安徽省宿城第一中学2026届高三5月份模考数学试卷

**基本信息** 覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过预制菜数据回归、椭圆折叠等情境设计，梯度考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、正态分布、向量投影等|注重概念辨析与基础运算，如向量投影结合几何意义| |多选|3/18|函数极值、立体几何轨迹等|考查综合分析，如正方体轨迹问题融合空间观念| |填空|3/15|复数、双曲线离心率、非线性回归|结合现实数据（预制菜市场），体现数据观念| |解答|5/77|三角面积、概率竞赛、不等式创新等|梯度设计，如椭圆折叠问题综合几何直观与数学建模，数列证明考查逻辑推理|

2026届高中毕业班模拟检测数学试卷 参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B D A B C A ACD ABD AC 1.【解析】因为含有4个元素，若，则或，所以或. 若，则.结合集合元素的互异性可知或. 当时，，，，符合题意. 当时，，，，不符合题意. 故选：B. 2.【解析】由题意，随机变量服从标准正态分布，则， 则，所以. 故选：C. 3.【解析】由题设，则， 由，则. 故选：B. 4.【解析】由，得，故. 故选：D. 5.【解析】由题知，当时，，则，可得，，曲线在处的切线方程是，即.故选：A. 6.【解析】由题知，圆心为，半径为，而， 当且仅当时等号成立，此时圆心到直线的距离，则，解得. 故选：B. 7.【解析】设外接球的半径为，则，所以，，所以，所以，所以，所以， ， 设与所成角为，则，整理得，所以外接球的表面积为. 故选：C 8.【解析】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，点到抛物线的准线的距离为， 因为，， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故. 所以的最大值为. 故选：A 9.【解析】由图象可知，，得，函数的最小正周期为，A正确 时，，得，，且，所以，所以，C正确；，B错误；将的图象向右平移个单位，得到 ,D正确. 故选：ACD 10.【解析】对于A，因为，令，得到或， 若为的极小值点，则，解得，所以A正确， 对于B，因为，当时，则的增区间为，减区间为， 又，若，即， 解得，此时在上有且仅有一个零点，故B正确， 对于C，设切点为，则，又， 则切线方程为，又切线过点，得到， 令，则，令，得到或， 当时，，当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，且时，，时，， 所以与轴有个交点，即有个解，故C错误， 对于D，令，， 则， 令，得到，所以D正确. 故选：ABD 11.【解析】对于选项A，如图1，连接，因为，分别是棱，的中点，则，由正方体的性质易知，所以，又面，面，所以面，则动点到平面的距离为定值，又动点在线段上，则，所以选项A正确， 对于选项B，如图2，连接，因为面，又面，所以，又，E是棱的中点，所以，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，所以曲线的长度为，故选项B错误； 对于选项C，如图2，连接，，且与曲线交于，因为，面，面，所以面，又易知，面，面，所以面， 又，面，所以面面，因为面，所以面，则与重合时，平面，所以选项C正确， 对于选项D，如图3，作于点，易得，因为，所以，所以，所以选项D错误，故选：AC. 12. -3. 【解析】设，则，根据复数相等的定义可得， ，解得，即. 故答案为：-3. 13．【解析】双曲线的渐近线方程为，设点在轴上方，则， 将代入，有，解得，则，则有，即，则.故答案为： 14. 【解析】令，则，， 所以，则，所以代入回归方程，则，可得万元． 故答案为：． 15.解：（1）设内角的对边分别为，因为，由正弦定理可知，………1分 由余弦定理可知．解得， ……………………………………3分 所以由正弦定理知. ……………………………………………………………………………4分 又因为，所以． ……………………………………………6分 (2)由（1）可知，， ………………………………………………………………………7分 在 中由余弦定理可知， ， ……………………………………………………………9分 所以，， ………………………………………………………………………11分 所以由（1）及三角形面积公式可知． …………………………………13分 16.解：（1）第一轮答题后甲的总分X可取，……………………………………………………………1分 ,,, ………………………………4分 X的分布列为 ……………………………………………………………5分 . ……………………………………………………………7分 （2）记D="甲在这次竞赛中获胜"，因为甲获胜发生至少经过一轮答题，由（1）知， 一轮回答后有三种情形，由全概率公式得： ， 是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0（乙获胜，比赛结束）； 是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为； 是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1；………………………………………10分 所以 ………………………………………12分 解得 ， …………………………………………………………………………………………14分 所以甲在这次竞赛中获胜的概率． ………………………………………15分 17.解：（1）设，则，…………………1分 故当时，恒成立，即在上单调递减，又，故时，即时， …………………4分 要证，需证，因，故只需证，， …………………5分 即证，. …………………6分 设，则，由前面的证明可得，即得， 故得证. …………………7分 （2）由不等式对任意正实数恒成立可得， ，即恒成立. …………………9分 设，则，则有， 化简得，，即在时恒成立. …………………11分 设，则 ① 当时，即时，方程有两个异根， 由，可取则， 因，故当时，，在上单调递增，故，与题意不符，故舍去； ② 当时，因，则， 即，在上单调递减，故恒有成立，符合题意. …………………14分 综上可知， …………………15分 18.解（1）设关于对称的点，则，得………2分 (当且仅当三点共线时等号成立)………3分 ∴椭圆的标准方程为：. ………4分 （2）翻折后，如图：   ①当B为椭圆的下顶点时，由题意知，直线， 联立方程组可得，解得或，∴ ………5分 令原来轴负半轴所在直线为轴，则，，，， ∴，，， ………7分 设为平面的一个法向量，则， 令，所以，即， ………8分 设直线与平面的夹角为， 则， ………10分 ②联立方程组，整理得， ，∴， ………11分 设，，则，，， 由可得,，， ∴， 所以当时，的体积最大，此时. ………17分 19.解（1）设，，……，构成等比数列，其中=1，=4，则 =， ① =， ② ∵==4（）,①×②得==， ………3分 ∴=（） ………4分 （2）由题意和（1）知 ………5分 因为 ………8分 所以 ………10分 (3)； ………11分 当时，；当时，；综上所述： ………13分 （2）①当时，； ，，令得：，即； ………14分 ②当时， ； ………16分 综上所述：. ………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高中毕业班模拟检测数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，若含有4个元素，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 2. 已知随机变量服从标准正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 3．已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A．16 B．4 C．3 D．1 4．已知，则（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 5. 已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 6．直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（ ） A. 0 B. C. D. 7. 在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C． 3 D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A.的最小正周期为 B． C． D．若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．若为的极小值点，则的取值范围为 B．存在，使得在上有且仅有一个零点 C．当时，过点存在两条直线与曲线相切 D．存在，使得 11. 已知棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ） A. B. 曲线的长度为 C. 存在，，使得平面 D. 当与只有一个公共点时， 3、 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12．复数满足，则的实部为___________. 13．已知双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线交两渐近线于两点，与双曲线的一个交点为（在轴同侧）．且，则该双曲线的离心率为______． 14. 预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第10个月的预制菜市场规模是______万元．（结果用e表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在中，，． (1)求； (2)设为边的中点，若，求的面积． 16. （本小题满分15分） 甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题．答题者若答对则得1分，答错则对方得1分．当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜．已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为． (1)记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； (2)求甲在这次竞赛中获胜的概率． 17.（本小题满分15分） 对于正实数a，，我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数：． (1)设，求证：并证明； (2)若不等式对任意正实数恒成立，求正实数m的取值范围 18.（本小题满分17分） 已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点.    (1) 当椭圆的长轴长最小时，求椭圆的标准方程； (2) 在（1）的条件下，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方）.将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直. ①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值. 19．（本小题满分17分） 在数1和4之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作， （1）求； （2）证明：； (3)设,，记数列前项和,若，求． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $