因为的图象关于轴对称, 所以是偶函数, 所以,, 因为在上为增函数, 所以, 即. 故选：. 8．已知函数为奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为且当时，，所以， 又因为函数为奇函数，所以， 故选：D. 9．函数 与的图像关于（    ） A．原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．直线 对称 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数图像的对称性，即可求解. 【详解】因为， 所以当自变量x取相同的值时，函数与的函数值互为相反数， 故函数 与的图像关于x轴对称. 故选：C. 10．已知函数是定义在上的奇函数，则等于（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，即可求解. 【详解】由题意知函数是定义在上的奇函数， 所以定义域关于原点对称， 所以， 即. 故选：C. 11．已知函数为偶函数，当时，，则（　 ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】由于函数为偶函数，所以， 当时，，因此. 故选：A. 12．已知函数，则函数的图像关于点（    ）对称 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的对称性即可得解. 【详解】， 函数可以看作是将的图像向右平移1个单位， 再向下平移1个单位得到， ∵的对称中心为， ∴的对称中心为. 故选：B. 二、填空题 13．已知函数是R上的减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性建立不等式，即可求解. 【详解】因为函数是R上的减函数， 又，所以， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 14．已知是定义域为的偶函数，当时，，则函数在时， . 【答案】 【分析】令，则，从而得到，结合题意可得答案． 【详解】当时，，由题意可得，， 因为是定义域为的偶函数，所以， 故， 故答案为：. 15．已知是奇函数，在区间上的解析式为，则 . 【答案】 【分析】由是奇函数可知，结合在区间上的解析式求解即可． 【详解】因为是奇函数， 所以， 又因为在区间上的解析式为， 所以. 故答案为：． 16．函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】由一次函数的单调性，可得到的单调区间. 【详解】是一个一次函数，并且斜率为1，是正数， 因此该函数在定义域上单调递增， 因此此该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 17．若 为偶函数，则实数 . 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的定义可求解. 【详解】由题可知，对恒成立， 即， 化简，可得， 所以. 故答案为： 18．已知函数为奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用求出，结合奇函数的定义即可求解. 【详解】由得，，则 故答案为： 19．已知是定义在R上的奇函数，对于任意，都有，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性及函数的周期性分析即可. 【详解】由是定义在R上的奇函数，则， 又，可知其周期为， 当时，， 则. 故答案为： 20．已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数和偶函数的性质即可求解. 【详解】∵函数是偶函数，是奇函数， ∴，， 又， 则． 故答案为：. 三、解答题 21．若函数是上的增函数，对任意实数，若， 求证：. 证明：若，则，， 因为函数是上的增函数，所以，， 两不等式相加即可得， 故得证. 22．奇函数在定义域内是减函数，且，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先根据函数的奇偶性将函数进行转换，再根据函数增减性进行求解. 【详解】解：因为为奇函数， 所以, 因为的定义域为，且为减函数， 所以, 所以实数a的取值范围是. 23．已知函数，且， (1)求m的值 (2)判断函数的奇偶性 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析. 【分析】（1）由代入求解即可. （2）先判断函数的奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明即可. 【详解】（1）∵， ∴，解得. （2）由（1）知，函数是奇函数. 证明如下：函数的定义域为，关于原点对称， ， ∴函数是奇函数. 24．已知函数是偶函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）求，的值. 【答案】（1）（2）， 【解析】解：（1）当时，，则， 因为函数是偶函数， 所以，即， 所以当时，函数的解析式为. （2）因为当时，， 所以，， 又因为函数是偶函数， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $