第十三章勾股定理暑假预习练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础概念辨析、中档运算应用、综合问题解决三层设计，构建从单一知识点到实际情境应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|勾股定理概念及逆定理|单选题1-5直接考查定义，填空题13-14强化计算| |中档应用|定理运算与简单应用|单选题6-10结合网格/动点，填空题15-16融入生活情境| |综合提升|复杂情境与跨知识综合|解答题18-24涉及最短路径与证明，如23题网格高线计算|

第十三章勾股定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（   ） A．是锐角 B．不是锐角 C．是直角 D．不是直角 2．如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．5.5 B．6.4 C．7.4 D．8 3．三角形的三边长,,，满足，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 4．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 5．以下列数据为边，不能组成直角三角形的是（      ） A．5，12，13 B．，， C．1，， D．7，24，25 6．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（    ）    A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm 8．如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．7 D． 9．如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注：取3）（    ） A． B． C． D． 10．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 12．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（   ） A．3 B．2 C．5 D．4 二、填空题 13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为_____． 14．已知直角三角形的三边长分别为，，（是斜边），则________． 15．如图，是一个底面半径为，高度为的无盖圆柱形玻璃容器，A、B两点在容器顶部一条直径的两端，现有一只小甲虫在容器外A点正下方的M处，要爬到容器内B点正下方距离底部的N处，则这只小甲虫最短爬行的距离是___． 16．“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为________． 17．如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为______海里．    三、解答题 18．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． (1)求的度数； (2)若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 19．判断由下列各组线段a、b、c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由. (1)，，； (2)，，． 20．如图，在数轴上找出表示和的点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    21．如图，网格中，每个小正方形边长为1． (1)分别画出绕O点逆时针旋转所得及关于O点的中心对称图形； (2)连结，，判断形状并证明； (3)证明不在线段上． 22．在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 23．如图，由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在网格的格点上．为中边上的高线． (1)求证：； (2)求的长． 24．如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 《第十三章勾股定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C D B C B C 题号 11 12 答案 B B 1．B 【分析】本题考查了反证法，反证法的步骤是：①假设结论不成立；②从假设出发推出矛盾；③假设不成立，则结论成立． 根据反证法的步骤，应假设结论不成立作答即可． 【详解】用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设不是锐角， 故选：B． 2．C 【分析】利用勾股定理求出AB，根据垂线段最短，求出CP的最小值即可解决问题． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴, ∵AP+BP+PC=CP+AB=CP+5， 根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP的值最小，最小值， ∴AP+BP+CP的最小值=5+2.4=7.4， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法，属于中考常考题型． 3．B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及完全平方公式，关键是掌握如果三角形的三边长,,满足，那么这个三角形就是直角三角形，根据完全平方公式把所给条件式展开得到即可得到答案． 【详解】解：， 此三角形是直角三角形． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查勾股定理逆定理．掌握如果三角形两条短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴A选项可以组成直角三角形，不符合题意； ∵， ∴B选项可以组成直角三角形，不符合题意； ∵， ∴C选项不可以组成直角三角形，符合题意； ∵， ∴D选项可以组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 6．D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 7．B 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，    则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x=25． 故选B． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于于，列式，解出的值，即可作答． 【详解】解：由题意知，， 设，则， 因为于于， 所以在与中， 由勾股定理得，， ， 解得， ， 故选：C． 9．B 【分析】此题考查的是平面展开-最短路径问题，此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】在侧面展开图中， 的长等于底面圆周长的一半，即， ∵ 根据勾股定理得：， ∴从点A爬到点B的最短路径长， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明为直角，再通过等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据勾股定理可得：，， ， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11．B 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，以及三角形面积公式得，再结合是边上的高，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴ 解得， 故选：B 12．B 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形A的边长为， 故选：B． 13．2 【分析】由勾股定理可求的长，由勾股定理的逆定理可证，由面积法可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面积公式，证明是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】解：由勾股定理，得， 去括号，得， 化简，得， 移项得， 合并同类项，得， 解得． 故答案为：． 15． 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示：DM′=2πcm，DN=πcm， NM′==（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此类题目的关键是得到圆柱的平面展开图，再利用勾股定理进行解答． 16．1 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题利用13减去四个直角三角形的面积等于小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴小正方形面积为1， ∴小正方形边长为1， 故答案为：1 ． 17．25 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：连接如图，    ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 在中，（海里），（海里）， 根据勾股定理得（海里）． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理进是解决问题的关键． 18．(1) (2)被监控到的道路长度为米 【分析】（1）根据题目易得，，由勾股定理求出的长度,然后由勾股定理的逆定理即可求解； （2）过D作，由轴对称的性质，得到,最后可根据勾股定理求解． 本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，正确利用勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：连接， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）解：过D作，然后作点A关于的对称点F，连接，如图 ∴，， 由（1）：， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 在中，有， ∴， ∴， ∴被监控到的道路长度为米． 19．(1)不是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据两小边的平方和等于最长边的平方就是直角三角形，否则就不是，进行判断，即可求出答案； （2）根据两小边的平方和等于最长边的平方就是直角三角形，否则就不是，进行判断，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形； （2）解：，， ∴， 即， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形． 20．见解析 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴因为，所以只需作出以和为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可．根据勾股定理，作出以和为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求； 【详解】解：如图所示， 点是的点，点是表示的点．    21．(1) 如图，和为所作； (2) 为直角三角形． 理由如下：，，， ， 为直角三角形； (3) 证明：，，， ， 不在线段上 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理的逆定理． （1）利用网格特点和旋转的性质画出和； （2）先计算出，，，然后根据勾股定理的逆定理进行判断； （3）计算可判断不在线段上． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．新路比原路少千米，比原路少千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得（千米），设千米，则千米，然后通过勾股定理求出千米，最后代入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵， ∴， 解得：， ∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 23．(1) 证明：由勾股定理可得，， ， 是直角三角形， ． (2) 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，，继而得到，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可得到结论； （2）由（1）得，利用三角形面积公式求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， ． 24．(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可； （2）结合三角形面积公式，根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴ ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵，四边形的面积， ∴四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $