第一章 专题强化3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第二册学习笔记（人教版 浙江专版）

本讲义聚焦带电粒子在有界匀强磁场中的运动这一核心知识点，系统梳理单边直线边界（射入射出夹角相等）、平行边界（临界条件分析）、圆形边界（径向进出规律）、多边形边界（几何转化）的运动特点，构建从基础到复杂的学习支架，强调轨迹圆心角、半径、弦长等几何关系的分析方法。 该资料以科学思维中的模型建构和科学推理为特色，通过典型例题（如正负电子在单边磁场的运动时间与距离比、圆形磁场中粒子速度方向改变问题）拆解轨迹分析步骤，培养运动和相互作用观念。课中辅助教师呈现解题逻辑，课后分层强化练帮助学生巩固几何关系应用，查漏补缺，提升解决复杂磁场问题的能力。

专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 [学习目标]　会分析带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界等有界匀强磁场中的运动。 一、单边直线边界 粒子进出磁场具有对称性，从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图(a)、(b)、(c)所示，d为粒子进出磁场的位置相距的距离。 例1　(多选)如图，比荷相同的正、负电子垂直磁场方向沿与边界成θ＝45°角的方向射入只有下边界的匀强磁场中，不计重力，已知正、负电子在磁场中运动的时间分别为t1、t2，它们从磁场中射出点相距入射点距离分别为s1、s2，则下列说法正确的是(　　) A.t1∶t2＝3∶1 B.t1∶t2＝1∶3 C.s1∶s2＝1∶1 D.s1∶s2＝1∶3 答案　BC 解析　设正电子轨迹的圆心角为α，负电子轨迹的圆心角为β，两个电子的轨迹如图所示，由几何知识可知α＝2θ＝90° β＝360°－2θ＝270° 因比荷相同，在同一磁场中做匀速圆周运动的周期T＝相同，则两电子的运动时间分别为t1＝T，t2＝T 则时间之比为，故A错误，B正确； 正、负电子做匀速圆周运动的半径相同，为r＝，它们从磁场中射出点相距入射点的距离即为弦长，由几何关系可知s1＝s2＝2rsin θ＝r 即s1∶s2＝1∶1，故C正确，D错误。 二、平行边界 如图所示，带电粒子以不同速度进入双边平行直线边界且垂直纸面向里的匀强磁场，其运动轨迹可能不同，可能从同一侧离开磁场，也可能从另一侧离开磁场，往往存在临界条件。 例2　如图，在0≤x≤L区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从y轴上P点，以速率v沿x轴的正方向射入磁场，从磁场右边界上某点离开磁场，并经过x轴上的Q(2L，0)点，此时速度方向与x轴正方向的夹角为45°。不计粒子的重力，求粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值和磁场磁感应强度的大小。 答案　L　 解析　粒子运动轨迹如图所示。 设粒子在磁场中的运动半径为r，粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值为y，根据几何关系有y＝(2L－L)tan 45°＝L r＝L 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m 解得磁场磁感应强度的大小为B＝。 三、圆形边界 1.粒子径向进出磁场时具有对称性 在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 2.粒子非径向进出磁场时具有对称性 在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 例3　(2024·杭州市高二期末)在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B'的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t。 答案　(1)负电荷　　(2)B　 解析　(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝m，则粒子的比荷。 (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做匀速圆周运动的半径R'＝r，又R'＝，所以B'＝B，此次粒子在磁场中运动所用时间t＝T＝×。 例4　(2024·温州市高二期末)如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径。一带正电的粒子从a点射入磁场，速度大小为v，方向与ab成30°角时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t。若仅将速度大小改为0.5v，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)(　　) A.t B.t C.2t D.3t 答案　C 解析　设圆形区域的半径为R，如图所示， 当粒子从b点飞出磁场时，根据几何关系可知粒子转过的圆心角为60°，且粒子运动半径为r1＝2R，根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得r1＝，若仅将速度大小改为0.5v，则粒子运动半径变为r2＝＝0.5r1＝R，如图所示，根据几何关系可知粒子转过的圆心角为120°。同一种粒子在磁场中运动时间正比于转过的圆心角，所以粒子速度大小改变后在磁场中运动的时间为t'＝t＝2t，故选C。 四、多边形边界或三角形边界 例5　(多选)如图所示，边长为L的正三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量均为q的三个粒子A、B、C以大小不等的速度从a点沿与ab边成30°角的方向垂直射入磁场后从ac边界穿出，穿出ac边界时与a点的距离分别为、、L。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列说法正确的是(　　) A.粒子C在磁场中做圆周运动的半径为2L B.A、B、C三个粒子的初速度大小之比为3∶2∶1 C.A、B、C三个粒子从磁场中射出的方向均与ab边垂直 D.仅将磁场的磁感应强度减小，则粒子B从c点射出 答案　CD 解析　由圆周运动的对称性可知，从同一直线边界以30°的弦切角进磁场，射出时的速度也与边界成30°角，而圆心角为60°，则圆心和入射点以及出射点构成等边三角形，由几何关系可知rA＝，rB＝，rC＝L，A错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝，则初速度大小之比vA∶vB∶vC＝1∶2∶3，B错误；由于三个粒子从ac边射出时速度方向与ac边的夹角均为30°，故射出的方向均与ab边垂直，C正确；由r＝可知，仅将磁感应强度大小B改为，则粒子B做圆周运动的半径将变为rB'＝×＝L，而其他条件不变，由几何关系可知，粒子B将从c点射出，D正确。 多边形边界或三角形边界磁场对带电粒子的运动限制较多，但可以根据出射点的位置把磁场看成直线边界，如本题中带电粒子从b、c点离开磁场，就可以看成是直线边界磁场问题，根据直线边界磁场中粒子射入磁场和射出磁场的对称性，很容易就能得出粒子运动轨迹所对应的圆心角。 专题强化练 [分值：70分] [1~5题，每题5分] 1.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ D.1∶1 答案　B 解析　由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示， 正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。 2.(2024·金华市高二期中)如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场；当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出)，v1∶v2等于(　　) A.1∶(2－) B.(2－)∶1 C.2∶1 D.∶1 答案　B 解析　设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为r，两平行线之间的距离为d，由几何关系可知cos θ＝，解得r＝，电子做匀速圆周运动有 qvB＝，v＝∝r 联立可得v1∶v2＝(2－)∶1，故B正确。 3.(2024·嘉兴市高二期中)如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心O射入匀强磁场，又都从该磁场中射出，这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短，若带电粒子在磁场中只受洛伦兹力的作用，则在磁场中运动时间越长的带电粒子(　　) A.速率一定越小 B.速率一定越大 C.角速度一定越小 D.在磁场中通过的路程越长 答案　A 解析　假设粒子在磁场中均向下偏转，如图所示，根据T＝，t＝T，可知周期恒定，在磁场中运动时间越长的带电粒子，圆心角越大，半径越小，由r＝可得速率一定越小，又由公式ω＝，所以角速度都相同，同理，若粒子在磁场中均向上偏转，结论不变，故A正确，B、C错误； 由图可知，在磁场中运动时间越长的带电粒子，路程越短，故D错误。 4.(2023·嘉兴市高二期中)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向自A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力及相互影响，则(　　) A.从P点射出的粒子速度大 B.从Q点射出的粒子速度大 C.从P点射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D.从Q点射出的粒子，在磁场中运动的时间长 答案　B 解析　粒子运动轨迹如图所示， 粒子在磁场中做匀速圆周运动，分别从P点和Q点射出，由图知，粒子运动的半径rP<rQ，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝，粒子运动速度vP<vQ，故A错误，B正确；粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系(图示弦切角相等)，粒子在磁场中转过的圆心角相等，根据粒子在磁场中运动的时间t＝T，又因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，可知粒子在磁场中运动的时间相等，故C、D错误。 5.如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，粒子从b点离开磁场，在磁场中的运动时间为t1；如果只改变粒子射入磁场的速度大小，粒子从c点离开磁场，在磁场中的运动时间为t2。不计粒子重力，则t1与t2之比为(　　) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.3∶1 答案　B 解析　根据周期公式T＝可知，只改变速度大小，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同。粒子两次运动轨迹如图所示， 粒子进入磁场时速度方向与ab方向的夹角为60°，与ac方向的夹角为30°。由几何知识知，当粒子从a点进入磁场，从b点离开磁场时，速度偏转角为θ1＝2×60°＝120°，所以轨迹所对应的圆心角为120°，可得粒子在磁场中的运动时间为t1＝T＝；同理，当粒子从a点进入磁场，从c点离开磁场时，速度偏转角为θ2＝2×30°＝60°，所以轨迹所对应的圆心角为60°，可得粒子在磁场中的运动时间为t2＝T＝，因此t1∶t2＝2∶1，选项B正确。 6.(10分)一带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图所示。粒子重力忽略不计，求：(g取10 m/s2，计算结果均保留两位有效数字) (1)(2分)带电粒子离开磁场时的速度大小； (2)(6分)带电粒子在磁场中运动的时间； (3)(2分)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d为多大？ 答案　(1)3.2×106 m/s　(2)3.3×10－8 s (3)2.7×10－2 m 解析　(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时的速度大小仍为3.2×106 m/s； (2)洛伦兹力提供向心力，由qvB＝m， 得轨道半径为r＝＝0.2 m， 由题图可知偏转角θ满足sin θ＝＝0.5，所以θ＝30°＝， 带电粒子在磁场中运动的周期为T＝， 故带电粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝T，所以t＝≈3.3×10－8 s。 (3)由题意可得，带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离为d＝r(1－cos θ)≈2.7×10－2 m。 [7、8题，每题6分] 7.两个电荷量分别为q和－q的带电粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两个粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，磁场宽度为d，两个粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则(　　) A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.两个粒子轨道半径之比ra∶rb＝∶1 C.两个粒子质量之比ma∶mb＝1∶2 D.两个粒子速度大小之比va∶vb＝1∶2 答案　C 解析　在A点a粒子受到的洛伦兹力方向沿b粒子初速度方向，而b粒子受到的洛伦兹力方向沿a粒子初速度方向，由磁场方向，得a粒子带负电，而b粒子带正电，故A错误；两圆心的连线与两个轨迹半径构成一个角为30°，另一个角为60°的直角三角形，所以两半径之比为ra∶rb＝1∶，故B错误；a、b粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角分别为120°、60°，由于它们运动时间相等，即，所以它们的周期之比为Ta∶Tb＝1∶2，又T＝，则质量之比ma∶mb＝1∶2，故C正确；由半径r＝可知，速度大小之比va∶vb＝2∶，故D错误。 8.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)。则下列说法正确的是(　　) A.若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B.若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 C.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 D.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 答案　A 解析　正粒子从磁场边界入射做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，r＝。当θ为锐角时，画出正粒子运动轨迹如图所示， 由几何关系可知，入射点与出射点间距离Oa＝2rsin θ＝，粒子运动周期T＝，而粒子在磁场的运动时间t＝T＝与速度无关。当θ为钝角时，画出正粒子运动轨迹如图所示。 由几何关系可知，入射点与出射点间距离Oa＝2rsin (π－θ)＝，而粒子在磁场中运动时间t＝T＝，与第一种情况相同。若v一定，θ越大，从时间公式可以看出运动时间越短，故A正确；若v一定，当θ为锐角时，θ越大，Oa越大，当θ为钝角时，θ越大，Oa越小，当θ＝90°时，Oa有最大值，故B错误；粒子运动的角速度ω＝，与速度无关，即v越大时，ω不变，故C错误；无论θ是锐角还是钝角，运动时间均为，与速度无关。即若θ一定，无论v大小如何，粒子在磁场中运动的时间都保持不变，故D错误。 9.(11分)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为多大？ 答案　kBl　kBl 解析　电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝m， 又＝k，解得va＝； 电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有＝l2＋(rd－)2，解得：rd＝，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝m，又＝k，解得vd＝。 10.(12分)(2025·浙江强基联盟高二联考)如图所示，以O为圆心，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，a、b为圆的一条直径，a处有一粒子源，能沿垂直于磁场的各个方向，向磁场发射质量为m、电荷量大小为q、速度不同的负电荷，已知某一从a点沿aOb方向射入磁场的负电荷P，恰好从c点离开磁场，Ob与Oc间夹角α＝60°，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)(3分)求负电荷P射入磁场的初速度大小v0； (2)(4分)若另一负电荷Q沿与aOb成30°角的方向斜向上射入磁场后仍从c点离开，求负电荷Q入射的速度大小和在磁场中运动的时间； (3)(5分)要使所有负电荷只能从∠aOc所对应的磁场边界射出，求射入磁场的负电荷的初速度大小满足的要求。 答案　(1)　(2)　 (3)v≤ 解析　(1)作出轨迹图，如图所示 根据几何关系可知负电荷P在磁场中做圆周运动的半径r＝R 根据Bqv0＝m 解得v0＝ (2)负电荷Q在磁场中运动轨迹如图所示 由几何关系可知Q在磁场中做圆周运动的半径r'＝R 根据Bqv1＝m 解得v1＝ 由几何关系可知Q在磁场中做圆周运动的圆心角 θ＝120°， Q在磁场中运动的时间t＝· (3)要使所有负电荷只能从∠aOc所对应的磁场边界射出，则弦ac为速度最大的负电荷的轨迹的直径，对应的最大半径rm＝R 根据Bqvm＝m 解得vm＝ 所以射入磁场的负电荷的初速度大小应满足v≤。 学科网（北京）股份有限公司 $