第十章 专题强化6 带电粒子在电场和重力场中的运动（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理必修第三册学习笔记（人教版 浙江专版）

本讲义聚焦带电粒子在电场和重力场中的运动这一核心知识点，系统梳理直线运动（受力平衡或合外力与速度共线）、抛体运动（正交分解为直线运动）、圆周运动（等效重力法确定临界位置）的规律，构建从基础到复杂的递进学习支架。 该资料以科学思维中的模型建构（如等效重力模型分析圆周运动）和科学推理（正交分解、动能定理应用）为特色，通过例题（如例3用等效法确定速度极值位置）和分层练习强化运动和相互作用观念。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题强化6　带电粒子在电场和重力场中的运动 [学习目标]　1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在电场和重力场中的运动问题(重难点)。2.学会利用“等效法”解决带电粒子在电场和重力场中圆周运动的临界问题(重难点)。 一、带电粒子在电场和重力场中的直线运动 例1　(1)如图甲，一带电液滴沿直线从b点运动到d点，bd与水平面成30°角，匀强电场方向竖直向下，液滴的质量为m，带电荷量为q，则液滴带________电(填“正”或“负”)，电场强度E＝，g为重力加速度，液滴做____________运动。 (2)如图乙，若其他条件不变，电场方向________，电场强度为________，液滴做______________运动，加速度大小a＝________。 答案　(1)负　匀速直线　(2)向左　　匀加速直线　2g 带电粒子在电场中做直线运动的条件 (1)合外力为零，带电粒子做匀速直线运动，此种情况下，电场通常为竖直方向。 (2)合外力不为零，但合外力的方向与运动方向在同一直线上，带电粒子做匀变速直线运动。 二、带电粒子在电场和重力场中的抛体运动 例2　在水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且AB＝BC，如图所示。重力加速度为g，由此可知小球带________(填“正”或“负”)电，小球从A到B与从B到C的运动时间________(填“相等”或“不相等”)，静电力为________，小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小________(填“相等”或“不相等”)。 答案　负　相等　2mg　相等 解析　由题意可知，小球受到的静电力向上，与电场方向相反，所以小球带负电，两个运动过程水平方向的位移相等，所以运动时间也相等，在竖直方向有h＝gt2，h＝×t2，解得F＝2mg，速度变化量等于加速度与时间的乘积，即Δv＝at，结合以上的分析可得，AB过程Δv＝gt，BC过程|Δv|＝|·t|＝gt，故速度变化量的大小相等。 处理带电粒子在电场和重力场中抛体运动的方法 1．明确研究对象并对其进行受力分析。 2．将运动正交分解，分方向进行分析，把曲线运动转化为分方向的直线运动，利用牛顿运动定律、运动学公式求解。 3．涉及到功和能量问题可利用功能关系和动能定理处理。 (1)功能关系：静电力做的功等于电势能的减少量，W电＝Ep1－Ep2。 (2)动能定理：合力做的功等于动能的变化，W＝Ek2－Ek1。 三、带电粒子在电场和重力场中的圆周运动 例3　将光滑绝缘圆轨道置于竖直面内，一带正电小球能在圆轨道内完成完整的圆周运动，圆轨道的圆心为O。重力加速度为g，轨道半径为R。 (1)在图甲中作图确定小球速度最大的位置A及小球速度最小的位置B。 (2)若将此轨道置于竖直向上匀强电场中，电场强度大小为E＝。 ①小球受到重力与静电力合力大小为________，方向________。 ②在图乙中作图确定小球速度最大的位置C及小球速度最小的位置D。 ③若小球恰好完成圆周运动，则vD＝________，vC＝________。 (3)若将此轨道置于水平向右的电场中，电场强度大小为E＝。 ①小球受重力与静电力的合力大小为________，方向为__________。 ②在图丙中作图确定小球速度最大的位置M和速度最小的位置N。 ③若小球恰好完成圆周运动，则vN＝________、vM＝________。 答案　(1)见解析图(a)　(2)①mg　竖直向上　②见解析图(b)　③　　(3)①mg　与水平方向成53°角斜向右下方　②见解析图(c)　③　 解析　(1) 　 (2)①F合＝Eq－mg＝mg，方向竖直向上 ②小球速度最大和最小位置如图(b) ③在D点：qE－mg＝m 得：vD＝从D→C的过程中：(qE－mg)·2R＝mvC2－mvD2 得：vC＝。 (3)①如图(d)所示，重力与静电力的合力F合大小为mg，方向与水平方向成53°角斜向右下方。 ②过圆心O作与F合方向一致的直线，交圆周于M、N两点，如图(c)。 　 ③在N点：F合＝mg＝m 得：vN＝ 从N→M的过程中，F合·2R＝mvM2－mvN2 得：vM＝。 解决电场和重力场中的圆周运动问题的方法 1．首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。 2．用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。 (1)等效重力法 将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向。a＝视为等效重力场中的“等效重力加速度” (2)几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点) ①几何最高点(最低点)：是指图形中所画圆的最上(下)端，是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。 ②物理最高点(最低点)：是指“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。 1.如图所示，水平向左的匀强电场中，质量为m的带电小球从A点沿直线由A点运动到B点。不计空气阻力，在这一过程中(　　) A．小球一定带负电 B．小球在做匀加速直线运动 C．小球的电势能减小 D．小球的机械能增加 答案　A 解析　小球做直线运动，则小球所受的合力一定与小球的初速度共线，当小球带正电时，静电力方向水平向左，重力竖直向下，合力斜向左下方，不可能与小球的初速度共线，当小球带负电时，小球所受静电力水平向右，与重力的合力斜向右下方，当合力的方向与小球的初速度共线时，小球做直线运动，故A正确；由A项分析可知，小球所受合力的方向与初速度方向相反，小球做匀减速直线运动，故B错误；小球所受静电力水平向右，位移斜向左上方，可知静电力做负功，故小球的电势能增加，机械能减小，故C、D错误。 2.如图所示，有三个质量相等分别带正电、负电和不带电的小球，从P点以相同的初速度垂直电场方向进入匀强电场E中，它们分别落到A、B、C三点，则可判断(　　) A．三个小球到达正极板时的动能关系是EkA>EkB>EkC B．三个小球在电场中运动的时间tA＝tB＝tC C．三个小球在电场中运动的加速度关系是aC>aB>aA D．落到A点的小球带负电，落到B点的小球不带电 答案　C 解析　在平行金属板间不带电小球、带正电小球和带负电小球的受力如图所示。由图可知不带电小球做平抛运动a1＝g，带正电小球做类平抛运动a2＝<g，带负电小球做类平抛运动a3＝>g，则a3>a1>a2，由于竖直方向位移相等，且初速度相同，则aC>aB>aA，所以落到A点的是带正电小球；落到B点的是不带电小球；落到C点的是带负电小球，tA>tB>tC，选项C正确，B、D错误；根据动能定理，三小球到达正极板时的动能等于这一过程中合外力对小球做的功；由受力图可知，带负电小球合力最大为G＋F，做功最多，动能最大；带正电小球合力最小为G－F，做功最少，动能最小；即EkA<EkB<EkC，故A错误。 3.(2024·嘉兴市高级中学高二期中)如图所示，细绳拉着一带正电小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，该区域内存在水平向右的匀强电场。A点为运动轨迹的最高点，B点为运动轨迹的最低点，CD为水平直径。在小球做圆周运动的过程中(　　) A．在A点小球的速度最小 B．在B点绳子的拉力最大 C．在C点和D点绳子的拉力大小相等 D．在C点小球的机械能最小 答案　D 解析　把重力和静电力合成为等效重力，可知在等效最高点的速度最小，在等效最低点的速度最大且拉力最大，由题图可知，A点不是等效最高点，B点不是等效最低点，故A、B错误；由题意可知，小球从C点到D点静电力做正功，动能增大，速度增大，故小球在D点的速度大于在C点的速度，由牛顿第二定律可知，小球在D点时绳子的拉力较大，故C错误；根据能量守恒，小球在C点时的电势能最大，则机械能最小，故D正确。 专题强化练 [分值：60分] ［1~4题，每题4分］ 1.如图所示，平行板电容器上极板MN与下极板PQ水平放置，一带电液滴从下极板P点射入，恰好沿直线从上极板N点射出。下列说法正确的是(　　) A．该电容器上极板一定带负电 B．液滴从P点到N点的过程中速度增加 C．液滴从P点到N点过程中电势能减小 D．若下极板稍平行下移一小段距离，液滴将做曲线运动 答案　C 解析　对液滴受力分析可知，重力竖直向下，则静电力方向竖直向上，由于液滴电性及电场强度方向均未知，所以极板电性无法确定，A错误；因为液滴恰好沿直线从上极板N点射出，则液滴沿PN方向做匀速直线运动，所以液滴从P点到N点的过程中速度不变，B错误；液滴从P点到N点过程中静电力做正功，电势能减小，C正确；电容器的电荷量Q不变，则E＝＝＝＝，所以电场强度不变，液滴受到的静电力不变，合外力不变，故液滴仍做直线运动，D错误。 2.(多选)如图所示，真空中存在竖直向下的匀强电场，一个带电油滴(考虑重力)沿虚线由a向b运动，以下判断正确的是(　　) A．油滴一定带负电 B．油滴的电势能一定增加 C．油滴的动能一定减少 D．油滴的动能与电势能之和一定减少 答案　AD 解析　物体做曲线运动时，受到的合力的方向指向物体运动轨迹弯曲的凹侧，由此可知，该油滴受到的静电力的方向是向上的，与电场方向相反，所以油滴一定带负电，故A正确； 该油滴受到的静电力做正功，电势能减小，故B错误；该油滴受到的静电力做正功，而重力做负功，油滴的动能不一定减小，故C错误；重力对油滴做负功，重力势能增加，则油滴的动能和电势能之和一定减小，故D正确。 3.(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则(　　) A．小球可能做匀速圆周运动 B．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小 C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小 D．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大 答案　AC 解析　当重力等于静电力时，只有细线的拉力提供向心力，小球可能做匀速圆周运动，故A正确；当重力小于静电力时，a点为等效最低点，则小球运动到最高点a时，小球的速度最大，线的张力最大，故B、D错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，在圆周上a点的电势最高，根据Epa＝qφa，当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小，故C正确。 4.(多选)(2023·浙江省模拟)在竖直向上的匀强电场中，有两个质量均为m、带等量异种电荷(电荷量绝对值为q)的小球A、B(均可视为质点)处在同一水平面上。现将两球以相同的水平速度v0向右抛出最后落到水平地面上，运动轨迹如图所示。两球之间的静电力和空气阻力均不考虑(重力加速度为g)，则(　　) A．A球带正电，B球带负电 B．B球比A球先落地 C．在下落过程中，A球的电势能减少，B球的电势能增加 D．两球从抛出到各自落地的过程中，A、B球的机械能变化量大小相等 答案　ABD 解析　两球在水平方向都做匀速直线运动，由x＝v0t知，v0相同，则A运动的时间比B运动的时间长，竖直方向上，由h＝at2可知，h相等，tA>tB，则有A的加速度比B的加速度小，A受到的合力比B受到的合力小，所以A所受的静电力向上，带正电，B所受的静电力向下，带负电，故A正确；A运动的时间比B运动的时间长，则B球比A球先落地，故B正确；A所受的静电力向上，静电力对A球做负功，A球的电势能增加，机械能减小，由功能关系可知|ΔEA|＝ΔEpA＝qEh；B所受的静电力向下，静电力对B球做正功，B球的电势能减小，机械能增加，由功能关系可知ΔEB＝|ΔEpB|＝qEh，故C错误，D正确。 5．(10分)(2024·湖州市外国语实验学校高二检测)如图所示，质量为m、带电荷量为q的小球，用长为L的细线固定在O点，当加上水平向右的匀强电场时静置于图示A位置，此时细线与竖直方向夹角为30°。当给小球以垂直于细线的某一初速度后，小球刚好可在该竖直平面内完成圆周运动。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)(3分)小球带电性质； (2)(3分)电场强度大小； (3)(4分)圆周运动过程中的最小速度大小。 答案　(1)带负电　(2)　(3) 解析　(1)小球静止在A点，则小球在A点受竖直向下的重力，水平向左的静电力，因电场强度方向水平向右，故小球一定带负电； (2)在A点，由平衡条件得静电力F＝mgtan 30° 又F＝Eq 联立可得电场强度大小为E＝ (3)采用等效重力法分析，等效重力大小为 G′＝＝ 在等效最高点B小球有最小速度，由牛顿第二定律可得G′＝m 联立可得vmin＝。 ［6~8题，每题5分］ 6.空间存在水平向左的匀强电场，一个质量为m、电荷量为q的带电液滴在电场中的A点(图中未画出)以大小为v0的初速度水平向右射入电场。液滴经过一段时间运动到A点正下方的B点，液滴运动到B点时，速度大小为5v0，速度方向与竖直方向夹角为37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，不计空气阻力，则匀强电场的电场强度大小为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　将液滴在B点的速度沿竖直方向与水平方向分解 vy＝5v0cos 37°＝4v0 vx＝5v0sin 37°＝3v0 液滴从A点到B点经历的时间为t＝ 由3v0＝－v0＋at得液滴在水平方向的加速度大小a＝g 根据牛顿第二定律qE＝ma 解得E＝，故选D。 7.如图所示，一个带负电的油滴以初速度v0从P点斜向上进入水平方向的匀强电场中，v0与水平方向的夹角θ＝45°，若油滴到达最高点时速度大小仍为v0，则油滴最高点的位置在(　　) A．P点的左上方 B．P点的右上方 C．P点的正上方 D．上述情况都可能 答案　A 解析　当油滴到达最高点时，重力做了负功，要使油滴的速度大小仍为v0，需静电力做正功，又油滴带负电，故油滴最高点的位置在P点的左上方，故A正确。 8.(多选)(2024·湖州市高二检测)如图所示，质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E的匀强电场中，以初速度v0沿直线ON做匀变速运动，直线ON与水平面的夹角为30°，若小球在初始位置的电势能为零，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　) A．电场强度E的最小值为 B．匀强电场的方向可能竖直向上 C．如果小球做匀加速运动且加速度大小为g，则电场强度E＝ D．如果电场强度为E＝，小球电势能的最大值为 答案　AC 解析　因为小球做匀变速直线运动，则小球所受的合力与速度方向在同一条直线上，则电场方向不可能竖直向上，结合平行四边形定则知，静电力的方向不确定，有最小值，当静电力垂直于运动方向时，静电力最小，为mgcos 30°，如图(a)所示，所以电场强度的最小值Emin＝＝，故A正确，B错误； 如果小球做匀加速运动且加速度大小为a＝g，由受力分析可知此时qE＝2mgcos 30°，解得 E＝，故C正确；如果电场强度为E＝，静电力的方向与水平方向夹角为30°，斜向左上，如图(b)所示，根据牛顿第二定律知，小球的加速度大小为a＝g，小球沿ON做匀减速直线运动，匀减速直线运动的位移大小x＝＝，在整个过程中静电力做功W＝qExcos 120°＝－mv02，即电势能增加mv02，所以小球电势能的最大值为mv02，故D错误。 9．(12分)(2024·温州市万金综合高中高二检测)如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，BC为竖直直径，半圆形轨道的半径为R。整个轨道处于水平向右的匀强电场中，电场强度为E。现有一电荷量为＋q、质量为m的带电体(可视为质点)，在水平轨道上的P点由静止释放，带电体通过半圆形轨道的最高点C时对轨道恰好无压力，然后落至水平轨道上的D点，重力加速度为g，且qE＝mg。求： (1)(3分)带电体到达半圆形轨道最低点B时的速度大小；(用g、R表示) (2)(6分)带电体在从P开始运动到C点的过程中对轨道的最大压力；(用m、g表示) (3)(3分)带电体离开C点后经多长时间动能最小。(用g、R表示) 答案　(1)　(2)3(＋1)mg，方向与竖直方向成45°角斜向右下方　(3) 解析　(1)设带电体恰好通过C点时的速度为vC，根据牛顿第二定律有mg＝ 解得vC＝，设带电体通过B点时的速度为vB，带电体从B运动到C的过程中，根据动能定理有－mg·2R＝mvC2－mvB2， 解得vB＝ (2)因qE＝mg，所以带电体所受重力与静电力的合力与竖直方向成45°角，且在圆心O右下方时(等效最低点)速度最大，设最大速度为vm，从B运动到该点时，根据动能定理有qERsin 45°－mgR(1－cos 45°)＝mvm2－mvB2， 由向心力公式可得FNm－mg＝m， 联立解得FNm＝3(＋1)mg， 根据牛顿第三定律，带电体对轨道的最大压力为FNm′＝3(＋1)mg，方向与竖直方向成45°角斜向右下方。 (3)带电体从C运动到D点的过程中，动能最小时速度方向与合力方向垂直，所以此时带电体水平方向和竖直方向的分速度大小相等，设运动到动能最小位置经过的时间为t，水平方向加速度大小为g，方向水平向右，由速度公式可得vx＝vC－gt，竖直方向上有vy＝gt，又vx＝vy，联立解得t＝。 (7分) 10．(多选)如图所示，实线圆位于竖直面内，AC和BD为圆的两条直径，相互间夹角为30°，其中BD位于竖直方向。竖直平面内有足够大的匀强电场，方向与圆周平面平行，在圆周平面内将质量为m、带电荷量为＋q的小球(可视为质点)从D点以相同的速率向各个方向抛出，小球会经过圆周上不同的点，其中到达C点时小球的动能最大。到达B点的小球的电势能减少量是到达C点的小球的电势能减少量的两倍。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　) A．C点为圆周上的电势最低点 B．小球运动过程中的加速度大小等于0.5g C．电场强度大小为 D．经过C点时小球的机械能与经过A点时小球的机械能相等 答案　CD 解析　小球受重力和静电力作用，因为到达C点时小球的动能最大，可知小球受到的静电力与重力的合力方向沿OC方向；因为到达B点的小球的电势能减少量是到达C点的小球的电势能减少量的两倍，则UDB＝2UDC，即DB在电场强度方向的投影长度等于DC在电场强度方向的投影长度的2倍，结合几何关系可知，电场强度方向垂直于AC方向，又静电力与重力的合力方向沿AC方向，可知电场强度方向垂直于AC斜向上，如图； 因为沿电场线方向电势逐渐降低，可知C点不是圆周上电势最低的点，选项A错误；小球运动过程所受的合外力为F＝mgcos 30°＝ma，解得a＝g，选项B错误；因为qE＝mgsin 30°，可得电场强度大小为E＝，C正确；小球运动过程中，只有静电力和重力做功，则小球的机械能与电势能之和不变，因电场线垂直于AC，可知AC是等势线，则A、C两点电势相等，小球在A、C两点的电势能相等，则机械能也相等，选项D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $