12.3 实验：电池电动势和内阻的测量 讲义及课时强化练 -2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

本讲义聚焦“电池电动势和内阻的测量”核心知识点，系统梳理教材原型实验（含原理、器材、步骤及误差分析）、创新实验提升（安阻法、伏阻法等拓展方法）及真题回顾，构建从基础到应用的学习支架。 资料通过分层实验设计（原型到创新）、深入误差分析（系统与偶然误差）及多样化题型（例题、变式、真题），培养学生科学探究（实验操作与数据处理）和科学思维（图像分析、误差推理）能力，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏。

12.3实验：电池电动势和内阻的测量 【题型精讲练】 1 题型1 教材原型实验 1 题型2 创新实验提升 15 【真题回顾】 31 【题型精讲练】 题型1 教材原型实验 一、实验目的 1．测量电源的电动势和内阻。 2．加深对闭合电路的欧姆定律的理解。 二、实验原理 1．原理图如图所示 2．由实验数据求E、r的方法 (1)列方程求解：由U＝E－Ir得解得E、r。 (2)用作图法处理数据，如图所示。 ①图线与纵轴交点为 电动势E　； ②图线的斜率的绝对值表示r＝ ＝　。 三、实验器材 电池、电压表、电流表、 滑动变阻器　、开关、导线、坐标纸和刻度尺。 四、实验步骤 1．电流表用 0.6 A　量程，电压表用 3 V　量程，按实验原理图甲或乙连接好电路。 2．把滑动变阻器的滑片移动到接入电路阻值最 大　的一端。 3．闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)，用同样方法测量出6组I、U的值，填入表格中。 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 U/V I/A 4.断开开关，拆除电路，整理好器材。 五、误差分析 1．若采用图甲电路，由于电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差越大。其U－I图像如图乙所示。 结论：E测<E真，r测<r真。 2．若采用图丙电路，由于电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大。其U－I图像如图丁所示。 结论：E测＝E真，r测>r真。 六、注意事项 1．合理选择电压表、电流表量程。测一节干电池的电动势和内阻时，电压表选3 V量程，电流表选0.6 A量程，滑动变阻器选0～10 Ω。 2．应使用内阻大些(用过一段时间)的干电池；在实验中不要将I调得过大；每次读完I和U的数据后应立即断开电源，以免干电池在大电流放电时E和r明显变化。 3．在作U－I图线时，要使较多的点落在这条直线上，不在直线上的点应均匀分布在直线的两侧，忽略个别偏离直线较远的点，以减小偶然误差。 4．干电池内阻较小时，U的变化较慢，此时，坐标轴中数据点将呈现如图甲所示的状况，为此，可使纵坐标不从零开始，如图乙所示，把坐标的比例放大，可使结果的误差减小些，此时图线与横轴交点不表示短路电流。另外，计算内阻要在直线上任取两个相距较远的点，用r＝||算出电池的内阻r。 【例题精讲】 【例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）在“测量一节干电池的电动势和内阻”实验中，电路图如图，可选用的实验器材有： 电压表（量程）；电压表（量程）； 电流表（量程）；电流表（量程）； 滑动变阻器（最大阻值）；滑动变阻器（最大阻值）； 干电池；开关S；导线若干； (1)选择合适的器材：滑动变阻器应选____________（填写所选器材前的符号） (2)测得的7组数据已标在如图所示坐标系上，用作图法求干电池的电动势____________V和内阻____________。（注意纵坐标未从0开始） (3)按照图1的测量方法，某同学利用图像分析由电表内电阻引起的实验误差。在下图中，实线是根据实验数据描点作图得到的图像；虚线是该电源的路端电压U随电流I变化的图像（没有电表内电阻影响的理想情况）。下列图像中哪一个是该实验的分析____________。 A． B． C． D． 【答案】(1)R1 (2) 1.50 1.04 (3)A 【详解】（1）一节干电池的电动势大约1.5V，电压表应选择量程为3V的V1，一节干电池的内阻大约1Ω，为了精确测量电路中电流，电流表应选择量程为0.6A的A1，电路中的最大电阻约为 为了便于调节电路，滑动变阻器选择R1。 （2）[1][2]根据图中的点迹作图，如图所示 根据闭合电路欧姆定律可得 根据图像可知干电池的电动势 干电池的内阻 （3）图1的实验误差来自于电压表的分流作用，当电压表示数为零时无电流通过电压表，此时测量值等于真实值，电压表的示数越大，实际流过外电路的电流与理论上流过外电路电流的差值越大，故对应图中的U-I图像是A。 【例2】（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）某实验小组利用DIS等实验器材测量同一电池组的电动势和内阻，实验装置如图甲所示，多次改变电阻箱的阻值，记录外电路总电阻阻值R，用电压传感器测得路端电压U，并在计算机上显示出如图乙所示的关系图线．图线在横轴的交点为a，在纵轴的交点为b，由图线可知，______，______（均用a、b表示）． 【答案】 【详解】[1][2]外电路的总电阻为 利用闭合电路欧姆定律得 变形为 由此可知关系图线在纵轴的截距 解得 图线斜率等于 解得 【变式训练1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）某学习小组计划测量一节干电池的电动势和内阻。 (1)该小组先用多用电表粗测电池的电动势。将选择开关旋至直流电压2.5V挡，______（填“红”或“黑”）表笔接电池的正极，另一表笔接负极，示数如图a所示，其读数为________V。 (2)该小组再用伏安法精确测量电池的电动势和内阻，实验电路图如图b所示。实验器材包括：量程为的电流表、量程为的电压表、最大阻值为的滑动变阻器开关以及导线若干。 ①调节滑动变阻器的滑片，记录多组电压表和电流表的示数，在坐标纸上以“+”标出相应的数据点，绘制出的图像如图c所示。根据图像可得该电源的电动势______保留3位有效数字，内阻______（保留2位有效数字）。 ②由于电表并非理想电表，导致______（填“电压”或“电流”）的测量存在系统误差。在下图所示的图像中，实线是根据实际测量数据绘制的图线，虚线是假设电表均为理想电表时绘制的图线，则图中能正确表示二者关系的是____（选填选项字母）。 A、B、 C、D、 (3)若使用相同的实验器材，改用图d所示的电路进行测量，则测得的电动势E测与真实值E真的关系为E测________E真，内阻r测与真实值r真的关系为r测________r真（填“大于”、“小于”或“等于”）。 【答案】(1) 红 1.45 (2) 1.48 0.81 电流 B (3) 等于 大于 【详解】（1）[1]使用多用电表粗测电池的电动势，将多用电表的选择开关旋至直流电压2.5V挡，红表笔接电池的正极，黑表笔接负极。 [2]根据图a所示的表盘读数，可以得到电池的电动势1.45V。 （2）[1]图像的截距可知电池的电动势为1.48V。 [2]由闭合电路欧姆定律 图像的方程为 则图像得 [3]电表并非理想电表，电压表存在分流作用，电流表只测滑动变阻器的电流，小于电路真实总电流，电流的测量存在系统误差。 [4] 该电路图中，电压表测量的是准确的路端电压 U，但电流表测量的并不是通过电源的总电流。因为电压表存在分流作用，实际流过电源的干路电流 由于忽略了电压表的分流，测得的电流总是偏小。反映在U−I 图像上，真实图线与测量图线会在横轴（短路电流点）相交，但测量图线的纵轴截距（电动势）和斜率大小（内阻）都比真实图线要小，故ACD错误，B正确。 故选B。 （3）使用图d所示的电路进行测量时，测得的电动势与真实值相等，但内阻的测量值会大于真实值。 【变式训练2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）某同学设计了一个如图甲所示的实验电路，用以测定电源电动势和内阻，使用的实验器材：待测干电池组（电动势E约3V）、电流表A（量程10mA，内阻小于1Ω）、电阻箱R（0~99.99Ω）、滑动变阻器（0~400Ω）、单刀双掷开关、单刀单掷开关各一个及导线若干。考虑到干电池的内阻较小，电流表的内阻不能忽略，故先测量电流表的内阻。 (1)该同学设计用甲图测量电流表内阻步骤如下： ①断开单刀双掷开关以及开关K，将滑动变阻器滑片P滑至B端、电阻箱R阻值调到最大。 ②保持单刀双掷开关断开，闭合开关K，滑动滑片P，使电流表满偏。 ③将单刀双掷开关接C触点，保持滑片位置不动，调节电阻箱R的阻值，直到电流表指针如图丙所示。此时电流表读数为________mA，读出此时电阻箱的阻值。 (2)断开开关K，将单刀双掷开关接D触点。该同学又进行了电池电动势和电池内阻的测量实验，一共记录了六组电流I和电阻箱R的对应数值，并建立坐标系，作出“–R”图线如图乙，由此求出电动势E=________V、内阻r=________Ω。（计算结果保留两位有效数字） 【答案】(1)7.5 (2) 2.9 2.3 【详解】（1）由于该电流表的分度值为，读数时只要读到该分度值即可，故电流表的读数为 （2）[1][2]根据并联电路特点可得 其中， 解得电流表的内阻 根据闭合电路的欧姆定律得 整理可得 故在图像中，其斜率 纵截距 联立解得， 【题型强化练】 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）某同学测量某电源的电动势和内阻，提供下列仪器： A．待测电源（电动势E约为4V，内阻r约为180Ω） B．毫安表（量程5mA，内阻为Rg=80Ω） C．电压表V1（量程4V，内阻约5kΩ） D．电压表V2（量程40V，内阻约500Ω） E.电阻箱R0（0~999.9Ω） F.滑动变阻器R（0~1000Ω） G.开关、导线若干。 （1）为尽量减小实验误差，实验中电压表选择_________；（填写元件的字母代号） （2）由于毫安表的量程太小，该同学用电阻箱R0与毫安表并联，使其量程变为25mA，需要将电阻箱R0的电阻调为20Ω； （3）用改装后的电流表完成实验，应该选择的实验电路是图中的______（填“甲”或“乙”）； （4）根据实验数据画出U-I图线如图丙所示。由图线可知电源的电动势E=___V，内电阻r=____Ω。（结果均保留三位有效数字） 【答案】 C 乙 3.80 171 【详解】[1]由于待测电源电动势约为4V，为尽量减小实验误差，实验中电压表选择量程为4V的电压表。 故选C。 [2]因电流表内阻已知，所以电流表应采用相对电源的内接法，从而消除系统误差。 故选乙。 [3][4]电流表改装后的内电阻 根据闭合电路欧姆定律 结合图线可得， 所以电源内电阻为 2．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）某课外兴趣小组利用图甲电路测量某电池的电动势和内阻，定值电阻，实验的主要操作如下： (1)按图甲接好电路进行实验，记下电阻箱和电压表对应的一系列读数R、U，获取了多组数据，作出的图像如图乙所示，若把流过电阻箱的电流视为干路电流，则可得该电池组的电动势E=________V；内阻，r=________。（结果均保留到小数点后一位） (2)若考虑电压表的分流作用，则该实验中电动势的测量值与真实值相比________（选填“偏大”、“偏小”或“相等”）。 【答案】(1) 2.7 0.7 (2)偏小 【详解】（1）[1][2]根据闭合电路欧姆定律 整理可得 可知图线纵截距为，斜率为 由图像可知， 解得， （2）若考虑电压表分流作用，闭合电路欧姆定律为 整理可得 则图像的纵轴截距为 整理可得 故电动势的测量值与真实值相比偏小。 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）小明想测量某水果电池的电动势（约2V）和内阻（约1kΩ）。除了导线和开关，只有一个多用电表和9999.99Ω的电阻箱，为了更精确地得到测量结果，他设计了如图的实验。 （1）按照图甲连接实验电路，将多用电表的选择开关打到直流电压2.5V挡。其______（选填“红”或“黑”）表笔与电源正极连接，闭合开关，改变电阻箱电阻，记录多组（U、R）值，利用换算成每组（U、I）值，画出U-I图像；某次测量电压表示数如图乙，读数为______V。 （2）将多用电表的选择开关打到直流电流2.5mA挡，如图丙连接电路，从大到小改变电阻箱的电阻，记录多组（I、R）值，利用换算成每组（U、I）值，在同一坐标轴上画出U-I图像，如图丁所示。 （3）图丁中图线______（选填“Ⅰ”或“Ⅱ”）是图甲对应的实验所得的图线。小明得出这个水果电池的电动势后，分析并计算出水果电池的内阻是r=______kΩ（结果保留三位有效数字），电表的内阻对此次实验结果______（选填“有”或“无”）影响。 【答案】 红 1.70 Ⅱ 1.01 无 【详解】（1）[1][2]电流由红表笔流进表，红表笔接电源正极；电压表读第二排直流电压刻度，则电压表示数为1.70V。 （3）[3][4][5]图甲中由于电压表内阻影响使得电源电动势、内阻测量值会偏小，图丙由于电流表内阻影响使得电动势测量准确，但是内阻测量值偏大，所以是图线Ⅱ；图线Ⅰ的纵截距是电动势的真实值，则；图线Ⅱ的短路电流是真实值2.00mA，算出电源内阻的真实值；两种解法结合可得电源电动势内阻的真实值，所以电表内阻对测量结果无影响。 4．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）用如图所示的电路，测定一节干电池的电动势和内阻。电池的内阻较小，为了防止在调节滑动变阻器时造成短路，电路中用一个定值电阻起保护作用。除电池、开关和导线外，可供使用的实验器材还有： A．电流表（量程0.6A、3A）； B．电压表（量程3V、15V） C．定值电阻（阻值、额定功率5W） D．定值电阻（阻值，额定功率10W） E．滑动变阻器（阻值范围、额定电流2A） F．滑动变阻器（阻值范围、额定电流1A） (1)要正确完成实验，电压表的量程应选择________V，电流表的量程应选择________A；应选择________的定值电阻，R应选择阻值范围是________的滑动变阻器。 (2)关于该实验中存在的误差，下列分析正确的是（   ） A．电流表的分压作用 B．电压表的分流作用 C．读数过程中存在偶然误差 D．读数过程中存在系统误差 (3)该同学按照要求连接好电路并进行实验，根据实验数据绘出了如图所示的U-I图像，则电源的电动势测量值________V，电源内阻测量值________。 (4)在上述实验过程中存在系统误差。在下图所绘图像中，虚线代表没有误差情况下，电压表两端电压的真实值与通过电源电流真实值关系的图像，实线是根据测量数据绘出的图像，则图中能正确表示二者关系的是（   ）（选填选项下面的字母）。 A． B． C． D． 【答案】(1) 3 0.6 1 (2)BC (3) 1.5 0.6 (4)A 【详解】（1）[1][2][3][4]由于一节干电池的电动势约为，故应选量程为的电压表；估算电流时，考虑到干电池的内阻一般几欧左右，加上保护电阻，最大电流在左右，所以选量程为的电流表；由于电池内阻很小，所以保护电阻不宜太大，否则会使得电流表、电压表取值范围小，造成误差大，所以选；滑动变阻器的最大阻值一般比电池内阻大几倍就好了，取能很好地控制电路中的电流和电压，若取0～100Ω会出现开始几乎不变最后突然变化的现象。 （2）AB．本实验中由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比真实值小，故A错误，B正确； CD．读数过程中存在的是偶然误差，故C正确，D错误。 故选BC。 （3）[1][2]由闭合回路欧姆定律有 化简得 可知 （4）关于系统误差一般由测量工具和测量方法造成的，一般具有倾向性，总是偏大或者偏小；本实验中由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比通过电源电流值小，仅在电压表读数为0时，电流表读数才与通过电源的电流相等，故造成，，图线的纵轴截距偏小，斜率偏小，故选A。 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）某探究小组的同学利用如图甲所示电路测定一节干电池的电动势和内阻，要求测量结果尽量准确，学校实验室提供的实验器材如下： 电流表（量程0~15mA，内阻为10Ω）； 电流表（量程0~90mA，内阻约为5Ω）； 定值电阻（阻值为1000Ω）； 定值电阻（阻值为90Ω）； 滑动变阻器（0~50Ω）； 滑动变阻器（0~5000Ω）； 待测干电池一节（电动势约为1.5V）； 开关S一个，导线若干。 (1)为了能比较准确地进行测量，同时还要考虑实验操作的方便，实验中滑动变阻器应选______（填“”或“”），定值电阻应选______（填“”或“”）。 (2)图丙所示为该同学根据实验数据作出的电流表的示数与电流表的示数的图线，由该图线可得被测干电池的电动势______V，内阻______Ω。（结果均保留3位有效数字） (3)根据图甲所示的电路图，将图乙中实物图连接起来，组成完整的电路。要求在电路图中的虚线框内将电流表和定值电阻用题目中的代号表示出来。 (4)从实验设计原理来看，该干电池电动势的测量值______（填“大于” “小于”或“等于”）真实值。 【答案】(1) (2) 1.39 7.41 (3) (4)等于 【详解】（1）[1]为准确测量，减小误差，方便实验操作，滑动变阻器应选； [2]题中没有给电压表，所以需要将一个电流表与一个定值电阻串联改装成大量程的电压表，已知电流表的内阻，即将电流表改装成电压表，电流表的量程15mA，要测1.5V的电压，根据改装原理，可得需要串联的电阻为 故定值电阻选； （2）[1][2]根据闭合电路欧姆定律有 变形得 结合图丙，可得图像的斜率的绝对值 解得 结合图丙，可得图像的纵截距 解得 （3）根据图甲所示的电路图，将图乙中实物图连接起来，如图所示 （4）根据闭合电路欧姆定律有 可知、均为真实值，故该干电池电动势的测量值等于真实值。 6．（2026·河北石家庄·模拟预测）太阳能电池是一类能直接将太阳光能转化为电能的光电半导体器件，也常被称作光伏电池。当它受到达到一定强度的光线照射时，能瞬间产生电压；若外接闭合回路，便会形成电流。这一过程在物理学中被称为太阳能光伏效应。某研究小组取了一片光伏电池板来探究其发电性能，设计了如图乙的实验电路。主要实验步骤如下： a、按电路图乙连接好实验器材； b、用光照强度为的光照射该电池，闭合开关，多次调节滑动变阻器滑片，读出多组电压表、电流表的示数； c、根据读出的电压表、电流表示数描绘出该电池的图像。 (1)如图丙所示，曲线①与曲线②中，一条为依据实测电压、电流数据绘制的电池特性曲线，另一条为该电池出厂时的精确工作曲线，则根据实验数据绘制的曲线为______（选填“①”或“②”），与出厂精确工作曲线的误差来源于__________； (2)在光照强度为的情况下，通过图丙的曲线②可得该电池电动势的真实值__________，将该电池与的定值电阻连接，此时该电池内阻的真实值__________。（结果保留到小数点后一位） 【答案】(1) ① 电流表分压 (2) 【详解】（1）[1][2]电路中，电流表串联在干路，电流表内阻非零，内阻会分压，电压表只测量滑动变阻器两端的电压，因此测量的路端电压小于真实路端电压，所以相同电流下测得的更小，曲线①整体在曲线②的下方，因此实验曲线为①，实验误差主要来源于电流表的分压。 （2）[1]电源电动势的真实值等于开路电压，即时的电压，由图丙曲线②可知，时， [2]当外接定值电阻时，满足 当单位为时，（单位），作该电阻的线与曲线②相交。 由图可得工作点约为， 由闭合电路欧姆定律 解得。 题型2 创新实验提升 一．安阻法 1．实验原理 用一个电流表和电阻箱测量，电路如图所示，测量原理为：E＝I1(R1＋r)，E＝I2(R2＋r)，由此可求出E和r，或用图像法处理数据。此种方法使测得的电动势无偏差，但内阻偏大。若已知电流表的阻值可消除测内阻的系统误差。 2．图像法处理数据 3．误差分析 (1)误差来源：电流表有电阻，导致内阻测量不准确； (2)结论：E测＝E真，r测>r真(r测＝r真＋rA)。 二．伏阻法 1．实验原理 用一个电压表和电阻箱测量，电路如图所示，测量原理为：E＝U1＋r，E＝U2＋r，由此可求出r和E，或用图像法处理数据。此种方法测得的电动势和内阻均偏小。 2．图像法处理数据 3．误差分析 (1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确； (2)结论：E测<E真，r测<r真。 【例题精讲】 【例1】（2026·河南驻马店·模拟预测）学习小组想较准确地测量一节干电池的电动势和内阻。 (1)先利用如图甲所示的电路测量电流表A的内阻。可使用的器材有： 滑动变阻器R（最大阻值为20Ω）； 电阻箱（最大阻值为9999.9Ω）； 电源E（电动势约为1.5V）； 定值电阻（阻值为250Ω）； 定值电阻（阻值为2500Ω）； 灵敏电流计G； 开关S，导线若干。 ①闭合开关前，应将R的滑片移至______（填“a”或“b”）端； ②闭合开关S，将R的滑片置于适当位置，再反复调节，使______，读出此时的阻值为900.0Ω，则电流表A的内阻为______Ω（结果保留一位小数）。 (2)再利用图乙所示的电路测量电池的电动势E和内阻r，利用第（1）问已经测得内阻的电流表A，与电流表A并联的定值电阻。当电阻箱的阻值为R时，电流表A的读数为I，改变电阻箱的阻值，得到多组数据。作出图像为一条直线，如图丙所示。则待测电源的电动势E＝______，内阻r＝______。（结果均保留两位有效数字） 【答案】(1) a 灵敏电流计G的示数为0 90.0 (2) 1.5V 1.5Ω 【详解】（1）[1]图中滑动变阻器采用分压式接法，为保护测量电路，闭合开关前滑片应置于输出电压最小的位置，即端。 [2]根据电桥平衡原理，闭合开关S，将的滑片置于适当位置，再反复调节电阻箱，使灵敏电流计G的示数为0，此时电桥达到平衡。 [3]当灵敏电流计G的示数为0时，两支路电势差分布成比例，满足 代入数据解得电流表A的内阻为 （2）[1][2]电流表A与定值电阻组成并联电路，并联部分的等效电阻为 根据并联分流规律，干路总电流为 根据闭合电路欧姆定律有 整理得 结合图像可知，图线的斜率为 图线的纵轴截距为 联立两式解得， 【例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）某学习小组用两种不同的金属电极插入苹果做了一个如图甲所示的“水果电池”并测量其电动势和内阻： (1)除待测水果电池外，实验室提供如下器材： A．滑动变阻器（阻值） B．滑动变阻器（阻值） C．电压表V（量程，内阻约） D．电流表A（量程，内阻为） E.开关一个，导线若干 为了尽可能准确测定这个水果电池的电动势和内阻，已提供的如图乙、丙所示的两个测量电路图，应选______（填“乙”或“丙”）；滑动变阻器应选______（填“”或“”）。 (2)选择正确的电路和实验器材后由实验数据作出的图像如图丁所示，由图像可求得电源电动势为______（结果保留三位有效数字），内阻为______（结果保留三位有效数字）。 (3)该小组还设计了图戊所示的电路，其中为工作电源，为限流电阻，为粗细均匀同种材料的电阻丝，为滑动触头，G为灵敏电流计；为它的保护电阻，为阻值已知的工作电阻。为了测量电源电动势和内阻，现做如下操作： ①先闭合，断开，调节滑动触头的位置，当其位于位置时，灵敏电流计示数为零； ②再闭合，调节滑动触头的位置，当其位于位置时，灵敏电流计示数再次为零，此时两端电压______（用、、表示）； ③测量出两次电阻丝和的长度分别为和。则电源内阻______（用、、表示）。 【答案】(1) 乙 (2) 1.00/0.99/1.01 985（980到1000均可） (3) 【详解】（1）[1]电流表的内阻已知，为减小实验误差，电流表应相对电源内接，测量电路图应选乙。 [2]电源内阻大，滑动变阻器阻值过小会使电路中电流变化不明显，所以滑动变阻器选。 （2）[1][2]根据闭合电路的欧姆定律有 整理得 由图像可求得电源电动势 图像斜率的绝对值 可得内阻 （3）[1]②对、回路分析得 [2]③只闭合有，同时闭合、有 又 联立解得 【变式训练1】（2026·陕西渭南·三模）某指纹锁的电池组由四节5号干电池组成，该电池组已经用了一段时间，研究性学习小组想要测量该电池组的电动势E（约6V）和内电阻r（约5Ω）。可供选择的实验器材如下： A．电流表A（量程0~0.6A，内阻RA约为8Ω）； B．电压表V（量程0~3V，内阻RV为1kΩ）； C．定值电阻R0； D．滑动变阻器R（最大阻值30Ω，额定电流2A）； E．开关一个，导线若干。 (1)为了完成实验，需要将电压表的量程扩大为6V，则在图甲电路中，电压表右侧连接的定值电阻阻值R0应为__________Ω。 (2)根据图甲的电路图，将图乙的实物连接完整。 (3)闭合开关S，调节滑动变阻器的阻值，读出电压表和电流表相应的示数U、I，为了比较准确地得出实验结论，在坐标纸中画出了如图丙所示的U-I图像，若不考虑电压表内阻，由图像可得电池组的电动势E测=__________V，内阻r测=__________Ω。（均保留三位有效数字） (4)由于电压表的分流作用，本实验测得的电源内阻r测__________真实值r真。（选填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】(1)1000 (2) (3) 5.90 4.92 (4)小于 【详解】（1）要将量程、内阻的电压表扩程到。串联电阻分压，根据串联电路规律，扩程后总电压为原来的2倍，因此串联电阻分压与电压表自身分压相等，电流相等时电阻相等，故 （2）如图所示 （3）[1][2]设电压表读数为，扩程后实际路端电压。根据闭合电路欧姆定律 整理得 因此图像的纵截距为，得 图像斜率的绝对值 解得 （4）电压表支路存在分流，电流表测量的电流小于实际干路电流，等效测量的内阻是电源真实内阻与电压表支路总电阻的并联值，因此测量值小于真实值。 【变式训练2】（2026·湖北武汉·模拟预测）某实验小组使用多用电表测量一个刻度模糊的直流电流表的内阻，所用的实验器材有：电动势为，内阻未知的直流电源以及多用电表、待测电流表、电阻箱、开关K、导线若干。 (1)如图（a）所示连接电路，将多用电表选择开关置于直流电压“10 V”挡，红、黑表笔分别接“__________、__________”两端（选填“1”“2”或“3”），调节电阻箱的阻值，记录多组多用表的示数和电阻箱的阻值，并作出相应的关系图像如图（b）所示。 (2)根据图像求得电流表的内阻__________（结果保留两位有效数字），考虑多用电表的内阻，电流表的内阻的测量值__________（选填“大于”“小于”或“等于”）真实值。 【答案】(1) 3 2 (2) 5.0 小于 【详解】（1）[1][2]根据闭合电路欧姆定律，若多用电表接在2、3两端测量电流表两端电压，有 变形可得 该式表明与成线性关系，与图（b）相符，故多用电表应接在2、3两端。电路中电流从3流向2，3点电势高于2点电势，多用电表作为电压表使用时红表笔接高电势，黑表笔接低电势，故红、黑表笔分别接3、2两端。 （2）[1]由 可知，图像的斜率 由图（b）可知斜率 已知电源电动势 代入解得 [2]考虑多用电表内阻时，多用电表与电流表并联，实际测量的是两者的并联电阻 由于并联电阻小于任一支路电阻，即，故电流表内阻的测量值小于真实值。 【题型强化练】 1．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）某研究性学习小组在学习了化学课上的原电池原理后，将铜片和锌片插入两个新鲜的柠檬中制成一个水果电池，并利用下列所给器材测量水果电池的电动势E和内阻r。 A．待测水果电池（电动势E约为2V，内阻约为几百欧） B．滑动变阻器R（最大阻值为1000Ω，额定电流为0.1A） C．电流表A（量程为3mA，内阻为12Ω） D．电压表V（量程为3V，内阻约为5kΩ） E.开关S，导线若干 (1)研究小组将电压表接入电路，设计了甲、乙两种电路，应选择__________（填“甲”或“乙”）电路。 (2)根据选择的电路，滑动滑动变阻器的滑片，得到电压表示数U与电流表示数I的多组数据，作出U-I图像如图丙所示，根据图像和题中所给信息，得到该水果电池的电动势E=________V，内阻r=________Ω。 (3)如果不考虑偶然误差，根据选择的电路，电动势的测量值______（填“>”“<”或“=”）真实值。 【答案】(1)甲 (2) 2.0 488 (3) 【详解】（1）电流表A的内阻已知，采用内接法可以避免系统误差，因此电路选择甲； （2）[1][2]根据U=E-I(r+RA)，结合图像可知该水果电池的电动势E=2.0V，内阻。 （3）因电流表的内阻已知，则如果不考虑偶然误差，电动势的测量值等于真实值。 2．（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）小王同学测量电源的电动势和内阻，于是他设计并连接好实验电路如图。 (1)同组的小李同学对这个实验进行了误差分析，其中错误的是__________。 A．由于电压表的分流作用，电流表测量值偏小 B．由于电流表的分压作用，电压表的测量值偏大 C．由于电流表、电压表的不理想产生的误差属于系统误差 D．通过多次测量作出图像，可以减小偶然误差 (2)根据记录的数据，作出如图所示的图线，根据所画图线可得，电动势__________。（结果保留三位有效数字），内电阻__________（结果保留两位有效数字） (3)实验中，随着滑动变阻器滑片的移动，除了电源两端电压会发生变化，电源的输出功率也会发生变化。图的各示意图中可能正确反映电源输出功率随路端电压变化关系的是__________。 A． B． C． D． 【答案】(1)B (2) 2.97/2.98 1.6 (3)C 【详解】（1）AB．根据闭合电路欧姆定律有 可知，实验采用电路的系统误差在于电压表的分流作用，导致电流表测量值偏小，故A正确，B错误； C．系统误差主要来源于仪器自身产生的误差，可知，由于电流表、电压表的不理想产生的误差属于系统误差，故C正确； D．偶然误差主要来源于实验者读数引起的误差，通过多次测量作出图像，可以减小偶然误差，故D正确。 本题选错误的，故选B。 （2）[1][2]根据闭合电路欧姆定律有 结合图像可知图像的纵截距与电源电动势等大，图像斜率的绝对值与电源的内阻等大，即， （3）电源的输出功率 根据欧姆定律得 联立解得，故C正确。 故选C。 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）某同学用伏安法测一节干电池的电动势和内阻，现备有下列器材： A．被测干电池一节： B．开关，导线若干； C．电流表：量程0~0.6A，内阻为0.1Ω； D．电流表：量程0~3A，内阻约为0.024Ω； E.电压表：量程0~3V，内阻未知； F.滑动变阻器：0~100Ω，2A； G.滑动变阻器：0~100Ω，1A。 伏安法测电池电动势和内阻的实验中，由于电流表和电压表内阻的影响，测量结果存在系统误差。在现有器材的条件下，要尽可能准确地测量电池的电动势和内阻。 (1)上述器材中，电流表应选择___________（填写选项前的字母）。 (2)实验电路图应选择图中的___________（填“甲”或“乙”）。 (3)根据实验中电流表和电压表的示数得到了如图丙所示的U-I图像，则在修正了实验系统误差后，干电池的电动势E=___________V，内电阻r=___________Ω。（结果均保留两位有效数字） (4)某实验小组不小心把电流表烧坏了。他们想了一个办法，利用两个量程为0~3V的电压表、一个R0=5Ω的定值电阻和一个滑动变阻器R测定干电池的电动势和内电阻，实验原理如甲所示。按照图甲接通开关S，多次改变滑动变阻器R，同时读出对应的电压表的示数U1和U2，并作记录，画出U1-U2关系图线，如图乙所示，图线与横轴的截距为a，与纵轴的截距为b，则根据图线可求得电源的电动势E=___________，内阻r=___________（用a、b和R0表示）。实验中由于电压表___________分流（选填“V1”“V2”或“V1和V2”），使测量的电动势E和内阻r都偏小。 【答案】(1)C (2)甲 (3) 1.5 0.90 (4) b V1和V2 【详解】（1）为了尽可能准确地测量电池的电动势和内阻，应选择内阻已知的电流表，故电流表选C。 （2）由于电流表内阻已知，可精确知道电流表的分压值，所以电流表相对于电源应采用内接法，故实验电路图应选择图甲。 （3）[1][2]根据闭合电路欧姆定律可得 可得 则U-I图像的纵轴截距表示电动势，则有 图像的斜率绝对值为 解得内电阻为 （4）[1][2]根据闭合电路欧姆定律可得 变形可得 结合图线可得， 所以 [3]实验中由于电压表V1和V2分流作用，使得干路中的电流测量值偏小，根据等效电源法可知，电动势E和内阻r测量值都偏小。 4．（25-26高三上·湖北襄阳·阶段检测）甲、乙两小组分别用图（a）、图（b）所示电路图完成测量同一电源的电动势和内阻，并描绘出对应的图像，如图（c）、图（d）所示，其中、、、分别为图像的横、纵截距。若两组所用的仪器完全相同，电流表和电压表均不是理想电表，回答下列问题： (1)________（选填“>”“<”或“=”）； (2)________（选填“>”“<”或“=”）； (3)（多选）以下四个数据中没有系统误差的是（　　） A． B． C． D． (4)结合两组实验结果，电源的内阻________，电动势________（用、、、表示）。 【答案】(1)> (2)< (3)AD (4) 【详解】（1）甲组误差来源电流表分压，则电压的测量值小于路端电压的真实值，当电流为零时电压的测量值等于路端电压的真实值；乙组误差来源电压表分流，电流表示数小于通过电源电流的真实值，短路电流等于真实值；则真实值如下图虚线所示，可知和是真实的，则大于，小于 （2）由上述分析可知。 （3）由以上分析可知，以下四个数据中没有系统误差的是AD。 （4）[1][2]由上述分析可知，该电源的内阻为，电动势为。 5．（25-26高三上·海南·阶段检测）某同学利用实验室已有的器材设计了如下电路测量某一太阳能电池的电动势和内电阻，已知电源的电动势大约为5.8V，内电阻大约为几十欧，实验中用到的其他器材有： A．电压表（量程为3V，内阻无限大） B．电压表（量程为15V，内阻约为） C．表头G（量程，内阻待测量） D．定位电阻 E.保护电阻 F.电阻箱（量程0~99.99Ω） G.开关两个，导线若干 (1)为了使电压表在实验的过程中有更大的变化范围，电压表应选择________（选填选项字母）； (2)将电阻R调整到最大值，闭合开关、，缓慢调节电阻箱大小，使表头的示数为4mA。此时电压表示数为满偏的，则表头的电阻________； (3)断开开关，多次改变电阻箱的阻值，记录阻值大小为R，同时记录对应的表头的电流值为I，建立图像，描点连线得到如图线性图像。根据图中的数据，可得该太阳能电池的电动势________V，内电阻________（结果均保留两位有效数字）。 【答案】(1)A (2)300 (3) 6.0 60 【详解】（1）已知电动势约为，量程，测量时指针偏转角小，精度低、变化范围小；量程，且内阻无限大，不会分流影响测量，精度更高，故选A。 （2）V1满偏电压为，满偏时电压 此时表头电流 表头与串联，总电压等于电压表示数，由欧姆定律 代入 得 （3）断开后，与总电阻 并联部分电压 干路总电流 由闭合电路欧姆定律 其中保护电阻，整理得 对照图像，截距 斜率 联立两个方程解得， 6．（25-26高二上·山西大同·阶段检测）三元锂电池具有较高的能量密度，目前广泛应用于我国的新能源汽车。三元锂电池电动势和内阻与带电量和温度有关。某同学利用以下器材测量某单体三元锂电池在25℃时的电动势和内阻。 A．三元锂电池（电动势约为4V，内阻为几十毫欧） B．电流计G（，内阻为2500Ω） C．电流表A（，内阻约为0.02Ω） D．定值电阻 E．定值电阻 F．滑动变阻器（最大阻值为10Ω） G．滑动变阻器（最大阻值为1000Ω） H．开关、导线若干 根据提供的器材，设计电路如图甲所示。 (1)将电流计G与定值电阻串联改装成电压表V，则改装后的电压表能测量的电压最大值为________V。（结果保留两位有效数字） (2)实验中滑动变阻器选择________（填写器材前的字母） (3)闭合开关，调节滑动变阻器滑片，多次记录改装后电压表V的示数U、电流表A的示数I。作出图线如图乙所示，该三元锂电池的电动势________V，内阻________mΩ。（以上结果均保留两位有效数字） (4)实验中，定值电阻的主要作用是________。（填选项前的标号） A．增大等效内阻，使得负载变化时电压变化更明显，便于电压表测量 B．保护电压表 C．消除系统误差 (5)利用图甲进行测量，该三元锂电池的电动势测量值________（选填“大于”“小于”或“等于”）实际值。 【答案】(1)5.0 (2)F (3) 4.2 50 (4)A (5)小于 【详解】（1）将电流计G与定值电阻R1串联改装成电压表，其电压表的电阻为 则该电压表的量程为 （2）由电路图可知，电路中的定值电阻的阻值为1.35Ω，电源的内阻约为几十毫欧，因而电路中的总电阻较小，为了便于调节电路所以滑动变阻器应该选择最大阻值为10Ω的F。 （3）[1][2]根据闭合电路欧姆定律有 整理有 由题图可知，其图像的斜率 图像的截距为 解得 （4）在电压表外与电源串联，其主要作用是使电源的等效内阻变大，使得负载变化时，电压表示数变化更加明显，便于测量记录数据。 故选A。 （5）考虑电压表的分流作用，根据闭合电路欧姆定律有 整理有 所以图像的截距 所以测量值小于真实值，即利用题图甲进行测量，三元锂电池的电动势测量值小于实际值。 【真题回顾】 1．（2026·广西·高考真题）用如图甲所示的电路测量电源电动势和内阻，定值电阻阻值为，电压表可视为理想电表。操作步骤：1．只闭合时，电压表读数为1.44V；2．再闭合，电压表读数如图乙所示。 (1)电路电源电动势__________； (2)图乙中电压表读数为__________； (3)电源内阻__________（结果保留两位有效数字）。 【答案】(1)1.44 (2)1.20 (3) 【详解】（1）只闭合S1，理想电压表所在支路相当于断路，电压表示数为电源电动势，则电源电动势 （2）由题图乙可知，电压表的分度值为0.1V，电压表读数为1.20V。 （3）S1、S2均闭合时，由闭合电路欧姆定律得 代入数据解得 2．（2026·河南·高考真题）某实验小组探究电容器充放电特性并测量新能源电池的电动势，图1为设计的电路原理图。实验器材有：电池（电动势，内阻不计），定值电阻、（阻值均未知），电容器，电流传感器（内阻可忽略），电压传感器（内阻很大），数据采集分析系统，开关S，导线若干等。完成下列问题： (1)根据图1所示原理图，完成图2中实物图的连线。 (2)使电流传感器和电压传感器正常工作，闭合S，给电容器充电，直至电压传感器示数稳定。然后断开S，电容器放电。图中A、B、C、D为电流传感器和电压传感器采集的电流-时间（）和电压-时间（）图像，属于充电过程的是__________（填写图像对应的标号）。 A． B． C． D． (3)经数据采集分析系统合成，得到电容器在充放电过程中的图像，如图3所示。设放电过程PQ段的斜率为，由图作直线可得__________（保留3位有效数字），其对应于__________的阻值（填“”或“”）。 (4)对充电过程MN段，设流经、的电流分别为和，则。电容器两端电压可表示为，其中斜率__________（用、表示），截距__________（用、、 表示）。由图3作直线求出和，得________V（保留3位有效数字）。 【答案】(1) (2)AD (3) 10.0 (4) 3.55 【详解】（1）根据电路图可知实物连接图如图所示 （2）AB．充电电流初始最大，逐渐衰减到0（方向为正），故A正确，B错误； CD．电容器电压从0逐渐升高，最终稳定在最终稳定在两端的分压值，故C错误，D正确。 故选AD。 （3）[1][2]根据题图可得斜率的绝对值 放电时，电容器仅通过放电，即其对应于的阻值。 （4）[1][2]充电时，有 又， 联立可得 与对比可知， [3]根据题图可得， 解得 3．（2026·云南·高考真题）某同学购买的蓝牙耳机电池上标有“”字样，为了测量该电池电动势和实际容量，该同学进行了如下实验： (1)测量电池的电动势，可供选择的器材如下： 待测电池E、电流表（，内阻较小）、电流表（，内阻较小）、电阻箱、开关S和导线若干。 完成下列填空： ①该电池允许的最大放电电流为，电流表应选_____________（填“”或“”）； ②请根据上述器材设计实验电路，并在答题卡上指定位置补全电路图；___________ ③按照②中正确电路图连接电路，闭合开关S，记录电流表示数I及电阻箱阻值；断开开关S，改变。重复以上步骤，得到和的关系如图（a）所示，由图可得电池电动势_____________V（结果保留2位有效数字）。 (2)该同学设计出测量电池容量的电路，如图（b）甲所示。完成下列填空： ①电路连接完毕，闭合开关S，每隔一段时间记录电压表、电流表的示数U和I，得到U和I随时间t变化的图像分别如图（b）乙、丙所示； ②由图（b）乙、丙可知，随着电池持续放电，输出电压和电流均持续减小。当时，电池输出电压为_____________V，随后电池输出电压和电流开始迅速衰减，电池无法正常工作。电池处于正常工作状态可以放出的总电量称为实际容量，由测量结果可估算出该电池的实际容量为_____________（以上结果均保留2位有效数字）。 【答案】(1) A2 4.0 (2) 3.6 73 【详解】（1）①由于电池允许的最大放电电流为80mA，为了减小测量误差应该选择电流表A2； ②根据上述器材，因为只有电流表和电阻箱，故采用安阻法测量，实验电路如图所示 ③根据闭合电路欧姆定律可知 变形可得，所以在图像中图线的斜率即为，所以根据图像有 即E=4.0V （2）[1][2]根据图（b）乙可知在120min时，电池输出电压约为3.6V，120min时的输出电流约为34mA，此后不能正常工作；其中120min=2h； 根据i—t图像围成的面积表示电量，对i-t图线做近似处理如图可知 4．（2025·浙江·高考真题）在测量一节干电池的电动势和内阻的实验中， (1)为了减小测量误差，如图所示的电路中应该选择的是___________（选填“甲”或“乙”）； (2)通过调节滑动变阻器，测得多组U、I数据，记录于下表。试在答题纸上的方格纸中建立合适的标度，描点并作出图像___________，由此求得电动势___________V，内阻___________。（结果均保留到小数点后两位） 次数 1 2 3 4 5 U/V 1.35 1.30 1.25 1.20 1.15 I/A 0.14 0.22 0.30 0.37 0.45 【答案】(1)甲 (2) 1.44/1.45/1.43 0.65/0.66/0.64 【详解】（1）因乙电路中电流表内阻对电源内阻的测量影响较大，则为了减小测量误差，如图所示的电路中应该选择的是甲； （2）根据实验数据做出电源的U-I图像如图 [1][2]由结合图像可知 内阻 5．（2025·湖北·高考真题）某实验小组为测量一节干电池的电动势E和内阻r，设计了如图（a）所示电路，所用器材如下：干电池、智能手机、电流传感器、定值电阻R0、电阻箱、开关、导线等。按电路图连接电路，将智能手机与电流传感器通过蓝牙无线连接，闭合开关S，逐次改变电阻箱的阻值R，用智能手机记录对应的电流传感器测得的电流I。回答下列问题： (1)R0在电路中起______（填“保护”或“分流”）作用。 (2)与E、r、R、R0的关系式为______。 (3)根据记录数据作出图像，如图（b）所示。已知R0=9.0Ω，可得E=______V（保留三位有效数字），r=______Ω（保留两位有效数字） (4)电流传感器的电阻对本实验干电池内阻的测量结果______（填“有”或“无”）影响。 【答案】(1)保护 (2) (3) 1.47 1.3 (4)有 【详解】（1）R0与电阻箱串联，可知，R0在电路中起保护作用。 （2）根据闭合电路欧姆定律 化简可得 （3）[1][2]结合上述有 结合图（b）有， 解得， （4）当电流传感器有内阻时，所测的电源内阻 导致电源内阻测量值偏大，即电流传感器的电阻对本实验干电池内阻的测量结果有影响。 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3实验：电池电动势和内阻的测量 【题型精讲练】 1 题型1 教材原型实验 1 题型2 创新实验提升 10 【真题回顾】 20 【题型精讲练】 题型1 教材原型实验 一、实验目的 1．测量电源的电动势和内阻。 2．加深对闭合电路的欧姆定律的理解。 二、实验原理 1．原理图如图所示 2．由实验数据求E、r的方法 (1)列方程求解：由U＝E－Ir得解得E、r。 (2)用作图法处理数据，如图所示。 ①图线与纵轴交点为 　； ②图线的斜率的绝对值表示r＝ 　。 三、实验器材 电池、电压表、电流表、 　、开关、导线、坐标纸和刻度尺。 四、实验步骤 1．电流表用 　量程，电压表用 　量程，按实验原理图甲或乙连接好电路。 2．把滑动变阻器的滑片移动到接入电路阻值最 　的一端。 3．闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)，用同样方法测量出6组I、U的值，填入表格中。 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 U/V I/A 4.断开开关，拆除电路，整理好器材。 五、误差分析 1．若采用图甲电路，由于电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差越大。其U－I图像如图乙所示。 结论：E测<E真，r测<r真。 2．若采用图丙电路，由于电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大。其U－I图像如图丁所示。 结论：E测＝E真，r测>r真。 六、注意事项 1．合理选择电压表、电流表量程。测一节干电池的电动势和内阻时，电压表选3 V量程，电流表选0.6 A量程，滑动变阻器选0～10 Ω。 2．应使用内阻大些(用过一段时间)的干电池；在实验中不要将I调得过大；每次读完I和U的数据后应立即断开电源，以免干电池在大电流放电时E和r明显变化。 3．在作U－I图线时，要使较多的点落在这条直线上，不在直线上的点应均匀分布在直线的两侧，忽略个别偏离直线较远的点，以减小偶然误差。 4．干电池内阻较小时，U的变化较慢，此时，坐标轴中数据点将呈现如图甲所示的状况，为此，可使纵坐标不从零开始，如图乙所示，把坐标的比例放大，可使结果的误差减小些，此时图线与横轴交点不表示短路电流。另外，计算内阻要在直线上任取两个相距较远的点，用r＝||算出电池的内阻r。 【例题精讲】 【例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）在“测量一节干电池的电动势和内阻”实验中，电路图如图，可选用的实验器材有： 电压表（量程）；电压表（量程）； 电流表（量程）；电流表（量程）； 滑动变阻器（最大阻值）；滑动变阻器（最大阻值）； 干电池；开关S；导线若干； (1)选择合适的器材：滑动变阻器应选____________（填写所选器材前的符号） (2)测得的7组数据已标在如图所示坐标系上，用作图法求干电池的电动势____________V和内阻____________。（注意纵坐标未从0开始） (3)按照图1的测量方法，某同学利用图像分析由电表内电阻引起的实验误差。在下图中，实线是根据实验数据描点作图得到的图像；虚线是该电源的路端电压U随电流I变化的图像（没有电表内电阻影响的理想情况）。下列图像中哪一个是该实验的分析____________。 A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）某实验小组利用DIS等实验器材测量同一电池组的电动势和内阻，实验装置如图甲所示，多次改变电阻箱的阻值，记录外电路总电阻阻值R，用电压传感器测得路端电压U，并在计算机上显示出如图乙所示的关系图线．图线在横轴的交点为a，在纵轴的交点为b，由图线可知，______，______（均用a、b表示）． 【变式训练1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）某学习小组计划测量一节干电池的电动势和内阻。 (1)该小组先用多用电表粗测电池的电动势。将选择开关旋至直流电压2.5V挡，______（填“红”或“黑”）表笔接电池的正极，另一表笔接负极，示数如图a所示，其读数为________V。 (2)该小组再用伏安法精确测量电池的电动势和内阻，实验电路图如图b所示。实验器材包括：量程为的电流表、量程为的电压表、最大阻值为的滑动变阻器开关以及导线若干。 ①调节滑动变阻器的滑片，记录多组电压表和电流表的示数，在坐标纸上以“+”标出相应的数据点，绘制出的图像如图c所示。根据图像可得该电源的电动势______保留3位有效数字，内阻______（保留2位有效数字）。 ②由于电表并非理想电表，导致______（填“电压”或“电流”）的测量存在系统误差。在下图所示的图像中，实线是根据实际测量数据绘制的图线，虚线是假设电表均为理想电表时绘制的图线，则图中能正确表示二者关系的是____（选填选项字母）。 A、B、 C、D、 (3)若使用相同的实验器材，改用图d所示的电路进行测量，则测得的电动势E测与真实值E真的关系为E测________E真，内阻r测与真实值r真的关系为r测________r真（填“大于”、“小于”或“等于”）。 【变式训练2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）某同学设计了一个如图甲所示的实验电路，用以测定电源电动势和内阻，使用的实验器材：待测干电池组（电动势E约3V）、电流表A（量程10mA，内阻小于1Ω）、电阻箱R（0~99.99Ω）、滑动变阻器（0~400Ω）、单刀双掷开关、单刀单掷开关各一个及导线若干。考虑到干电池的内阻较小，电流表的内阻不能忽略，故先测量电流表的内阻。 (1)该同学设计用甲图测量电流表内阻步骤如下： ①断开单刀双掷开关以及开关K，将滑动变阻器滑片P滑至B端、电阻箱R阻值调到最大。 ②保持单刀双掷开关断开，闭合开关K，滑动滑片P，使电流表满偏。 ③将单刀双掷开关接C触点，保持滑片位置不动，调节电阻箱R的阻值，直到电流表指针如图丙所示。此时电流表读数为________mA，读出此时电阻箱的阻值。 (2)断开开关K，将单刀双掷开关接D触点。该同学又进行了电池电动势和电池内阻的测量实验，一共记录了六组电流I和电阻箱R的对应数值，并建立坐标系，作出“–R”图线如图乙，由此求出电动势E=________V、内阻r=________Ω。（计算结果保留两位有效数字） 【题型强化练】 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）某同学测量某电源的电动势和内阻，提供下列仪器： A．待测电源（电动势E约为4V，内阻r约为180Ω） B．毫安表（量程5mA，内阻为Rg=80Ω） C．电压表V1（量程4V，内阻约5kΩ） D．电压表V2（量程40V，内阻约500Ω） E.电阻箱R0（0~999.9Ω） F.滑动变阻器R（0~1000Ω） G.开关、导线若干。 （1）为尽量减小实验误差，实验中电压表选择_________；（填写元件的字母代号） （2）由于毫安表的量程太小，该同学用电阻箱R0与毫安表并联，使其量程变为25mA，需要将电阻箱R0的电阻调为20Ω； （3）用改装后的电流表完成实验，应该选择的实验电路是图中的______（填“甲”或“乙”）； （4）根据实验数据画出U-I图线如图丙所示。由图线可知电源的电动势E=___V，内电阻r=____Ω。（结果均保留三位有效数字） 2．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）某课外兴趣小组利用图甲电路测量某电池的电动势和内阻，定值电阻，实验的主要操作如下： (1)按图甲接好电路进行实验，记下电阻箱和电压表对应的一系列读数R、U，获取了多组数据，作出的图像如图乙所示，若把流过电阻箱的电流视为干路电流，则可得该电池组的电动势E=________V；内阻，r=________。（结果均保留到小数点后一位） (2)若考虑电压表的分流作用，则该实验中电动势的测量值与真实值相比________（选填“偏大”、“偏小”或“相等”）。 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）小明想测量某水果电池的电动势（约2V）和内阻（约1kΩ）。除了导线和开关，只有一个多用电表和9999.99Ω的电阻箱，为了更精确地得到测量结果，他设计了如图的实验。 （1）按照图甲连接实验电路，将多用电表的选择开关打到直流电压2.5V挡。其______（选填“红”或“黑”）表笔与电源正极连接，闭合开关，改变电阻箱电阻，记录多组（U、R）值，利用换算成每组（U、I）值，画出U-I图像；某次测量电压表示数如图乙，读数为______V。 （2）将多用电表的选择开关打到直流电流2.5mA挡，如图丙连接电路，从大到小改变电阻箱的电阻，记录多组（I、R）值，利用换算成每组（U、I）值，在同一坐标轴上画出U-I图像，如图丁所示。 （3）图丁中图线______（选填“Ⅰ”或“Ⅱ”）是图甲对应的实验所得的图线。小明得出这个水果电池的电动势后，分析并计算出水果电池的内阻是r=______kΩ（结果保留三位有效数字），电表的内阻对此次实验结果______（选填“有”或“无”）影响。 4．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）用如图所示的电路，测定一节干电池的电动势和内阻。电池的内阻较小，为了防止在调节滑动变阻器时造成短路，电路中用一个定值电阻起保护作用。除电池、开关和导线外，可供使用的实验器材还有： A．电流表（量程0.6A、3A）； B．电压表（量程3V、15V） C．定值电阻（阻值、额定功率5W） D．定值电阻（阻值，额定功率10W） E．滑动变阻器（阻值范围、额定电流2A） F．滑动变阻器（阻值范围、额定电流1A） (1)要正确完成实验，电压表的量程应选择________V，电流表的量程应选择________A；应选择________的定值电阻，R应选择阻值范围是________的滑动变阻器。 (2)关于该实验中存在的误差，下列分析正确的是（   ） A．电流表的分压作用 B．电压表的分流作用 C．读数过程中存在偶然误差 D．读数过程中存在系统误差 (3)该同学按照要求连接好电路并进行实验，根据实验数据绘出了如图所示的U-I图像，则电源的电动势测量值________V，电源内阻测量值________。 (4)在上述实验过程中存在系统误差。在下图所绘图像中，虚线代表没有误差情况下，电压表两端电压的真实值与通过电源电流真实值关系的图像，实线是根据测量数据绘出的图像，则图中能正确表示二者关系的是（   ）（选填选项下面的字母）。 A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）某探究小组的同学利用如图甲所示电路测定一节干电池的电动势和内阻，要求测量结果尽量准确，学校实验室提供的实验器材如下： 电流表（量程0~15mA，内阻为10Ω）； 电流表（量程0~90mA，内阻约为5Ω）； 定值电阻（阻值为1000Ω）； 定值电阻（阻值为90Ω）； 滑动变阻器（0~50Ω）； 滑动变阻器（0~5000Ω）； 待测干电池一节（电动势约为1.5V）； 开关S一个，导线若干。 (1)为了能比较准确地进行测量，同时还要考虑实验操作的方便，实验中滑动变阻器应选______（填“”或“”），定值电阻应选______（填“”或“”）。 (2)图丙所示为该同学根据实验数据作出的电流表的示数与电流表的示数的图线，由该图线可得被测干电池的电动势______V，内阻______Ω。（结果均保留3位有效数字） (3)根据图甲所示的电路图，将图乙中实物图连接起来，组成完整的电路。要求在电路图中的虚线框内将电流表和定值电阻用题目中的代号表示出来。 (4)从实验设计原理来看，该干电池电动势的测量值______（填“大于” “小于”或“等于”）真实值。 6．（2026·河北石家庄·模拟预测）太阳能电池是一类能直接将太阳光能转化为电能的光电半导体器件，也常被称作光伏电池。当它受到达到一定强度的光线照射时，能瞬间产生电压；若外接闭合回路，便会形成电流。这一过程在物理学中被称为太阳能光伏效应。某研究小组取了一片光伏电池板来探究其发电性能，设计了如图乙的实验电路。主要实验步骤如下： a、按电路图乙连接好实验器材； b、用光照强度为的光照射该电池，闭合开关，多次调节滑动变阻器滑片，读出多组电压表、电流表的示数； c、根据读出的电压表、电流表示数描绘出该电池的图像。 (1)如图丙所示，曲线①与曲线②中，一条为依据实测电压、电流数据绘制的电池特性曲线，另一条为该电池出厂时的精确工作曲线，则根据实验数据绘制的曲线为______（选填“①”或“②”），与出厂精确工作曲线的误差来源于__________； (2)在光照强度为的情况下，通过图丙的曲线②可得该电池电动势的真实值__________，将该电池与的定值电阻连接，此时该电池内阻的真实值__________。（结果保留到小数点后一位） 题型2 创新实验提升 一．安阻法 1．实验原理 用一个电流表和电阻箱测量，电路如图所示，测量原理为：E＝I1(R1＋r)，E＝I2(R2＋r)，由此可求出E和r，或用图像法处理数据。此种方法使测得的电动势无偏差，但内阻偏大。若已知电流表的阻值可消除测内阻的系统误差。 2．图像法处理数据 3．误差分析 (1)误差来源：电流表有电阻，导致内阻测量不准确； (2)结论：E测＝E真，r测>r真(r测＝r真＋rA)。 二．伏阻法 1．实验原理 用一个电压表和电阻箱测量，电路如图所示，测量原理为：E＝U1＋r，E＝U2＋r，由此可求出r和E，或用图像法处理数据。此种方法测得的电动势和内阻均偏小。 2．图像法处理数据 3．误差分析 (1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确； (2)结论：E测<E真，r测<r真。 【例题精讲】 【例1】（2026·河南驻马店·模拟预测）学习小组想较准确地测量一节干电池的电动势和内阻。 (1)先利用如图甲所示的电路测量电流表A的内阻。可使用的器材有： 滑动变阻器R（最大阻值为20Ω）； 电阻箱（最大阻值为9999.9Ω）； 电源E（电动势约为1.5V）； 定值电阻（阻值为250Ω）； 定值电阻（阻值为2500Ω）； 灵敏电流计G； 开关S，导线若干。 ①闭合开关前，应将R的滑片移至______（填“a”或“b”）端； ②闭合开关S，将R的滑片置于适当位置，再反复调节，使______，读出此时的阻值为900.0Ω，则电流表A的内阻为______Ω（结果保留一位小数）。 (2)再利用图乙所示的电路测量电池的电动势E和内阻r，利用第（1）问已经测得内阻的电流表A，与电流表A并联的定值电阻。当电阻箱的阻值为R时，电流表A的读数为I，改变电阻箱的阻值，得到多组数据。作出图像为一条直线，如图丙所示。则待测电源的电动势E＝______，内阻r＝______。（结果均保留两位有效数字） 【例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）某学习小组用两种不同的金属电极插入苹果做了一个如图甲所示的“水果电池”并测量其电动势和内阻： (1)除待测水果电池外，实验室提供如下器材： A．滑动变阻器（阻值） B．滑动变阻器（阻值） C．电压表V（量程，内阻约） D．电流表A（量程，内阻为） E.开关一个，导线若干 为了尽可能准确测定这个水果电池的电动势和内阻，已提供的如图乙、丙所示的两个测量电路图，应选______（填“乙”或“丙”）；滑动变阻器应选______（填“”或“”）。 (2)选择正确的电路和实验器材后由实验数据作出的图像如图丁所示，由图像可求得电源电动势为______（结果保留三位有效数字），内阻为______（结果保留三位有效数字）。 (3)该小组还设计了图戊所示的电路，其中为工作电源，为限流电阻，为粗细均匀同种材料的电阻丝，为滑动触头，G为灵敏电流计；为它的保护电阻，为阻值已知的工作电阻。为了测量电源电动势和内阻，现做如下操作： ①先闭合，断开，调节滑动触头的位置，当其位于位置时，灵敏电流计示数为零； ②再闭合，调节滑动触头的位置，当其位于位置时，灵敏电流计示数再次为零，此时两端电压______（用、、表示）； ③测量出两次电阻丝和的长度分别为和。则电源内阻______（用、、表示）。 【变式训练1】（2026·陕西渭南·三模）某指纹锁的电池组由四节5号干电池组成，该电池组已经用了一段时间，研究性学习小组想要测量该电池组的电动势E（约6V）和内电阻r（约5Ω）。可供选择的实验器材如下： A．电流表A（量程0~0.6A，内阻RA约为8Ω）； B．电压表V（量程0~3V，内阻RV为1kΩ）； C．定值电阻R0； D．滑动变阻器R（最大阻值30Ω，额定电流2A）； E．开关一个，导线若干。 (1)为了完成实验，需要将电压表的量程扩大为6V，则在图甲电路中，电压表右侧连接的定值电阻阻值R0应为__________Ω。 (2)根据图甲的电路图，将图乙的实物连接完整。 (3)闭合开关S，调节滑动变阻器的阻值，读出电压表和电流表相应的示数U、I，为了比较准确地得出实验结论，在坐标纸中画出了如图丙所示的U-I图像，若不考虑电压表内阻，由图像可得电池组的电动势E测=__________V，内阻r测=__________Ω。（均保留三位有效数字） (4)由于电压表的分流作用，本实验测得的电源内阻r测__________真实值r真。（选填“大于”“小于”或“等于”） 【变式训练2】（2026·湖北武汉·模拟预测）某实验小组使用多用电表测量一个刻度模糊的直流电流表的内阻，所用的实验器材有：电动势为，内阻未知的直流电源以及多用电表、待测电流表、电阻箱、开关K、导线若干。 (1)如图（a）所示连接电路，将多用电表选择开关置于直流电压“10 V”挡，红、黑表笔分别接“__________、__________”两端（选填“1”“2”或“3”），调节电阻箱的阻值，记录多组多用表的示数和电阻箱的阻值，并作出相应的关系图像如图（b）所示。 (2)根据图像求得电流表的内阻__________（结果保留两位有效数字），考虑多用电表的内阻，电流表的内阻的测量值__________（选填“大于”“小于”或“等于”）真实值。 【题型强化练】 1．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）某研究性学习小组在学习了化学课上的原电池原理后，将铜片和锌片插入两个新鲜的柠檬中制成一个水果电池，并利用下列所给器材测量水果电池的电动势E和内阻r。 A．待测水果电池（电动势E约为2V，内阻约为几百欧） B．滑动变阻器R（最大阻值为1000Ω，额定电流为0.1A） C．电流表A（量程为3mA，内阻为12Ω） D．电压表V（量程为3V，内阻约为5kΩ） E.开关S，导线若干 (1)研究小组将电压表接入电路，设计了甲、乙两种电路，应选择__________（填“甲”或“乙”）电路。 (2)根据选择的电路，滑动滑动变阻器的滑片，得到电压表示数U与电流表示数I的多组数据，作出U-I图像如图丙所示，根据图像和题中所给信息，得到该水果电池的电动势E=________V，内阻r=________Ω。 (3)如果不考虑偶然误差，根据选择的电路，电动势的测量值______（填“>”“<”或“=”）真实值。 2．（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）小王同学测量电源的电动势和内阻，于是他设计并连接好实验电路如图。 (1)同组的小李同学对这个实验进行了误差分析，其中错误的是__________。 A．由于电压表的分流作用，电流表测量值偏小 B．由于电流表的分压作用，电压表的测量值偏大 C．由于电流表、电压表的不理想产生的误差属于系统误差 D．通过多次测量作出图像，可以减小偶然误差 (2)根据记录的数据，作出如图所示的图线，根据所画图线可得，电动势__________。（结果保留三位有效数字），内电阻__________（结果保留两位有效数字） (3)实验中，随着滑动变阻器滑片的移动，除了电源两端电压会发生变化，电源的输出功率也会发生变化。图的各示意图中可能正确反映电源输出功率随路端电压变化关系的是__________。 A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）某同学用伏安法测一节干电池的电动势和内阻，现备有下列器材： A．被测干电池一节： B．开关，导线若干； C．电流表：量程0~0.6A，内阻为0.1Ω； D．电流表：量程0~3A，内阻约为0.024Ω； E.电压表：量程0~3V，内阻未知； F.滑动变阻器：0~100Ω，2A； G.滑动变阻器：0~100Ω，1A。 伏安法测电池电动势和内阻的实验中，由于电流表和电压表内阻的影响，测量结果存在系统误差。在现有器材的条件下，要尽可能准确地测量电池的电动势和内阻。 (1)上述器材中，电流表应选择___________（填写选项前的字母）。 (2)实验电路图应选择图中的___________（填“甲”或“乙”）。 (3)根据实验中电流表和电压表的示数得到了如图丙所示的U-I图像，则在修正了实验系统误差后，干电池的电动势E=___________V，内电阻r=___________Ω。（结果均保留两位有效数字） (4)某实验小组不小心把电流表烧坏了。他们想了一个办法，利用两个量程为0~3V的电压表、一个R0=5Ω的定值电阻和一个滑动变阻器R测定干电池的电动势和内电阻，实验原理如甲所示。按照图甲接通开关S，多次改变滑动变阻器R，同时读出对应的电压表的示数U1和U2，并作记录，画出U1-U2关系图线，如图乙所示，图线与横轴的截距为a，与纵轴的截距为b，则根据图线可求得电源的电动势E=___________，内阻r=___________（用a、b和R0表示）。实验中由于电压表___________分流（选填“V1”“V2”或“V1和V2”），使测量的电动势E和内阻r都偏小。 4．（25-26高三上·湖北襄阳·阶段检测）甲、乙两小组分别用图（a）、图（b）所示电路图完成测量同一电源的电动势和内阻，并描绘出对应的图像，如图（c）、图（d）所示，其中、、、分别为图像的横、纵截距。若两组所用的仪器完全相同，电流表和电压表均不是理想电表，回答下列问题： (1)________（选填“>”“<”或“=”）； (2)________（选填“>”“<”或“=”）； (3)（多选）以下四个数据中没有系统误差的是（　　） A． B． C． D． (4)结合两组实验结果，电源的内阻________，电动势________（用、、、表示）。 5．（25-26高三上·海南·阶段检测）某同学利用实验室已有的器材设计了如下电路测量某一太阳能电池的电动势和内电阻，已知电源的电动势大约为5.8V，内电阻大约为几十欧，实验中用到的其他器材有： A．电压表（量程为3V，内阻无限大） B．电压表（量程为15V，内阻约为） C．表头G（量程，内阻待测量） D．定位电阻 E.保护电阻 F.电阻箱（量程0~99.99Ω） G.开关两个，导线若干 (1)为了使电压表在实验的过程中有更大的变化范围，电压表应选择________（选填选项字母）； (2)将电阻R调整到最大值，闭合开关、，缓慢调节电阻箱大小，使表头的示数为4mA。此时电压表示数为满偏的，则表头的电阻________； (3)断开开关，多次改变电阻箱的阻值，记录阻值大小为R，同时记录对应的表头的电流值为I，建立图像，描点连线得到如图线性图像。根据图中的数据，可得该太阳能电池的电动势________V，内电阻________（结果均保留两位有效数字）。 6．（25-26高二上·山西大同·阶段检测）三元锂电池具有较高的能量密度，目前广泛应用于我国的新能源汽车。三元锂电池电动势和内阻与带电量和温度有关。某同学利用以下器材测量某单体三元锂电池在25℃时的电动势和内阻。 A．三元锂电池（电动势约为4V，内阻为几十毫欧） B．电流计G（，内阻为2500Ω） C．电流表A（，内阻约为0.02Ω） D．定值电阻 E．定值电阻 F．滑动变阻器（最大阻值为10Ω） G．滑动变阻器（最大阻值为1000Ω） H．开关、导线若干 根据提供的器材，设计电路如图甲所示。 (1)将电流计G与定值电阻串联改装成电压表V，则改装后的电压表能测量的电压最大值为________V。（结果保留两位有效数字） (2)实验中滑动变阻器选择________（填写器材前的字母） (3)闭合开关，调节滑动变阻器滑片，多次记录改装后电压表V的示数U、电流表A的示数I。作出图线如图乙所示，该三元锂电池的电动势________V，内阻________mΩ。（以上结果均保留两位有效数字） (4)实验中，定值电阻的主要作用是________。（填选项前的标号） A．增大等效内阻，使得负载变化时电压变化更明显，便于电压表测量 B．保护电压表 C．消除系统误差 (5)利用图甲进行测量，该三元锂电池的电动势测量值________（选填“大于”“小于”或“等于”）实际值。 【真题回顾】 1．（2026·广西·高考真题）用如图甲所示的电路测量电源电动势和内阻，定值电阻阻值为，电压表可视为理想电表。操作步骤：1．只闭合时，电压表读数为1.44V；2．再闭合，电压表读数如图乙所示。 (1)电路电源电动势__________； (2)图乙中电压表读数为__________； (3)电源内阻__________（结果保留两位有效数字）。 2．（2026·河南·高考真题）某实验小组探究电容器充放电特性并测量新能源电池的电动势，图1为设计的电路原理图。实验器材有：电池（电动势，内阻不计），定值电阻、（阻值均未知），电容器，电流传感器（内阻可忽略），电压传感器（内阻很大），数据采集分析系统，开关S，导线若干等。完成下列问题： (1)根据图1所示原理图，完成图2中实物图的连线。 (2)使电流传感器和电压传感器正常工作，闭合S，给电容器充电，直至电压传感器示数稳定。然后断开S，电容器放电。图中A、B、C、D为电流传感器和电压传感器采集的电流-时间（）和电压-时间（）图像，属于充电过程的是__________（填写图像对应的标号）。 A． B． C． D． (3)经数据采集分析系统合成，得到电容器在充放电过程中的图像，如图3所示。设放电过程PQ段的斜率为，由图作直线可得__________（保留3位有效数字），其对应于__________的阻值（填“”或“”）。 (4)对充电过程MN段，设流经、的电流分别为和，则。电容器两端电压可表示为，其中斜率__________（用、表示），截距__________（用、、 表示）。由图3作直线求出和，得________V（保留3位有效数字）。 3．（2026·云南·高考真题）某同学购买的蓝牙耳机电池上标有“”字样，为了测量该电池电动势和实际容量，该同学进行了如下实验： (1)测量电池的电动势，可供选择的器材如下： 待测电池E、电流表（，内阻较小）、电流表（，内阻较小）、电阻箱、开关S和导线若干。 完成下列填空： ①该电池允许的最大放电电流为，电流表应选_____________（填“”或“”）； ②请根据上述器材设计实验电路，并在答题卡上指定位置补全电路图；___________ ③按照②中正确电路图连接电路，闭合开关S，记录电流表示数I及电阻箱阻值；断开开关S，改变。重复以上步骤，得到和的关系如图（a）所示，由图可得电池电动势_____________V（结果保留2位有效数字）。 (2)该同学设计出测量电池容量的电路，如图（b）甲所示。完成下列填空： ①电路连接完毕，闭合开关S，每隔一段时间记录电压表、电流表的示数U和I，得到U和I随时间t变化的图像分别如图（b）乙、丙所示； ②由图（b）乙、丙可知，随着电池持续放电，输出电压和电流均持续减小。当时，电池输出电压为_____________V，随后电池输出电压和电流开始迅速衰减，电池无法正常工作。电池处于正常工作状态可以放出的总电量称为实际容量，由测量结果可估算出该电池的实际容量为_____________（以上结果均保留2位有效数字）。 4．（2025·浙江·高考真题）在测量一节干电池的电动势和内阻的实验中， (1)为了减小测量误差，如图所示的电路中应该选择的是___________（选填“甲”或“乙”）； (2)通过调节滑动变阻器，测得多组U、I数据，记录于下表。试在答题纸上的方格纸中建立合适的标度，描点并作出图像___________，由此求得电动势___________V，内阻___________。（结果均保留到小数点后两位） 次数 1 2 3 4 5 U/V 1.35 1.30 1.25 1.20 1.15 I/A 0.14 0.22 0.30 0.37 0.45 5．（2025·湖北·高考真题）某实验小组为测量一节干电池的电动势E和内阻r，设计了如图（a）所示电路，所用器材如下：干电池、智能手机、电流传感器、定值电阻R0、电阻箱、开关、导线等。按电路图连接电路，将智能手机与电流传感器通过蓝牙无线连接，闭合开关S，逐次改变电阻箱的阻值R，用智能手机记录对应的电流传感器测得的电流I。回答下列问题： (1)R0在电路中起______（填“保护”或“分流”）作用。 (2)与E、r、R、R0的关系式为______。 (3)根据记录数据作出图像，如图（b）所示。已知R0=9.0Ω，可得E=______V（保留三位有效数字），r=______Ω（保留两位有效数字） (4)电流传感器的电阻对本实验干电池内阻的测量结果______（填“有”或“无”）影响。 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $