第二章 第二节 简谐运动的描述（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（粤教版）

本讲义聚焦简谐运动的描述这一核心知识点，系统梳理简谐运动函数表达式中振幅、角频率、初相等物理量的意义，相位差的概念，振动图像的分析方法，以及周期性与对称性的应用，通过例题解析与分层练习构建完整学习支架。 该资料以实例为载体深化物理观念，如通过圆盘投影模型推导振动方程培养科学思维，结合多解问题训练模型建构能力。课中例题解析助力教师高效授课，课后分考点对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升分析解决问题的能力。

第二节　简谐运动的描述 [学习目标]　1.了解简谐运动的函数表达式中各量的物理意义，能根据运动情况写出简谐运动的函数表达式(重难点)。2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义，能依据简谐运动表达式描绘振动图像(重难点)。 一、简谐运动的函数描述 1.振子振动时位移与时间关系的曲线叫振动曲线，简称x-t图线。 2.简谐运动位移-时间图像的函数表达式为x=Acos(ωt+φ)，式中A是简谐运动的振幅，ω是简谐运动的角频率。 3.ω与周期T或频率f的关系为：ω==2πf。 说明：(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 (2)通过简谐运动的函数描述可得出简谐运动的振幅A、周期T、频率f等物理量。 例1　(2024·梅州市大埔县虎山中学高二开学考试)一物体做简谐振动，其振幅为24 cm，周期为2 s。当t=0时，位移为24 cm。物体做简谐振动的振动方程为(　　) A.x=24cos(t) cm B.x=24sin(t) cm C.x=24cos πt cm D.x=24sin πt cm 答案　C 解析　简谐运动的振动方程x=Acos(ωt+φ)，由题意可知振幅为24 cm，周期为2 s，则有A=24 cm，ω==π rad/s，则有x=24cos(πt+φ)，当t=0时，位移为24 cm代入得φ=0，故物体做简谐振动的振动方程为x=24cos πt cm，故A、B、D错误，C正确。 针对训练　(2024·肇庆市第一中学高二期中)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t=0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω(做匀速圆周运动的物体在某一直径方向的投影正好与弹簧振子做简谐运动的情景完全相同)，则P做简谐运动的表达式为(　　) A.x=Rsin(ωt-) B.x=Rsin(ωt+) C.x=2Rsin(ωt-) D.x=2Rsin(ωt+) 答案　B 解析　由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x=Rsin(ωt+φ)，由题图可知，当t=0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ=，则P做简谐运动的表达式为x=Rsin(ωt+)，故B正确，A、C、D错误。 例2　(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1cos 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s，则(　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t=0.2 s时，振子的运动速度最大 D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2cos 5πt (m)，则B振动的频率比A高 答案　CD 解析　由振动方程可知振幅A=0.1 m，故A错误；由振动方程可知ωA=2.5π rad/s，则 T== s=0.8 s，故B错误；在t=0.2 s时，振子的位移为零，速度最大，故C正确；由B的振动方程x=0.2cos 5πt (m)可知ωB为5π rad/s，可求出周期T'= s=0.4 s，又f=，可求fA= Hz=1.25 Hz，fB= Hz=2.5 Hz，故B振动的频率比A高，故D正确。 二、简谐运动的图像描述 P、Q两振子做简谐运动的x-t函数表达式x1=A1cost，x2=A2cos(t+)，如图所示为二者的振动曲线，试思考以下问题： (1)开始计时后，振子Q、P的位移分别在哪个时刻(在一个周期内)达到正向最大值？两者达到正向最大值的时间差是多少？ (2)二者在同一时刻振动情况相同吗？若不同，有什么关系？ 答案　(1)振子Q在t=T时达到正向最大值，振子P在t=T时才达到正向最大值；两者达到正向最大值的时间差为T。 (2)不相同，Q的振动比P的振动超前个周期。 1.相位：位移—时间函数x=Acos(ωt+φ)中的ωt+φ叫作相位，而t=0时的相位φ叫作初相位，简称初相。 2.相位的意义：相位是一个表示振子处在振动周期中的哪个位置的物理量。 说明：相位ωt+φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 3.相位差：相位是一个相对概念，与所取的时间零点有关。两个振动的相位差是个绝对概念，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系。 说明：频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ=φ1-φ2(φ1>φ2)。 若Δφ=0，表明两个物体运动步调相同，即同相； 若Δφ=π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 例3　如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为物体静止的位置，其振动图像如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题： 　 (1)在t=0时刻，物体所处的位置为　　　　点，正在向　　　　(选填“左”或“右”)运动。  (2)该简谐运动的周期为　　　　 s，振幅为　　　　 cm。  (3)在图乙中，物体在t=1 s、t=2 s和t=3 s时所处的位置依次是　　　　、　　　　　和　　　　，相对平衡位置的位移分别为　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　。  (4)在t=2 s时，物体速度的方向与t=0时速度的方向　　　　(选填“相同”或“相反”)。  (5)物体在前4 s内的位移等于　　　　 cm，其路程为　　　　 cm。  (6)该弹簧振子的位移-时间函数表达式为　　　　　　　　　　　　　　　　。  答案　(1)O　右　(2)4　3　(3)B点　O点　A点　3 cm　0　-3 cm　(4)相反　(5)0　12　(6)x=3cos (t-) cm 解析　(1)由振动图像知，t=0时，x=0，表示物体位于平衡位置，即O点。在0~1 s内，振动位移x>0，且逐渐增大，表示t=0时，物体正在向正方向运动，即向右运动。 (2)由题图乙知，物体的周期为4 s，振幅为3 cm。 (3)t=1 s时，x=3 cm，物体位于B点；在t=2 s时，x=0，物体位于平衡位置O点；t=3 s时，x=-3 cm，物体位于A点。 (4)在t=2 s时，x-t图像的斜率为负，表示向负方向运动，即向左运动，与t=0时速度的方向相反。 (5)在t=4 s时，物体又回到了平衡位置，故位移Δx=0，其路程为s=3 cm×4=12 cm。 (6)由题图乙可知弹簧振子的位移-时间表达式满足x=Acos (t-)， 代入数据得x=3cos (t-) cm。 由简谐运动的图像获取的信息 (1)简谐运动的周期、频率、相位、振幅。 (2)某一时刻质点的位移的大小和方向如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。 (3)某一时刻质点的运动方向 根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 (4)质点的位移、速度的变化情况 ①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则位移越来越大，速度越来越小；若靠近平衡位置，则位移越来越小，速度越来越大。 ②根据斜率判断速度的大小和方向。斜率绝对值越大，则速度越大，斜率绝对值越小，则速度越小，斜率为正，则速度沿所选正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 拓展　在例3中，物体在任意1 s内的路程不一定(填“一定”或“不一定”)等于3 cm。 简谐运动中一段时间内的路程与振幅的关系 1.一个周期T恰好经过一次全振动，一次全振动中所通过的路程就是振幅A的4倍，即任意一个周期内的路程均为4A，任意半个周期内的路程均为2A。 2.振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于A。 三、简谐运动的周期性与对称性 1.根据表达式x=Acos(ωt+φ)，当Δφ=(ωt2+φ)-(ωt2+φ)=ω·Δt=2nπ(n=1，2，3…)时，Δt==nT，可知t1、t2两个时刻振动物体位移相同，这体现了简谐运动的周期性特点。 2.简谐运动的物理量随时间周期性变化。各物理量在不同阶段、不同时刻又具有一定的对称性。如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC=OD。 请结合该简谐运动从时间、位移、速度等物理量，说一说简谐运动的对称性体现在哪些方面？ 答案　(1)时间的对称：①来回通过相同两点间的时间相等，如tDB=tBD。 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段位移的时间相等，如tAC=tDB、tCO=tOD。 (2)位移的对称：物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时位移大小相等，方向相反。 (3)速度的对称：①物体连续两次经过同一点(如C点)的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 例4　(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　) A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s 答案　AC 解析　假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为T=×4 s= s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t= s-0.2 s= s。如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T'=4×(0.3+) s=1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t'=1.6 s-0.2 s=1.4 s，A、C正确。 1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。 2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。 课时对点练 [分值：80分] [1~3、5、6题，每题5分] 考点一　简谐运动的函数描述 1.(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA=3cos(100t+) m，物体B做简谐运动的振动方程是xB=5cos(100t+) m。比较A、B的运动，则(　　) A.振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B.周期是标量，A、B周期相等，都为100 s C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB D.A的相位始终超前B的相位 答案　CD 解析　振幅是标量，A、B的振幅分别为3 m、5 m，A错误；A、B的周期均为T== s，B错误；因为TA=TB，故fA=fB，C正确；Δφ=φA-φB=，为定值，即A的相位始终超前B的相位，D正确。 2.两个质点各自做简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x1=Acos(ωt+α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为(　　) A.x2=Acos(ωt+α+π) B.x2=Acos(ωt+α-π) C.x2=Acos(ωt+α-π) D.x2=Acos(ωt+α+π) 答案　B 解析　由题意可知，当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处，则有在t=0时刻，第一个质点在正方向最大位移处时，第二个质点正经平衡位置向正方向最大位移处运动，因此可知第二个质点的初相位比第一个质点的初相位迟，则第二个质点的振动方程为x2=Acos(ωt+α-π)，A、C、D错误，B正确。 考点二　简谐运动的图像描述 3.(2023·广东省执信中学高二检测)扬声器是语音和音乐的播放装置，在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是(　　) A.t=1×10-3 s时刻纸盆中心的位移最大 B.t=2×10-3 s时刻纸盆中心的加速度最大 C.在0~2×10-3 s之间纸盆中心的速度方向不变 D.纸盆中心做简谐运动的方程为x=1.0×10-4·cos 50πt (m) 答案　A 解析　t=1×10-3 s时刻纸盆中心的位移最大，故A正确；t=2×10-3 s时刻纸盆中心位于平衡位置，加速度为零，故B错误；在0~2×10-3 s之间纸盆中心的速度方向先沿正方向再沿负方向，故C错误；纸盆中心做简谐运动的方程为x=Asin=1.0×10-4sin 500πt (m)，故D错误。 4.(10分)(2024·惠州市龙门县高级中学高二期中)有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振动物体在4 s内完成了20次全振动。若从某时刻振动物体经过平衡位置时开始计时(t=0)，经过0.05 s振动物体有正向最大位移。 (1)(3分)求振动物体的振幅和周期； (2)(3分)在图中作出该振动物体的位移—时间图像； (3)(4分)写出振动物体的振动方程。 答案　(1)10 cm　0.2 s　(2)见解析 (3)y=10sin 10πt cm 解析　(1)振幅为A==10 cm， 周期为T= s=0.2 s (2)振动物体在周期时具有正的最大位移，其位移—时间图像如图所示 (3)设振动方程为y=Asin(ωt+φ) ω==10π rad/s φ=0 所以振动方程为y=10sin 10πt cm。 考点三　简谐运动的周期性与对称性 5.如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　　) A.1 Hz B.1.25 Hz C.2 Hz D.2.5 Hz 答案　B 解析　由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以O到b点的时间为0.1 s；而从b再回到a的最短时间为0.4 s，则从b再回到b的最短时间为0.2 s，所以从b到最大位移处的最短时间为0.1 s，因此振子的振动周期为T=0.8 s，由f=，得f= Hz=1.25 Hz，故选B。 6.一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s；质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别是(　　) A.3 s，6 cm B.4 s，6 cm C.4 s，9 cm D.2 s，8 cm 答案　B 解析　简谐运动的质点先后以相同的速度通过A、B两点，则可判定A、B两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等，那么平衡位置O到B点的时间t1=0.5 s，因过B点后再经过t=1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则有从B点到最大位移处的时间t2=0.5 s，因此，质点振动的周期是T=4×(t1+t2)=4 s，在这2 s内质点通过的总路程的一半即为振幅，所以振幅A==6 cm，故选B。 [7~9题，每题6分] 7.(多选)如图所示，一质点在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，E、F点分别为AO和OB之间关于O点的对称点(即EO和OF的距离相等)。质点从E点向右运动经过时间t1第一次经过F点，再经过时间t2第四次经过F点。下列说法正确的是(　　) A.质点经过E点和F点的速度一定相同 B.质点经过E点和F点的加速度大小相等 C.质点从A点第一次运动到B点的时间为t1+t2 D.该质点的振动周期为 答案　BD 解析　由对称性可知，质点经过E点和F点的速度大小一定相同，但是方向不一定相同，选项A错误；质点经过E点和F点时位移的大小相同，根据a=-可知，加速度大小相等，选项B正确；质点从E点向右运动经过时间t1第一次经过F点，再经过时间t2第四次经过F点，设周期为T，则t2+t1=T，解得T=，质点从A点第一次运动到B点的时间为t=T=，选项C错误，D正确。 8.(多选)(2024·广州市第十六中学期中)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，物块的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A.物块的位移—时间函数为x=12cos(1.25πt-)(cm) B.t=0.1 s和t=0.7 s时，物块的速度相同 C.0.2 s到0.4 s，物块的加速度逐渐减小 D.t1到t2，物块振动的时间为半个周期 答案　AD 解析　由题图乙可知，该振动系统的振幅为12 cm，周期T=1.6 s，所以ω==1.25π rad/s，结合振动图像可知，物块的位移—时间函数为x=12cos(1.25πt-)(cm)，故A正确；由题图乙可知，图像上某点的斜率表示该点处的瞬时速度，t=0.1 s和t=0.7 s时，图像中的斜率一正一负，说明两点的速度方向相反，所以速度不相同，故B错误；由题图乙可知，t=0.2 s到t=0.4 s时间内，物块的位移为正，正在逐渐增大，所以根据F=-kx可知回复力逐渐增大，加速度逐渐增大，故C错误；t1和t2时刻，物块的位移关于平衡位置对称，并且速度方向相反，且时间间隔是小于一个周期的，由此可知两时刻的时间差是半个周期，故D正确。 9.一位游客在栈桥边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为30 cm，周期为3.6 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过15 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　) A.0.6 s B.0.9 s C.1.2 s D.1.8 s 答案　C 解析　把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计时，其振动方程为y=Acos t，代入数据得y=30cos t (cm)，当y=15 cm时，在一个周期内对应的点分别为t1=0.6 s，t2=3 s，所以在一个周期内，游客能舒服登船的时间是1.2 s，故选C。 10.(13分)(2024·佛山市高明区第一中学高二月考)水平杆上振动的弹簧振子，如图所示，在AB范围内做简谐运动，已知A、B间的距离为16 cm，小球从A开始运动到第二次经过O的时间为0.45 s，已知小球的质量m=0.5 kg，弹簧的劲度系数k=50 N/m，重力加速度g取10 m/s2，不计小球与杆间的摩擦(取向右为正方向)。求： (1)(4分)小球在6 s内通过的路程是多少； (2)(4分)若从弹簧振子在A处开始计时，小球在2.1 s时的加速度； (3)(5分)若从小球在A处开始计时，请写出该简谐运动的表达式并在图中作出小球简谐运动的x-t图像(至少作出一个周期的图像)。 答案　(1)3.2 m　(2)8 m/s2，方向是由B指向O (3)x=8cos (t-π) (cm)　见解析图 解析　(1)由小球从A开始运动到第二次经过O的时间为0.45 s，可知T=0.45 s 得T=0.6 s 由于6 s=10T 则弹簧振子在6 s内通过的路程是s=40A 又A= cm=8 cm 解得s=3.2 m (2)由于2.1 s=T 则弹簧振子在2.1 s时处于B点，对小球kA=ma 解得a=8 m/s2 ，方向是由B指向O (3)设简谐运动的表达式为x=Acos(ωt+φ)， 又A=8 cm，ω==π rad/s 该振动的初相为φ=-π， 则其表达式为x=8cos (t-π) (cm) 作出图像如图所示。 11.(14分)(2024·深圳市高二期末)某摩天轮直径为120 m，摩天轮在竖直面内做匀速圆周运动，转一圈用时1 600 s，如图甲。当太阳在摩天轮正上方竖直向下照射时，某轿厢在水平地面的投影的运动可视为简谐运动，假设轿厢运动过程中太阳照射角度不变，求： (1)(8分)该简谐运动的振幅及最大速度； (2)(6分)如果太阳光从摩天轮所在平面上左上方45°角平行照射，如图乙，则该轿厢在水平地面的投影的运动是否为简谐运动，请说明原因；如果是，该简谐运动的振幅为多少。 答案　(1)60 m　 m/s　(2)是　原因见解析　60 m 解析　(1)根据题意可知，光线竖直照射，轿厢影子在轴心两侧来回运动，到达区域正好等于直径范围， 所以振幅A==60 m 其周期T为1 600 s， 所以角频率ω== rad/s 简谐运动速度最大的位置为中心位置处，此时速度等于圆周运动的线速度大小，为v=ω·= m/s (2)当阳光斜照时，投影倾斜，其投影的振幅跟原来振幅成比例关系，从平衡位置开始运动， 其振动方程变为x= 所以，依然是简谐运动，振幅A'=A=60 m。 学科网（北京）股份有限公司 $