第一章 专题强化7 “磁聚焦”“磁发散”与“配速法”（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第二册学习笔记（人教版 浙江专版）

本讲义聚焦“磁聚焦”“磁发散”模型及“配速法”解决摆线运动，系统梳理磁聚焦（轨迹圆与磁场圆半径相等时粒子平行射出）、磁发散（粒子会聚于一点）的条件，以及配速法分解速度使洛伦兹力平衡恒力（重力、电场力），合运动为匀速直线与匀速圆周运动叠加的原理，搭建磁场中粒子运动分析的学习支架。 该资料通过模型建构（如磁聚焦中圆形磁场与粒子轨迹圆关系）和科学推理（配速法分解速度推导摆线运动参数）培养科学思维，结合例题解析与针对训练，课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生巩固模型应用与问题解决，提升分析复杂磁场运动的能力。

*专题强化7　“磁聚焦”“磁发散”与“配速法” [学习目标]　1.理解“磁聚焦”与“磁发散”模型，会分析相关问题(重难点)。2.会用配速法解决带电粒子在叠加场中的摆线运动(重难点)。 一、“磁聚焦”与“磁发散” 1.带电粒子的发散 如图甲所示，圆形匀强磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。 2.带电粒子的会聚 如图乙所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形匀强磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。 例1　如图所示，在xOy平面的第Ⅱ象限内有半径为R的圆分别与x轴、y轴相切于P、Q两点，圆内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场。在第Ⅰ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带正电的粒子(不计重力)以速率v0从P点射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，最后从M(3R，0)点射出电场，出射方向与x轴正方向夹角为α，且满足α＝45°。下列判断正确的是(　　) A.粒子将从Q点射入第Ⅰ象限 B.粒子在磁场中运动的轨道半径为2R C.粒子的比荷 D.磁场磁感应强度B的大小B＝ 答案　C 解析　粒子经过M点，根据类平抛运动规律，有vy＝v0tan α，qE＝ma，vy＝at3，3R＝v0t3，解得，y＝＝1.5R，故A错误，C正确；粒子运动轨迹如图所示， 设O1为磁场的圆心，O2为粒子轨迹圆心，P'为粒子射出磁场的位置，根据几何知识有P'O2∥PO1，△O1O2P≌△O2O1P'，则粒子的轨道半径为r＝R，由牛顿第二定律可得Bqv0＝m，解得B＝，故B、D错误。 针对训练　现代高能粒子实验中需要获取轨迹可控的高能粒子，发现用磁场约束粒子运动轨迹的方法十分有效。空间中存在三个有电场或磁场的区域，区域Ⅰ是半径为的圆形区域，区域Ⅰ中存在磁感应强度大小为B1＝B的垂直于纸面向外的匀强磁场；区域Ⅱ在0≤x≤x1区间内存在平行y轴的匀强电场，x1＝R，电场强度大小E＝，电场强度方向沿着y轴负方向，坐标为(R，0)的P点是边界上一点。一群质量为m，电荷量为＋q的带电粒子沿着＋y方向射入区域Ⅰ，其坐标x范围为(－0.9R，－0.1R)，要求这批粒子从同一点离开区域Ⅰ。(不计粒子重力，sin 53°＝0.8)求： (1)求粒子初速度v0； (2)这批粒子离开区域Ⅰ的速度方向与x轴的夹角范围； (3)某粒子能到达P点，求该粒子最初入射的x坐标。 答案　(1)　(2)粒子的角度范围在与x轴夹角53°范围内　(3)(－1) 解析　(1)由磁聚焦原理，沿着y轴正向入射的粒子将会聚于区域Ⅰ与y轴的交点，且磁场圆与轨迹圆半径相同，则r＝ 由牛顿第二定律有Bqv0＝m 解得v0＝ (2)x＝－0.1R时，由几何关系可得sin θ＝＝0.8 所以θ＝53°，x＝－0.9R时，由几何关系可得sin θ'＝＝0.8 所以θ'＝θ＝53° 则粒子的角度范围在与x轴夹角53°范围内 (3)区域Ⅱ中带电粒子在匀强电场中做匀变速曲线运动，类斜抛运动，假设入射粒子与x轴正方向夹角为α，由运动的分解可得，x方向有v0cos α·t＝R， y方向有·t＝2v0sin α 解得α＝45° 由几何关系可知x坐标为x＝(－1)。 二、“配速法”解决摆线问题 如图所示，空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子由静止释放，粒子重力不能忽略。 (1)将初速度0分解成一个水平向左的速度v1和一个水平向右的速度v1，若使向右的分速度对应的洛伦兹力和重力相等，v1应为多大？ 答案　 由qv1B＝mg得v1＝ (2)粒子在水平方向和竖直方向分别做什么运动？请尝试画出粒子运动轨迹。 答案　水平向右的匀速直线运动和竖直平面内逆时针的匀速圆周运动。 (3)每经历一个周期T，粒子的水平位移x为多少？竖直方向最远距离y为多少？ 答案　由qvB＝，r＝，且T＝ x＝v1T＝ y＝2r＝ (4)粒子的最大速度与最小速度分别为多少？ 答案　当做匀速直线运动的速度v1和匀速圆周运动的速度v1同向时，vmax＝，反向时vmin＝0。 1.带电粒子垂直磁场方向进入磁场与重力场、电场的叠加场，如果粒子所受重力、电场力没有能够平衡，则粒子的运动轨迹将是一条摆线(或旋轮线)，所受合力不为零。 2.(1)配速原则：分解初速度v，让分速度v1引起的洛伦兹力和电场力(或重力、或重力电场力的合力——恒力)平衡。 (2)曲直分明：在v1方向粒子做匀速直线运动，另一个分速度v2引起的洛伦兹力导致粒子在同一平面内做匀速圆周运动，实际运动为这两个分运动的合运动。 (3)求解最大速度和最小速度：当做匀速圆周运动的速度v2和做匀速直线运动的v1方向相同时，粒子的实际速度最大，当v2和v1的方向相反时，粒子的实际速度最小。 3.常见的“配速法”的应用 常见情境 处理方法 初速度为0，有重力场 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1，且满足qv1B＝mg，则粒子的运动可看作以v1做匀速直线运动和以v1做匀速圆周运动的合运动 初速度为0，有电场不考虑重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1，且满足qv1B＝qE，则粒子的运动可看作以v1做匀速直线运动和以v1做匀速圆周运动的合运动 初速度为0，有电场考虑重力 把初速度0分解为一个斜向右上的速度v1和一个斜向左下的速度v1，且满足qv1B与重力及电场力的合力平衡，则粒子的运动可看作以v1做匀速直线运动和以v1做匀速圆周运动的合运动 初速度为v0，有重力场 把初速度0分解为v1和v2，且满足qv1B＝mg，则粒子的运动可看作以v1做匀速直线运动和以v2做匀速圆周运动的合运动 例2　(多选)某空间内存在电场强度大小E＝100 V/m、方向水平向左的匀强电场和磁感应强度B＝100 T、方向垂直纸面向里的磁场(均未画出)。一质量为m＝0.1 kg、电荷量q＝＋0.01 C的小球从O点由静止释放，虚线OC与水平方向的夹角为45°，小球在竖直平面内的运动轨迹如图的实线所示，轨迹上A点(距OC距离最远)离OC距离为l(未知)，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.小球在A点的速度为2 m/s B.小球在A点的速度为0 C.A点离OC距离l＝ m D.A点离OC距离l＝ m 答案　AD 解析　分解时，沿虚线向下的速度v1应使洛伦兹力与重力和静电力的合力等大反向，这样才能使小球的一个分运动以速度v1做匀速直线运动，同时以另一分速度做圆周运动，由qv1B＝F合＝mg可得v1＝ m/s。由配速法知，初速度0可分解成v1＝ m/s(沿虚线OC向下)和v2＝ m/s(沿虚线OC向上)， 如图所示，则小球的运动分解成沿虚线OC向下的匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动，小球在A点，两分运动的速度同向，合速度最大，即vmax＝2 m/s，选项A正确，B错误；l为偏离虚线的最大距离，即为圆周运动的直径，则l＝2r＝ m，选项C错误，D正确。 例3　(2024·甘肃卷)质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子(不计重力)，加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 (1)粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。 (2)求O点到P点的距离。 (3)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2(E2略大于E1)，方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O'点上。求粒子打在O'点的速度大小。 答案　(1)带正电　　(2)　(3) 解析　(1)粒子在磁场B2中O处所受洛伦兹力方向向上，根据左手定则可知粒子带正电；设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入速度选择器时的速度为v0，在加速电场中，由动能定理qU＝m 在速度选择器中粒子做匀速直线运动， 由平衡条件qv0B1＝qE1 联立解得 (2)在Ⅲ中由洛伦兹力提供向心力qv0B2＝m 可得O点到P点的距离为 OP＝2r＝ (3)粒子进入Ⅱ瞬间，粒子受到向上的洛伦兹力 F洛＝qv0B1 向下的静电力F＝qE2 由于E2>E1，且qv0B1＝qE1 所以通过配速法，如图所示 其中满足qE2＝q(v0＋v1)B1 则粒子在速度选择器中水平向右以速度v0＋v1做匀速运动的同时，竖直方向以v1做匀速圆周运动，当速度转向到水平向右时，满足垂直打在速度选择器右挡板的O'点的要求，故此时粒子打在O'点的速度大小为 v'＝v0＋v1＋v1＝。 1.为了探测带电粒子，研究人员设计了如图所示的装置。纸面内存在一个半径为R、圆心为O'的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以O'右边的O点为中心放置一个足够大的探测屏，探测屏与OO'连线垂直。纸面内圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且沿水平方向的线状粒子源MN，O'在MN的中垂线上，O'到MN的垂直距离为1.5R。该粒子源各处均能持续不断地发射质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子发射时的速度大小均相同，方向均竖直向上，从粒子源MN中点发射的粒子离开磁场时速度恰好沿O'O方向，不计粒子重力和粒子间相互作用力。 (1)求粒子发射时的速度大小v0； (2)求粒子源左端点M与右端点N发射的粒子从发射到打到屏上所经历的时间之差Δt。 答案　(1)　(2) 解析　(1)分析可知粒子做圆周运动的半径为R，由qv0B＝m，得v0＝ (2)分析可知粒子源左端点M与右端点N发射的粒子均从磁场边界与OO'交点射出，且转过的圆心角分别为：θM＝，θN＝ 两粒子在磁场中运动的周期为T＝ 两粒子在磁场中运动的时间分别为tM＝T，tN＝T，由于两个粒子在匀强磁场区域外部运动的时间相等，所以Δt即为在磁场中运动的时间差， 即Δt＝tM－tN，得Δt＝。 2.(多选)如图所示，在磁感应强度大小为B、水平向里的匀强磁场中，直线MN既水平又垂直于磁场，磁场空间还有电场强度大小为E、竖直向下的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN上的a点以大小为v的速度沿MN向右射出，粒子运动的部分轨迹如图中的实线所示，轨迹上的b点在MN上，c点是轨迹的最高点。已知v＝，不计空气阻力和粒子的重力。在粒子从a运动到b的过程中，下列说法正确的是(　　) A.c点距MN的距离为 B.a、b两点间的距离为 C.粒子在c点受到的向心力大小为2Eq D.粒子运动的加速度大小恒定不变 答案　ACD 解析　由题意可知，粒子的运动可以分为一个向右的匀速直线运动的分运动，粒子这个分运动所受的洛伦兹力与粒子所受的静电力平衡qv1B＝qE，速度大小为v1＝，则另一个分运动是匀速圆周运动，速度大小为v'＝v－v1＝，粒子做匀速圆周运动的周期为T＝，由qv'B＝m，解得r＝，粒子从a到c是半个周期，c点距MN的距离为2r＝，故A正确； 粒子从a到b是做匀速圆周运动的一个周期，分运动匀速圆周运动的位移为零，分运动匀速直线运动的位移大小就是a、b两点间的距离为xab＝v1T＝，故B错误； 粒子在c处时速度v1产生的洛伦兹力与静电力平衡，此时速度v'水平向左沿轨迹的切线方向，故产生的洛伦兹力提供向心力，即F向＝Bqv'＝Bq·＝2Eq，故C正确； 粒子做匀速直线运动的分加速度为零，做匀速圆周运动的分加速度大小不变，两个分运动的加速度的矢量和大小不变，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $