葫芦岛市第一高级中学 2026年暑假拓展训练（二） 高二升高三数学试题基础卷

**基本信息** 葫芦岛市第一高级中学2026年高二数学暑假拓展基础卷，聚焦函数模块，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与数形结合能力，适配高二学生暑假复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数相等、零点区间、定义域值域|基础概念辨析，如第1题考查函数相等条件| |多选|3/18|函数奇偶性、导数应用|多选项分层，如第10题结合导数与对称性| |填空|3/15|定义域、零点个数、恒成立问题|简洁考查核心技能，如13题含参函数零点分析| |解答|5/77|奇偶性、解析式、新定义|综合应用，如15题图像与根的个数讨论，19题新定义最值问题，体现数学思维与表达|

葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（二） 高二数学试题 基础卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．下列函数与是相等函数的是（    ） A． B． C．（且） D．（且） 2．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域､值域分别是（    ） A． B． C．，且 D．，且 4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 10．已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．为的一条对称轴 D． 11．已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数的定义域为______．（用区间表示） 13．若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 14．设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象，并求出的解析式； (2)当时，求的值； (3)，讨论的根的个数情况． 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 17．已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 18．已知定义在上的函数满足且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 19．对定义在非空集合上的函数，以及函数，定义，其中表示在上的最大值. (1)函数，求； (2)函数，若，求的值； (3)函数，当取最小值时，求的值，并求出该最小值. 高二数学暑假基础卷2 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷2 第2页 共4页 高二数学暑假基础卷2 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷2 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（二） 高二数学试题 基础卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．下列函数与是相等函数的是（    ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】可得，且定义域为，根据函数相等逐项分析判断. 【详解】因为，且定义域为， 对于选项A：，可知两个函数的对应关系不同，所以函数不相等，故A错误； 对于选项B：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故B错误； 对于选项C：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故C错误； 对于选项D：，且定义域为，所以两个函数是相等函数，故D正确； 故选：D. 2．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 3．函数的定义域､值域分别是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【知识点】复合函数的值域、具体函数的定义域 【分析】直接求出函数定义域，再求复合函数值域. 【详解】要使有意义，只需有意义，即. 令，则. 又， 函数的定义域为，值域为，且. 故选：C 4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 5．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、具体函数的定义域、指数幂的运算、函数图像的识别 【分析】根据解析式，可得函数奇偶性，根据特殊值及函数图象的变换，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，则函数为奇函数，图象关于原点对称，故C错误； 又因为，故D错误； 当时，，故B错误，A正确. 故选：A. 6．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 7．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、由周期性求函数的解析式、函数周期性的应用 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 8．已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据幂函数所过点求解析式，进而判断其奇偶性、单调性，依次判断各项正误. 【详解】由题设得，故，则定义域为，故为非奇非偶函数， 且在上单调递增，A对，B错， 当，则，C对； 当，则， 所以，即，D对. 故选：ACD 10．已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．为的一条对称轴 D． 【答案】BCD 【知识点】求函数值、函数对称性的应用、函数周期性的应用、简单复合函数的导数 【分析】根据关于点对称，可得，将代入即可判断A；根据，利用累加法可判断B；通过证明即可判断C；根据得，可得函数周期为，即可判断D. 【详解】因为关于点对称， 则， 取，则，故A错误； 因为，， 所以，，，， 累加可得， 所以，故B正确； 由得， 两端求导得，即， 所以图象关于直线对称，即为的一条对称轴，故C正确； 由得， 所以函数的周期为， 故，所以，故D正确. 11．已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 【答案】CD 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】分及并画出相应图象进行讨论即可得. 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则， 又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，图象如图（2）， 此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点， 所以当时，有1个零点，故D正确； 由图象可得A、B错误. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数的定义域为______．（用区间表示） 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【详解】依题意可知，解得且， 所以的定义域为. 13．若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、含参指数函数的最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】方法一：应用换元法结合二次方程的根列式计算求解，方法二：应用换元法结合对勾函数的单调性结合图象得出参数范围. 【详解】令，得，即， 方法一：令，则，即，， 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二：设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 14．设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________. 【答案】/ 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】由题意，根据给定的函数解析式，结合等式关系，拓展其他区间的函数解析式，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】，且当时，恒成立， ，易知当时，则恒成立， 当，即时，恒成立， 当，即时，，不满足恒成立， 解不等式，，在上的解集为， 综上所述，当时，恒成立，实数的最小值为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象，并求出的解析式； (2)当时，求的值； (3)，讨论的根的个数情况． 【答案】(1)的图象见解析； (2) (3)当时，的根的个数为0； 当时， 的根的个数为2； 当时， 的根的个数为4； 当时， 的根的个数为3； 当时， 的根的个数为2． 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、由奇偶性求函数解析式、求函数零点或方程根的个数、画出具体函数图象 【分析】（1）先画出函数在时的图象，再根据偶函数关于轴对称即可画出函数在时的图象；再利用偶函数的定义，可以求出当时，的解析式，进而写出在上的解析式； （2）分和两种情况讨论，再解一元二次方程即可得到答案； （3）根据的根的个数，等价求函数的图象与直线的交点个数，再结合（1）分类讨论即可． 【详解】（1）当时， ，即是二次函数，其顶点为，过点，，， 又函数是定义在上的偶函数，即函数关于轴对称， 所以图象如下： 又函数是定义在上的偶函数，则， 当时， ， 则当时，，即， 所以的解析式为． （2）当时， ，即 ，解得（舍去），或； 当时， ，即 ，解得（舍去），或， 所以． （3）由的根的个数，等价求函数的图象与直线的交点个数． 结合（1）可知， 当时，直线在函数图象的下方，故无交点，即的根的个数为0； 当时，直线与函数图象有2个切点，即的根的个数为2； 当时，直线在函数图象有4个交点，即的根的个数为4； 当时，直线在函数图象有3个交点，即的根的个数为3； 当时，直线在函数图象有2个交点，即的根的个数为2． 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数型复合函数的值域、由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 17．已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为 (2)当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为 (3)的取值范围为 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）先根据对数式要求真数大于 0，列出不等式组，再求解交集即可得到函数定义域； （2）先利用对数运算公式合并解析式，拆分内外层函数，再根据复合函数同增异减规律，按底数范围分类讨论，最后判定区间增减性即可； （3）先把函数零点转化为对应方程解的个数，再结合函数值域与图像交点关系，数形结合确定参数取值边界即可得解. 【详解】（1）由题意知， 解得：，即 ， 所以函数 的定义域为 . （2） ， 定义域为 ， 令 ，则 ， 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 单调递增， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 单调递减， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上： 当 时， 在上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. （3）当 时， ，定义域为 ， 因为 有两个零点，则 在 上有两个不同的解， 即： ， 令 ，，则 ，因此： ， 要使方程 有两个不同解， 即直线 与函数 的图像有两个交点， 则，即 ， 所以实数 的取值范围为. 18．已知定义在上的函数满足且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、对数函数单调性的应用、求解析式中的参数值、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，， 即，所以， 故 （2）由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19．对定义在非空集合上的函数，以及函数，定义，其中表示在上的最大值. (1)函数，求； (2)函数，若，求的值； (3)函数，当取最小值时，求的值，并求出该最小值. 【答案】(1)4 (2) (3)，的最小值为. 【知识点】函数与方程的综合应用、函数新定义、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得； （2），，利用 和 的函数性质，通过分类讨论求解； （3）结合所给条件，可得函数与 的，结合绝对值不等式，求出 即可. 【详解】（1）设， 因为，所以，则，.所以. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴， 由题意，，，因为 ，即. 当，即时，，解得或，均不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍），所以. （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， . 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数取得最小值. 高二数学暑假基础卷2 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷2 第2页 共4页 高二数学暑假基础卷2 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷2 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $