26.4 第1课时 几何图形的面积问题-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦二次函数解决几何图形面积最值问题，以学校围矩形花圃情境导入，从实际问题中抽象面积与边长的函数关系，衔接二次函数解析式、图象及性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于通过“问题链”驱动合作探究，典例1及变式训练设未知数列二次函数式，结合几何条件讨论自变量范围，培养模型意识与推理能力。动点问题典例2分析运动中变量关系，发展几何直观与抽象能力。助力学生掌握数形结合思想，提升解决实际问题能力，为教师提供清晰教学流程与实例参考。

26.4　实际问题与二次函数 第1课时　几何图形的面积问题 ◇教学目标◇ 　　1.从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系,体会“数形结合”的思想. 2.能根据具体几何问题中的数量关系,列出二次函数解析式,并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题,体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型. 3.通过转化建模,让学生学会合作、交流. ◇教学重难点◇ 教学重点 运用二次函数解决几何图形中有关的最值问题. 教学难点 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得. ◇教学过程◇ 一、情境导入 同学们,学校想在一块足够大的空地上用40米长的篱笆围出一块矩形花圃,用来种植不同颜色的花卉.如果你是设计师,你会怎样确定长和宽,才能使花圃的面积最大?最大面积又是多少? 在这个问题中,矩形的长和宽变化时,面积也会随之改变.你能发现矩形的面积与边长之间的函数关系吗?它背后隐藏着怎样的数学规律?今天就让我们用二次函数的视角,来解开这个“面积最大化”的秘密. 二、合作探究 探究点1　实际问题中的最大面积 典例1　如图,利用一面墙(墙的长度不限),用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? [解析]　设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为(20-2x)m,矩形菜园的面积S=x(20-2x), 即S=-2x2+20x(0<x<10). 当x=-=-=5时,S有最大值为=50. 因此,当垂直于墙的边长为5 m时,这个矩形菜园的面积最大,最大面积为50 m2. 变式训练　如图,有长为30 m的篱笆,围成一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)且围面中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为x m,面积为y m2. (1)求y与x的函数关系式. (2)y是否有最大值?如果有,请求出y的最大值. [解析]　(1)由题意,得y=x(30-3x),即y=-3x2+30x. (2)由题意,得0<30-3x≤10,即≤x<10. 对称轴为x==-=5, 又当x>5时,y随x的增大而减小, ∴当x=时面积最大,最大面积为 m2. 探究点2　动点问题中的最大面积 典例2　如图,矩形ABCD的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P在边AB上沿射线AB方向以2 cm/s的速度匀速运动,点Q在边BC上沿射线BC方向以1 cm/s的速度匀速运动(其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动).设运动时间为x s,△PBQ的面积为y cm2. (1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围; (2)求△PBQ的面积的最大值. [解析]　(1)∵S△PBQ=PB·BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x, ∴y=(18-2x)x,即y=-x2+9x(0<x≤4). (2)由(1)知y=-x2+9x, ∴y=-, ∵当0<x≤时,y随x的增大而增大, 而0<x≤4,∴当x=4时,y最大值=20, 即△PBQ的最大面积是20 cm2. 方法指导当顶点不在自变量的取值范围内时,用二次函数的增减性求最值;当顶点在自变量的取值范围内时,可通过计算顶点的纵坐标以及端点的纵坐标求最值,也可通过画图象求解. 三、板书设计 几何图形的面积问题 ◇教学反思◇ 　　与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型,解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形,找出各部分面积之间的关系,运用面积等计算公式列出方程.对图形进行分割或补全的原则:转化成为规则图形时越简单越直观越好. 1 立足安徽 精准备考 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $