第2章 专题强化3 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题等分法的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理必修第三册学习笔记（鲁科版）

本讲义聚焦高中物理电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合分析及等分法应用，先系统梳理轨迹问题分析方法，包括速度方向判断、静电力方向确定、做功与能量变化关系，再深入讲解等分法在匀强电场中确定中点电势、对称点电势等关键应用，构建从受力分析到能量判断再到电场线绘制的学习支架。 该资料通过例题与拓展对比设计，如例1及拓展分别以电场线和等差等势面为背景分析粒子运动，强化科学推理和运动与相互作用观念，例2及拓展运用等分法推导电势关系，培养模型建构能力。课中助力教师突破重难点，课后通过分层练习题（选择、计算）帮助学生巩固物理观念，查漏补缺，提升解决复杂电场问题的科学思维。

专题强化3　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题等分法的应用 [学习目标]　1.会根据电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹判断粒子的受力情况及能量的变化情况(重难点)。2.会利用等分法确定等势面和电场线(重难点)。 一、电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1.判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2.判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3.判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4.判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 例1　如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　) A.vM<vN，aM>aN B.vM<vN，φM<φN C.φM<φN，EpM<EpN D.aM<aN，EpM<EpN 答案　D 解析　由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向向右偏，因粒子带负电，故电场线方向向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpM<EpN；N点附近电场线比M点密，故电场强度EM<EN，知aM<aN，粒子若从N点运动到M点，静电力做正功，电势能减少，动能增加，故vM>vN，粒子若从M点运动到N点同样可得vM>vN。综上所述，选项D正确。 拓展　若上题实线为等差等势面，其他条件不变，下列选项正确的是(　　) A.vM<vN，aM>aN B.vM<vN，φM<φN C.φM<φN，EpM<EpN D.aM<aN，EpM<EpN 答案　B 解析　若实线为等差等势面，带电粒子在a点受力如图， 因粒子带负电，电场强度与F的方向相反，则φM<φN；若粒子从M点运动至N点，静电力做正功，故EpM>EpN，vM<vN，若粒子从N点运动至M点，静电力做负功，仍有EpM>EpN，vM<vN，根据等差等势面疏密知，EM<EN，故aM<aN，因此选B。 1.在解决带电粒子在电场中运动轨迹问题时，要分清题目中是电场线还是等势线，一般选择轨迹与电场线（等势线）的交点进行分析。 2.判断静电力的方向时，若题目已知电场线，过交点作电场线的切线，结合轨迹确定具体的静电力的方向；若题目已知等势线，过交点作等势线切线的垂线，结合轨迹确定具体的静电力方向。 二、等分法确定等势面和电场线 例2　(1)如图甲，在匀强电场中，有A、B、C三点，其中B为AC的中点，则UAB　　　UBC(填“>”“<”或“＝”)，φB＝　　　　　　　(用φA、φC表示)。  (2)如图乙所示，若线段ABC与匀强电场夹角为θ，B为AC的中点，则φB＝　　　　　　　(用φA、φC表示)。  (3)如图丙所示，若未知匀强电场的方向，B仍为线段AC的中点，φB＝　　　　　(用φA、φC表示)。  答案　(1)＝　　(2)　(3) 匀强电场中任一线段AC的中点B的电势φB＝。 拓展1　(1)A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V、φB＝9 V、φC＝－3 V，由此可知φD＝　　　 V。  (2)匀强电场中，A、B、C、D为下列图形中的四个点，若A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V、φB＝9 V、φC＝－3 V，则φD＝　　　　 V。  答案　(1)3　(2)3 解析　(1)方法一　作辅助线AC、BD，交于O点，φO＝，故φA＋φC＝φB＋φD， 解得φD＝3 V。 方法二　因AB∥CD，且dAB＝dCD， 则UAB＝UDC，φA－φB＝φD－φC， 解得φD＝3 V。 (2)甲中φA＋φC＝φB＋φD，得φD＝3 V；乙中φA＋φC＝φB＋φD，得φD＝3 V；丙中φA＋φC＝φB＋φD，得φD＝3 V。 1.匀强电场中，关于同一点对称的任意两点的电势之和相等； 2.匀强电场中，若两线段平行且相等，两线段两端电势差相等。 拓展2　在图中，作出拓展1中过A点的电场线。 答案　如图，将AC三等分，标上三等分点E、F，根据匀强电场中沿同一直线相等距离，电势差相等，知φE＝9 V，φF＝3 V。分别连接BE、DF，BE为9 V的等势线，DF为3 V的等势线，过A点作BE(DF)的垂线，电场线沿垂线向下。 确定匀强电场的电场方向的方法 1.由等分法确定各点电势； 2.连接电势相等的点画出等势线； 3.根据电场线与等势面垂直画出电场线； 4.由电势高的等势面指向电势低的等势面标出电场线的方向。 例3　如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A.200 V/m B.200 V/m C.100 V/m D.100 V/m 答案　A 解析　方法一　在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上。O点到BC的距离d＝OCsin α，而sin α＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m，匀强电场的电场强度大小E＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确。 方法二　UBO＝3 V，电场强度在y轴的分量Ey＝＝100 V/m，方向沿y轴负方向 UAO＝6 V，电场强度在x轴的分量 Ex＝＝100 V/m，方向沿x轴负方向 E＝＝200 V/m。 求匀强电场电场强度大小常用的方法 方法一：确定两等势面间电势差U及等势面之间距离d，利用E＝计算电场强度大小。 方法二：分别利用Ex＝和Ey＝计算两个相互垂直方向上的电场强度大小，再利用矢量合成求出合电场强度的大小。 专题强化练 [分值：100分] [1~5题，每题10分] 1.若带正电荷的微粒在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内(　　) A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动 B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动 C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动 D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动 答案　D 解析　微粒的运动情况取决于合力和初速度的关系，微粒只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时，微粒才沿电场线运动，微粒不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确。 2.(2024·广东华南师范大学附属中学高二月考)如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹。带电粒子只受电场力的作用，运动过程中电势能逐渐减小，它运动到b处时的运动方向与受力方向可能的是(　　) 答案　D 解析　带电粒子只受电场力的作用，运动过程中电势能逐渐减少，则电场力做正功，电场力方向与粒子速度方向夹角为锐角，电场力方向沿着电场线，曲线运动的合外力指向轨迹凹侧，可知D符合要求。 3.(多选)(2024·福州市高二期末)某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M点运动到N点，以下说法正确的是(　　) A.粒子必定带负电荷 B.粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度 C.粒子在M点的电势能大于它在N点的电势能 D.粒子在M点的动能大于它在N点的动能 答案　BC 解析　根据曲线运动中合外力指向轨迹的凹侧，可知带电粒子受到的电场力沿着电场线方向向上，则电场力方向与场强方向相同，故粒子带正电，故A错误；根据电场线的疏密程度可知，M点场强小于N点场强，则粒子在M点受到的电场力大小小于在N点受到的电场力大小，则粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度，故B正确；根据沿电场线方向电势降低，可知φM>φN，根据Ep＝qφ，由于粒子带正电，可知粒子在M点的电势能大于它在N点的电势能，由于只有电场力做功，粒子的动能和电势能之和不变，则粒子在M点的动能小于它在N点的动能，故C正确，D错误。 4.(2024·南平市高二期中)如图所示，虚线是某静电场的一簇等势线并标有电势的值。一带电粒子只在电场力作用下恰能沿图中的实线从A经过B运动到C。下列说法中正确的是(　　) A.粒子一定带负电 B.A处场强大于C处场强 C.粒子在A处电势能小于在C处电势能 D.粒子在A处的动能小于在B处的动能 答案　C 解析　根据电场线与等势面垂直且由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向左；根据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的电场力方向大致向左，则知粒子一定带正电，故A错误；等差等势面的疏密反映电场强度的大小，知A处场强小于C处场强，故B错误；A点电势小于C点电势，粒子带正电，可知粒子在A处的电势能小于在C处的电势能，故C正确；由以上分析知，粒子从A运动到B电场力做负功，则粒子在A处的动能大于在B处的动能，故D错误。 5.(多选)(2024·福建莆田第二十五中学高二月考)如图所示，a、b、c、d为一矩形的四个顶点，一匀强电场的电场强度方向与该矩形平行。已知a、b、c三点的电势分别为0.1 V、0.7 V、1.3 V。ab的长为6 cm，bc的长为8 cm。下列说法正确的是(　　) A.d点的电势为0.7 V B.该匀强电场的电场强度大小为12.5 V/m C.该匀强电场的电场强度大小为10 V/m D.把一带电荷量为0.1 C的正点电荷从a点移动到b点的过程中，电场力做的功为0.06 J 答案　AB 解析　根据Uab＝Udc 可得φd＝0.7 V，故A正确； 由以上知，bd连线为等势线，过a做bd的垂线，与ab的夹角为θ，则E＝ 其中tan θ＝， 解得E＝12.5 V/m 故B正确，C错误； 把一带电荷量为0.1 C的正点电荷从a点移动到b点的过程中，电场力做的功为 W＝qUab＝0.1×(0.1－0.7) J＝－0.06 J， 故D错误。 [6~8题，每题12分] 6.(多选)A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，图形中能正确表示电场强度方向的是(　　) 答案　BC 解析　AC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，A项错误；A、C中点G的电势为φG＝ V＝4 V，将AB两点连线的线段三等分，题图B中H点的电势为4 V，因此H点与G点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与GH线垂直的直线即为电场线，B项正确；由题意，A、B、C三点的电势φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，将AB两点连线的线段三等分，题图C中F的电势为3 V，因此F点和C点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与CF线垂直的直线即为电场线，C项正确；BC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，D项错误。 7.(2024·辽宁省名校联盟期中)如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径，已知a、b、c三点的电势分别为φa＝12 V、φb＝20 V、φc＝24 V，则此圆的圆心O与d点的电势差为(　　) A.2 V B.3 V C.4 V D.6 V 答案　A 解析　根据几何知识知，ab长度等于cd长度，且线段ab平行于线段cd，根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等，则φb－φa＝φc－φd，可得φd＝16 V，O点的电势φO＝＝18 V，圆心O与d点的电势差UOd＝φO－φd＝2 V，故选A。 8.(2024·南平市高二月考)如图所示，正六边形ABCDEF所在空间区域内有平行于六边形所在平面的匀强电场(图中未画出)，虚线是正六边形的外接圆。已知A、B、C三点电势分别为2 V，6 V，10 V，下列说法正确的是(　　) A.DF连线是电场中的一条等势线 B.D点是圆周上电势最高的唯一的点 C.沿六边形从A到B到C过程，质子做负功 D.质子在A点电势能小于在F点电势能 答案　C 解析　因A点电势为2 V，C点电势为10 V，则AC中点的电势为6 V等于B点的电势，可知BE连线为等势线，DF连线不是等势线，选项A错误； 场强方向垂直BE斜向上，沿电场线方向电势降低，可知弧CD的中点是圆周上电势最高的唯一的点，选项B错误；沿六边形从A到B到C过程，电势升高，质子的电势能变大，则电场力对质子做负功，选项C正确；由以上知，AF两点电势相等，则质子在A点电势能等于在F点电势能，选项D错误。 9.(14分)(2024·福州延安中学高二期中)如图所示，直角三角形△ABC处于匀强电场中，电场方向与三角形所在平面平行，D为A、C连线的中点，∠ACB＝30°，BC＝3 cm。将电荷量q＝－4×10－6 C的粒子从A点移到C点，静电力做功－2.4×10－5 J；再将该粒子从C点移到B点，其电势能减少1.2×10－5 J。则A、B两点的电势差为　　　　 V，该匀强电场的电场强度大小为　　　　 V/m。  答案　3　200 解析　依题意，可得WAB＝WAC＋WCB 其中WAB＝qUAB， WAC＝－2.4×10－5J， WCB＝－ΔEp＝1.2×10－5J， 联立可得UAB＝3 V 根据UAC＝＝6 V， 电场方向与三角形所在平面平行，D为A、C连线的中点，根据匀强电场的特点可知 UAD＝3 V， 所以D点与B点在同一等势线上，根据电场线与等势线垂直，且沿着电场线方向电势逐渐降低，可作出如图所示电场线 由几何关系可得 dAH＝ABcos 30°＝BCtan 30°cos 30° ＝3×× cm＝ cm 由匀强电场场强公式可得 E＝ ＝200 V/m。 学科网（北京）股份有限公司 $