1.1 探索勾股定理 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理探索，通过电线杆钢索实际问题导入，引导学生测量直角三角形边长猜想关系，结合《周髀算经》与毕达哥拉斯故事，用网格图割补拼法验证面积关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是融合文化与探究，通过割补拼面积计算、数据表格分析培养数学思维的推理意识，分类讨论高的位置等典例发展数学语言的模型意识。助力学生激发探究兴趣，教师可借分层练习提升教学效率。

1.1 探索勾股定理 北师大版八年级上册 教学目标 1、了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。 2、经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。 3、掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。 新知导入 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索? 8 6 在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系. 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系. 让我们一起去探索吧! 3 探究新知 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边长，看看三边长的平方之间有怎样的关系？ a b c 猜想：两直角边的平方和等于斜边的平方. 即，a2+b2=c2. 4 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五. 你知道为什么吗？ 探究新知 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？ A B C 探究新知 A B C 问题1 图中正方形 A、B、C 的面积之间有何关系吗？ 以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，等于以斜边为边的正方形的面积. 探究新知 A B C 问题1 图中正方形 A、B、C 的面积之间有何关系吗？ 以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，等于以斜边为边的正方形的面积. 问题2　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 )： 这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 探究新知 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 探究新知 分析表中数据，你发现了什么？ A的面积 B的面积 C的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 探究新知 探究新知 A C B A C B 该图中的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”这样的关系？如何计算？ SA + SB = SC 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 即两直角边的平方和等于斜边的平方. 有 12 探究新知 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？　 2.4 1.6 ? 成立 可以通过精密的测量进行计算. 归纳总结 勾 股 弦 我国古代把直角三角形中 较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股， 斜边称为弦， “勾股定理”因此而得名． （在很多国家文献中称为毕达哥拉斯定理） 勾2股2弦2 分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 13 5 12 A B C 做一做 探究新知 例1.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即AB=5. 根据三角形面积公式， ∴AC×BC=AB×CD. ∴CD=. A D B C 3 4 典例精析 解：当高 AD 在△ABC 内部时，如图①. 在Rt△ABD 中，由勾股定理， 得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴ BD＝16； 在Rt△ACD 中，由勾股定理， 得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴ CD＝9.∴ BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC 的周长为 25＋20＋15＝60. 例2 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长。 图① 💡归纳 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况。如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形。 当高 AD 在△ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9。 ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42。 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60。 图② 课堂小结 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9,AC=12,则AB的长为 (　　) A.13 B.15 C.17 D.18 B 随堂演练 20 2.一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为 A.8 B.9 C.10 D.11 √ 解析　设直角三角形的三边长为 a，b，c，c为斜边，则由勾股定理得a2+b2=c2. 因为该直角三角形的三边长的平方和为200， 所以a2+b2+c2=200， 所以2c2=200， 所以c2=100， 所以c=10，即斜边长为10. 随堂演练 3.已知，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，则BC2=　　　　. 解析　应用勾股定理时，必须先判断是直角三角形，然后确定哪条是直角边，哪条是斜边. 如图①，BC2=AB2-AC2=7； 如图②，BC2=AB2+AC2=25. 综上所述，BC2=25或7. 25或7 随堂演练 $