2026--2027学年七升八数学入学模拟测试卷（人教版重庆适用：包含七下所有内容）

**基本信息** 初一升初二数学入学模拟卷，全面覆盖七下知识，创新融入规律探究、《九章算术》应用及“倍乐数”新定义题，通过分层设计考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|无理数、坐标系、调查方式等|第8题以《九章算术》为背景，渗透文化传承；第6题规律探究培养抽象能力| |填空题|6/24|实数比较、方程与不等式、折叠问题等|第16题“倍乐数”新定义，考查创新意识与符号运算| |解答题|9/86|统计图表、几何证明、实际应用等|23题购物问题构建方程模型，24题动点面积综合考查空间观念与推理能力|

初一升初二数学入学模拟测试卷（人教版重庆适用：包含七下所有内容） 时间：120min 总分：150分 一、单选题（每题4分） 1．下列各数为无理数的是（    ） A． B． C． D．0.7 2．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．调查全班同学的身高情况 B．调查全国中小学生的课外阅读情况 C．调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 D．调查某批次汽车的抗撞击能力 4．若，则下列不等式变形正确的是（     ） A． B． C． D． 5．估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（    ） A． B． C． D． 7．已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 8．《九章算术》是中国古代数学的重要著作，书中有一个问题，原文是：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤，问燕雀一枚各重几何？”意思是：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用秤称重量，每只雀比每只燕重；将一只雀和一只燕交换位置而放，刚好重量相等；并且所有的雀燕共重一斤；问雀、燕每只各重多少斤？”若设一只雀重斤，一只燕重斤，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，每秒有规律地沿着箭头所示方向移动一个单位长度，如第1秒时点移动到点，第2秒时移动到点，然后依次移动到，，则动点第秒时移动到点（     ） A． B． C． D． 10．整式：，其中，为正整数．，…，，均为整数．满足，．下列说法： ①满足条件的整式中，的最大值为6； ②当，时，满足条件的整式共有22个； ③满足条件的所有二次二项式的和为． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每题4分） 11．比较大小：_____（填“”“”或“”）． 12．已知点在轴上，则的值为_____． 13．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______ 14．若关于的不等式组恰好有4个整数解，且关于的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数之和是_______． 15．如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，那么的度数为_______． 16．我们规定：一个四位数（）的各个数位上的数字均不为，若满足，则称这个四位数为“倍乐数”．例如：四位数，因为，所以是“倍乐数”．按照这个规定，最大的“倍乐数”是________；一个“倍乐数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，若能被整除，则所有满足条件的“倍乐数”的最小值是________． 三、解答题（第17、18题每题8分，其余每题10分） 17．计算：(1)； (2)． 18．解方程组、不等式组：(1) (2) 19．为了提高学生的应急能力，加强安全防范意识，我校举行了《安全应急能力相关知识》的竞赛，赛后随机抽查了部分参赛同学的成绩，对参赛同学的分数（单位：分）进行了分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中_____，“A”组对应的圆心角度数为_____．； (3)若全校共有2000名学生参加竞赛，估计该校竞赛成绩不低于70分的学生有多少人？ 20．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，将三角形在坐标系中平移，使得点平移至图中点的位置，点B的对应点为，点C的对应点为． (1)在平面直角坐标系中作出三角形，并写出，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)x轴上有一点，若三角形的面积与三角形的面积相等，则点P的坐标为______． 21．已知实数是的立方根，非零实数的算术平方根是． (1)求的平方根； (2)若是的平方根与的立方根之和，求的立方根． 22．如图，点，，在同一条直线上，已知平分，平分，，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 23．为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，甲、乙两所学校准备购入、两种品牌的篮球．已知两校购入的、两种品牌的篮球的价格均是统一的．根据实际需求，甲学校购入个品牌篮球和个品牌篮球，一共花费元；乙学校购入的品牌篮球数量比甲学校少，购入的品牌篮球数量比甲学校多，最终两所学校的费用相同． (1)求、两种品牌的篮球的单价分别是多少元？ (2)乙学校决定再次购入一批、两种品牌的篮球共个，购入品牌篮球的数量比第一次增加个．正好赶上篮球价格的调整，每个品牌篮球的售价比第一次购买时提高了元，每个品牌篮球的售价比第一次购买时减少了．已知该校计划出资不超过元用于购入、两种品牌的篮球，求的最大值． 24．在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求的面积； (2)如图，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若与的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当的面积为时，求出点的坐标． 25．如图1，已知，，是上的点，，是上的点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)过点作交延长线于点，作，的角平分线交于点． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，交于点，若，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一升初二数学入学模拟测试卷（人教版重庆适用：包含七下所有内容） 时间：120min 总分：150分 一、单选题（每题4分） 1．下列各数为无理数的是（    ） A． B． C． D．0.7 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得到答案. 【详解】解：根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数. 是整数，属于有理数，是分数，属于有理数，是有限小数，属于有理数. 是无限不循环小数，符合无理数的定义. 2．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据第二象限内的点横坐标是负数，纵坐标是正数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点在第二象限， 故选：B． 3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．调查全班同学的身高情况 B．调查全国中小学生的课外阅读情况 C．调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 D．调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【分析】解题依据为：当调查对象数量少，调查不具有破坏性，易操作时，适合采用全面调查，反之适合抽样调查，据此对各选项判断即可. 【详解】解：∵全面调查适用于调查对象数量少，无破坏性，易全面统计的情况， A 调查全班同学的身高，调查对象数量少，操作简单，适合全面调查； B 全国中小学生数量大，调查范围广，不适合全面调查； C 超市售卖草莓数量大，检测农药残留具有消耗性，不适合全面调查； D 测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合全面调查. 4．若，则下列不等式变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可. 【详解】解：A选项：根据不等式的基本性质一，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，可得：，故A选项正确； B选项：根据不等式的基本性质三，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得：，故B选项错误； C选项：根据不等式的基本性质二，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得：，故C选项错误； D选项：当时，，此时， 不成立， 故D选项错误． 5．估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】使用夹逼法先确定的取值范围，再推导的范围即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， ∴的值在2和3之间． 6．如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形中基本图形个数的变化，发现后一个图案比前一个图案多3个基本图形，从而归纳出第个图案中基本图形个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案中基本图形的个数为； 当时，基本图形的个数为． 7．已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】平行于轴的直线上的点的横坐标相等，以及点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此即可求解点的坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于y轴的直线上， ∴， ∵点B到x轴的距离为3， ∴点B的纵坐标的绝对值为3， ∴点B的纵坐标为或3， ∴点B的坐标为或 8．《九章算术》是中国古代数学的重要著作，书中有一个问题，原文是：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤，问燕雀一枚各重几何？”意思是：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用秤称重量，每只雀比每只燕重；将一只雀和一只燕交换位置而放，刚好重量相等；并且所有的雀燕共重一斤；问雀、燕每只各重多少斤？”若设一只雀重斤，一只燕重斤，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找出两个等量关系，一是5只雀和6只燕的总重量为1斤，二是交换一只雀和一只燕后两侧重量相等，据此列出方程组判断选项即可． 【详解】解：∵所有雀和燕一共重1斤，一只雀重斤，一只燕重斤， ∴， ∵将一只雀和一只燕交换位置后重量相等，交换后一侧为4只雀加1只燕，另一侧为1只雀加5只燕， ∴，即， 因此可得方程组． 9．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，每秒有规律地沿着箭头所示方向移动一个单位长度，如第1秒时点移动到点，第2秒时移动到点，然后依次移动到，，则动点第秒时移动到点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把动点绕原点转一圈看作一个周期，观察对角点、右下角的时间规律即可． 【详解】动点到达用时秒，到达用时秒，到达用时秒，则到达时，用时秒，当时，解得，所以动点第秒移动到了点． 10．整式：，其中，为正整数．，…，，均为整数．满足，．下列说法： ①满足条件的整式中，的最大值为6； ②当，时，满足条件的整式共有22个； ③满足条件的所有二次二项式的和为． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意将所有符合条件的整式列举出来即可判断． 【详解】解：∵， ∴的最大值为5， ∵为正整数， ∴的最小值为1， ∴． ∵， ∴． ①当时，则， 要使的值最大，则，，或，， 此时． 当时， 要使的值最大，则，，，，， 此时． 当时， 要使的值最大，则，，，，，， 此时． 当时， 要使的值最大，则，，，，， 此时． 当时， 要使的值最大，则，，，， 此时． 综上所述，的最大值为6， 故①正确； ②当，时，即， 若，，则或0或，共3种情况； 若，，则或或，共3种情况； 若，，则或，共2种情况； 若，，则或或，共3种情况； 若，，则或或，共3种情况； 若，，则或，共2种情况； 若，，则或或，共3种情况； 若，，则或，共2种情况； 若，，则，共1种情况； 综上所述，满足条件的整式共有22个； 故②正确； ③∵整式是二次二项式， ∴， 当时，则，， 此时； 当时， 若，则， 若，则， 若，则， 此时或或； 当时， 若，则， 若，则， 若，则或或， 此时或或或或； 当时， 若，则， 若，则或或， 此时或或或； 当时， 若，则或或， 此时或或； 综上所述，满足条件的所有二次二项式的和为， 故③正确； ∴正确的有3个． 二、填空题（每题4分） 11．比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12．已知点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上的点纵坐标为，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为 ， 即 ， 解得：. 13．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______ 【答案】 【分析】根据数轴可得，则，据此计算算术平方根，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 14．若关于的不等式组恰好有4个整数解，且关于的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数之和是_______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到解集，根据恰好4个整数解确定a的初步取值范围，再根据y的方程解是非负数确定a满足的条件，找出所有符合条件的整数a求和即可． 【详解】解：解不等式 ，得， 解不等式 ，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解， ∴这4个整数解为2，3，4，5， ∴ 解得 ， ∴整数a的可能取值为， 解方程 ，得， ∵方程的解是非负数， ∴，即， 解得 ∵， ∴， ∴符合条件的整数a为， ∴符合条件的所有整数a的和为． 15．如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，那么的度数为_______． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键． 由折叠性质和平行可得，从而求得，再由即可求解． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．我们规定：一个四位数（）的各个数位上的数字均不为，若满足，则称这个四位数为“倍乐数”．例如：四位数，因为，所以是“倍乐数”．按照这个规定，最大的“倍乐数”是________；一个“倍乐数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，若能被整除，则所有满足条件的“倍乐数”的最小值是________． 【答案】 【分析】对于第一空，要使“倍乐数”最大，则要最大，当时，可求出，当时，，此时满足同时取得最大值，据此可得第一空的答案；对于第二空可求出，则可求出，要使“倍乐数”最小，则首先要保证a最小，当时，可推出，则可确定的取值范围，确定的最大值，进而求出此时的值即可得到答案． 【详解】解：∵要使“倍乐数”最大， ∴首先要保证千位上的数字最大， ∴要最大， ∵， ∴当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，即，此时满足同时取得最大值， ∴最大的“倍乐数”是； ∵一个“倍乐数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵要使“倍乐数”最小， ∴首先要保证a最小， 当时，， ∵能被6整除，且19不是6的整倍数， ∴一定能被6整除， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为2，此时， ∴所有满足条件的“倍乐数”的最小值是． 三、解答题（第17、18题每题8分，其余每题10分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘方的定义、算术平方根的定义、立方根的定义把算式各部分计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）根据二次根式的性质和绝对值的性质进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： . 18．解方程组、不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ②得：③， ①③得：， 解得：， 把代入方程②得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 解不等式①， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组的解集为． 19．为了提高学生的应急能力，加强安全防范意识，我校举行了《安全应急能力相关知识》的竞赛，赛后随机抽查了部分参赛同学的成绩，对参赛同学的分数（单位：分）进行了分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中_____，“A”组对应的圆心角度数为_____．； (3)若全校共有2000名学生参加竞赛，估计该校竞赛成绩不低于70分的学生有多少人？ 【答案】(1)补全频数分布直方图，如图所示： (2)30； (3)1700人 【分析】（1）先根据D组的人数和所占的百分比求出总人数，然后求出B组的人数，最后补全频数分布直方图即可； （2）求出C组所占百分比，即可得出m的值，乘以A组所占的百分比即可得出“A”组对应的圆心角度数； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：抽查的学生总人数为： （人）， B组的学生人数为：（人）， 补全频数分布直方图略； （2）解：C组所占百分比为：，即； “A”组对应的圆心角度数为：； （3）解：（人）， 答：该校竞赛成绩不低于70分的学生有1700人． 20．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，将三角形在坐标系中平移，使得点平移至图中点的位置，点B的对应点为，点C的对应点为． (1)在平面直角坐标系中作出三角形，并写出，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)x轴上有一点，若三角形的面积与三角形的面积相等，则点P的坐标为______． 【答案】(1) 如下图所示 的坐标为，的坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由题意知，三角形是向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形，根据平移的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）根据若三角形的面积与三角形的面积相等可以求出，进而可得点的坐标为或． 【详解】（1）略 （2）三角形的面积为： （3）解：依题意得：三角形的面积， ∴， ∵的坐标为． ∴点的坐标为或． 21．已知实数是的立方根，非零实数的算术平方根是． (1)求的平方根； (2)若是的平方根与的立方根之和，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的定义可求出，根据算术平方根的定义求出，再根据平方根的定义即可求解； （2）根据平方根及立方根的定义求出的值即可求解； 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴， ∵非零实数的算术平方根是， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：，， ∵是的平方根与的立方根之和， ∴， ∴或， ∴或， ∴的立方根是． 22．如图，点，，在同一条直线上，已知平分，平分，，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：平分， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 【分析】（1）求解，进一步结合角平分线的定义可得答案； （2）证明，，证明，可得，进一步利用角平分线的定义证明即可． 【详解】（1）解：， ． 平分， ， ． （2）略 23．为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，甲、乙两所学校准备购入、两种品牌的篮球．已知两校购入的、两种品牌的篮球的价格均是统一的．根据实际需求，甲学校购入个品牌篮球和个品牌篮球，一共花费元；乙学校购入的品牌篮球数量比甲学校少，购入的品牌篮球数量比甲学校多，最终两所学校的费用相同． (1)求、两种品牌的篮球的单价分别是多少元？ (2)乙学校决定再次购入一批、两种品牌的篮球共个，购入品牌篮球的数量比第一次增加个．正好赶上篮球价格的调整，每个品牌篮球的售价比第一次购买时提高了元，每个品牌篮球的售价比第一次购买时减少了．已知该校计划出资不超过元用于购入、两种品牌的篮球，求的最大值． 【答案】(1)品牌篮球的单价为元，品牌篮球的单价为元 (2)的最大值为 【分析】（1）设品牌篮球单价为元，品牌篮球单价为元，列方程组求解即可； （2）根据乙学校第二次购买篮球的数量和单价列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设品牌篮球单价为元，品牌篮球单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：品牌篮球的单价为元，品牌篮球的单价为元； （2）解：乙学校第一次购买品牌篮球个，则第二次购买品牌篮球个， 购买品牌篮球的数量为个， 根据题意可得：， 解得：， 答：的最大值是． 24．在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求的面积； (2)如图，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若与的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当的面积为时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用算术平方根的非负数性质得出，进而求出，可得，，利用三角形面积公式即可得出答案； （2）连接，过点作轴于，根据平移的性质得出，根据与的面积相等得出，根据各点坐标求出，设，根据可求出，即可求出点坐标； （3）根据的面积为，得出点在外，分两种情况，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行，设运动时间为，，由两点速度可得，利用三角形面积公式可得，利用割补法，结合的面积为可列出方程，解方程求出的值即可得出点坐标；当点在第一象限时，同理可求出点坐标，综上即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接，过点作轴于， ∵将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，， ∴，，， ∵与的面积相等， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵点在轴上且位于点左侧，， ∴设 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：∵的面积为，， ∴点在外， 如图，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行， 设运动时间为，，则，， ∴， ∵， ∴， 整理得，，即， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 如图，当点在第一象限时，过点分别作轴于、轴于， 设，同理可得：， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 25．如图1，已知，，是上的点，，是上的点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)过点作交延长线于点，作，的角平分线交于点． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，交于点，若，直接写出的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2)①；② 【分析】（1）根据平行线的性质，先证，等量代换得，，根据平行线的判定，即可求证； （2）根据平行线的性质和垂直的定义，易得，利用角平分线的定义和平行线的性质，可求，，，从而，最后根据，即可求解；②设，则，根据题意，可得，从而，再根据角平分线的定义和平行线的性质，易得，，进而可求，，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①， ， ， ，即， 平分，， ，， ， ， ， ， 平分， ， ； ②设，则， 平分， ， ， ， ， ， ，解得， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $