专题23 等差数列及其前n项和（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 等差数列及其前n项和 【复习目标】 1．能准确说出等差数列的定义，并能判断数列是否为等差数列； 2．能根据已知条件求任意一项或反求参数； 3. 能利用等差中项性质求值或判断; 4. 能根据已知条件灵活选用前n项和公式公式求和; 5. 能利用性质简化计算 【考点1 等差数列的基本运算】 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的差等于_ __，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_ __，通常用字母___表示，定义的表达式为_ _ . (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_ __叫做a与b的等差中项且_ . (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝ ． (4)前n项和公式：Sn＝ ＝ 【即时训练】 1．数列的通项公式为，则数列是（    ）. A．公差为2的等差数列 B．公差为5的等差数列 C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列 2．在两个数2和8之间插入一个数，使它们成等差数列，这个数为（    ） A．4 B． C． D．5 3．在15和3 之间插入三个数后使这五个数组成一个等差数列，则插入的三个数的和是（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 4．数列的首项为，，则通项公式为（   ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列中，，，，则项数（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．在等差数列中，， 前n项和， 则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．设等差数列的前项和为，若，，则（　　） A． B． C． D． 9．在等差数列中，为前项和，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．16 10．已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则等于（    ） A．40 B．35 C．30 D．28 11．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则公差等于（   ） A． B． C． D． 12．已知等差数列的前n项和为，若，，则______. 【考点2 等差数列性质的运用】 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ __. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_ __. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 【即时训练】 1．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．6 C．5 D．15 2．在等差数列中，若，则（    ） A．9 B． C． D． 3．在等差数列中，知，则数列的前6项和等于（    ） A．18 B．45 C．36 D．72 4．已知数列为等差数列，且，则（    ） A．11 B．22 C．44 D．88 5．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．100 B．40 C．20 D．12 6．已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．55 B．56 C．57 D．58 7．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．17 B．21 C．22 D．24 8．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．0 B． C． D． 9．等差数列中，，则（   ） A．75 B．100 C．125 D．150 10．数列中，当（   ）时，它的前项和最大． A． B．或 C． D． 11．在等差数列中，已知，则的最大值是（   ） A．25 B．29 C．23 D．27 12．已知和均为等差数列，若，则的值是___________. 1．（2025·河北对口升学·真题T10）已知数列均为等差数列，，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 13 2.（2023·河北对口升学·真题T10）在等差数列中，=2m+1，=m，，则=（ ） A. 2n-1 B. 2n-3 C. 2n-5 D. 2n-7 3.（2022·河北对口升学·真题T08）已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 4.（2024·河北对口升学·真题T33）设为等差数列，其前n项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 等差数列及其前n项和 【复习目标】 1．能准确说出等差数列的定义，并能判断数列是否为等差数列； 2．能根据已知条件求任意一项或反求参数； 3. 能利用等差中项性质求值或判断; 4. 能根据已知条件灵活选用前n项和公式公式求和; 5. 能利用性质简化计算 【考点1 等差数列的基本运算】 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d__表示，定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 【即时训练】 1．数列的通项公式为，则数列是（    ）. A．公差为2的等差数列 B．公差为5的等差数列 C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列. 故选：A. 2．在两个数2和8之间插入一个数，使它们成等差数列，这个数为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】利用等差中项公式即可得解. 【详解】依题意，设这个数为， 则，解得. 故选：D. 3．在15和3 之间插入三个数后使这五个数组成一个等差数列，则插入的三个数的和是（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】根据题意结合等差中项的应用即可得解. 【详解】设这五个数构成的等差数列为， 已知，则，， 所以， 故选：. 4．数列的首项为，，则通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数列的递推公式判断数列类型，再利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】已知，即，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以其通项公式为. 故选：C. 5．在等差数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等差数列，由题意列出式子解得通项公式，进而得到. 【详解】设等差数列，由题可得 ， 解得，故， 则. 故选：A. 6．已知等差数列中，，，，则项数（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式易得答案. 【详解】因为等差数列中，，，， 所以， 解得. 故选：D. 7．在等差数列中，， 前n项和， 则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先求出等差数列的公差d，再利用等差数列的前n项和公式求出n的值即可. 【详解】在等差数列中，， 所以， 所以， 解得或（舍去）. 故选：C. 8．设等差数列的前项和为，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，在利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为， 则，① ，② 联立①②可得，， 因此，. 故选：B． 9．在等差数列中，为前项和，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据等差数列的前n项和公式，可得首项和公差，据此可求解. 【详解】由题意，可得 ，解得， 所以. 故选：C. 10．已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则等于（    ） A．40 B．35 C．30 D．28 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式，先求得首项，结合等差数列的通项公式，求出公差，继而求解. 【详解】因为数列为等差数列，，， 所以，解得， 又，解得， 所以 故选：A. 11．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则公差等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质与通项公式即可得解. 【详解】因为是等差数列， 且，所以， 又因为，， 所以，所以， 解得. 故选：A. 12．已知等差数列的前n项和为，若，，则______. 【答案】1 【分析】根据等差中项以及前n项和公式即可求解. 【详解】由得.，即， 则. 故答案为：1 【考点2 等差数列性质的运用】 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 【即时训练】 1．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．6 C．5 D．15 【答案】C 【分析】利用等差数列的下标和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列， 所以，则. 故选：C. 2．在等差数列中，若，则（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求值即可. 【详解】在等差数列中，根据等差数列的性质可知， ， 则由可得， 解得，所以. 故选：C. 3．在等差数列中，知，则数列的前6项和等于（    ） A．18 B．45 C．36 D．72 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质与前项和公式求解. 【详解】因为，根据等差数列的性质可知， 所以， 故选：C． 4．已知数列为等差数列，且，则（    ） A．11 B．22 C．44 D．88 【答案】C 【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可得， 所以. 故选：. 5．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．100 B．40 C．20 D．12 【答案】C 【分析】根据等差数列的求和公式及性质即可得解. 【详解】因为是等差数列， 所以， 所以， 故选：. 6．已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质可得，从而可求. 【详解】因为，， 所以. . . 故选：C 7．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．17 B．21 C．22 D．24 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】由等差数列的通项公式可得， ， 解得. 则. . 故选：A. 8．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出． 【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列， ， ，解得． 故选：C. 9．等差数列中，，则（   ） A．75 B．100 C．125 D．150 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式及性质，及数列的前n项和，即可求解. 【详解】因为等差数列中，公差， 所以 ， 所以. 故选：C. 10．数列中，当（   ）时，它的前项和最大． A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】设该数列通项为，再根据等差数列的通项公式，再由时，前项和最大即可确定的值即可. 【详解】已知数列， 设该数列通项为，则， 则该数列为等差数列，公差， 所以， 若时，则， 解得，所以当或时，它的前项和最大， 故选：B. 11．在等差数列中，已知，则的最大值是（   ） A．25 B．29 C．23 D．27 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式确定正负项分界点，结合前项和公式求解最大值即可. 【详解】因为等差数列的通项公式为：， 所以公差， 所以数列是递减的等差数列， 令，即，解得：， 又因为，所以当时，，当时，， 所以前项和为的最大值， 即. 故选：A. 12．已知和均为等差数列，若，则的值是___________. 【答案】6 【分析】利用等差中项性质易知，代入计算即可求得结果. 【详解】因为和均为等差数列，所以； 所以，即， 即可得. 故答案为：6 1．（2025·河北对口升学·真题T10）已知数列均为等差数列，，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求解． 【详解】数列均为等差数列，则，， 两式相加得， 即，解得． 故选：A． 2.（2023·河北对口升学·真题T10）在等差数列中，=2m+1，=m，，则=（ ） A. 2n-1 B. 2n-3 C. 2n-5 D. 2n-7 【答案】D 【解析】 【分析】这是一道关于等差数列应用的题目，关键是掌握等差数列的通项公式. 【详解】因为，，公差， 所以，.，， 所以. 故选：D 3.（2022·河北对口升学·真题T08）已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，从而可求. 【详解】因为，， 所以. . . 故选：C 4.（2024·河北对口升学·真题T33）设为等差数列，其前n项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）略． 【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项公差为，其前n项和为， 由，可得，解得， 由等差数列前项和公式， 由，可得， 化简得，解得. 所以数列的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $