第13卷 二次函数的图像和性质-考点训练卷 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦二次函数图像与性质，以微目标拆解考点，构建从概念理解到性质应用再到实际建模的三阶基础训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-6/填空11-14|考查对称轴、顶点、单调性判断|从函数表达式到图像特征，建立参数与图像关系| |性质应用|选择7-10/填空15-18/解答19,21,23|涉及最值计算、单调区间确定|由图像性质推导函数变化规律，强化推理能力| |实际问题|解答20,22,24|租金优化、矩形面积最值等建模题|将现实问题抽象为二次函数模型，发展应用意识|

编写说明：2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》 第13卷 二次函数的图像和性质 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数的性质即可求解. 【详解】对A：函数在R上为减函数，故A项错误； 对B：函数在上为减函数，故B项错误； 对C：函数的对称轴为，且抛物线开口向上， 所以函数在上为减函数，在上为增函数，故C项错误； 对D：函数在R上为增函数，故D项正确. 故选：D. 2．函数在区间上的最大值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得解. 【详解】函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， ，，， 所以在区间上的最大值为， 故选：. 3．下列函数在其定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、余弦函数、幂函数的性质求解即可. 【详解】选项A. 在上单调递增. 选项B. 是周期性函数，且在上单调递减. 选项C. 在上单调递减. 选项D. 在上单调递减. 故选：A. 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数，余弦函数，幂函数，二次函数的性质易得答案. 【详解】A：指数函数是非奇非偶函数，故A错误； B：函余弦函数是偶函数，但在区间上不是严格单调递增，故B错误； C：二次函数是偶函数，在区间上单调递增，故C正确； D：幂函数不是偶函数，故D错误. 故选：C. 5．函数在上是减函数，在上是增函数，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出为函数的对称轴，求出即可. 【详解】由函数在是减函数，在是增函数， 所以函数图象的对称轴为， 则对称轴， 解得. 故选：A. 6．二次函数的图像的顶点在轴上，则的值是（     ） A． B．9 C．3 D． 【答案】A 【分析】先将已知二次函数的解析式配方成顶点式，则可得其顶点坐标； 再根据顶点在x轴上可得关于k的方程，解方程求出k的值即可. 【详解】∵配方得， 顶点为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴，解得. 故选：A. 7．二次函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】，通过配方得：， 当，二次函数有最大值为. 故选：D. 8．已知二次函数的图像的对称轴为直线，则当时，的值为（    ） A． B．1 C．17 D．25 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称轴列式求出m的值，再将代入函数解析式中即可求解. 【详解】因为二次函数的图像的对称轴为直线， 即，解得， 所以二次函数的解析式为， 则当时，. 故选：D. 9．偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以函数解析式为：， 函数开口向下，对称轴为轴， 所以函数单调递增区间为， 故选：A. 10．函数在区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的性质求解即可. 【详解】由可知， 函数图像开口向上，对称轴为 ， 所以当时，函数取得最小值， 又因为当时，， 当时，， 所以函数的最大值为， 故选：C. 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 11．的对称轴是，则________. 【答案】 【分析】利用二次函数的对称轴公式求参数即可. 【详解】的对称轴为，解得； 故答案为：. 12．函数，的值域为______． 【答案】 【分析】根据二次函数找到对称轴，再结合定义域，即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为且， 抛物线开口方向向上，所以当时，函数取得最小值为． 因为， 所以当时，函数取得最大值为， 又因为， 所以函数的值域为． 故答案为：. 13．已知函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数的图像开口向上，函数的单调递增区间为， 又因为函数在上单调递增， 所以，即. 所以的取值范围为：， 故答案为： 14．已知二次函数 的图像与x轴只有一个交点，则b的值是__________. 【答案】1 【分析】根据二次函数的图像与性质，结合一元二次方程根的判别式，即可求解. 【详解】因为二次函数的图像与x轴只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， 所以， 解得. 故答案为：1. 15．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数对称轴与单调区间位置关系列不等式，解得结果． 【详解】由题得，对称轴方程为， 因为在区间上是增函数， 因为，开口向下，所以． 故答案为：． 16．函数的减区间是_____________. 【答案】 【分析】利用二次函数的性质即可得解. 【详解】因为的图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的减区间是. 故答案为：. 17．函数的值域是___________. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性与对称性计算即可. 【详解】由函数，可知对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递增， 因此，当时，； 当时，； 所以函数的值域为. 故答案为： 18．若二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则__________ 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】因为二次函数的图像为开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数， 又二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数， 所以. 故答案为：. 三、解答题:本大题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．求二次函数的最小值和图像的对称轴方程，并指出它的单调区间. 【答案】对称轴方程为：，最小值为，单调减区间为，单调增区间为. 【分析】用配方法分析二次函数解析式即可得到对称轴和最值，结合开口方向即可得到单调区间. 【详解】二次函数 则对称轴方程为：，最小值为， 且函数图象开口向上， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. 20．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收费10元，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出;若再提高2元，便再减少10张客床租出;依此情况变化下去，为了投资少而获得租金最多，每床每夜应提高租金多少元? 【答案】每床每夜应提高租金6元 【分析】设每床每夜应提高个2元，每日获得的租金为元，由题意可得函数关系式，根据二次函数的图像和性质可求解. 【详解】设每床每夜应提高个2元，每日获得的租金为元，则 ，其中，， 由于函数的对称轴为，开口向下， 所以当或3 时，最大. 当时，每床每夜提高租金6元，床位最少，即投资少， 所以为了投资少而获得租金最多，每床每夜应提高租金6元. 21．已知二次函数 (1)求函数的对称轴方程和最大值； (2)指出函数的单调区间． 【答案】(1)对称轴为，函数最大值为. (2)单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（）根据二次函数的性质求出对称轴及最大值即可得解. （）根据二次函数的性质求出单调区间即可得解. 【详解】（1）二次函数，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为， 当时，函数值最大为， 综上所述，对称轴为，函数最大值为. （2）二次函数，图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以单调增区间为，单调减区间为. 22．已知一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，问这个矩形宽为多少米时，菜园的面积最大？菜园面积最大是多少平方米？（仅加强班作答）    【答案】当宽为时，面积最大为. 【分析】建立二次函数模型，再运用顶点式确定二次函数的最值即可. 【详解】设矩形的宽分别为x，则长为，， 所以矩形面积 ，， 因为，图像开口向下， 所以当时，， 即当宽为时，面积最大为． 23．求二次函数的最值和图象的对称轴，并指出它的单调区间． 【答案】，对称轴为，单调递减区间，单调递增区间 【分析】根据配方后的解析式求得函数最值和对称轴，由图象及对称轴求得函数单调区间即可. 【详解】∵，∴， 且函数图象的对称轴是直线，且函数图象开口向上， 它在区间上是减函数，在区间上是增函数. 24．已知函数 (1)求函数图象的开口方向； (2)x为何值时； (3)求该函数的顶点坐标和对称轴及最值； (4)求该函数的单调性. 【答案】(1)开口向上. (2)或. (3)顶点，对称轴，函数最小值，无最大值； (4)增区间为，减区间为. 【分析】（）根据二次函数的解析式得出，即可得出开口向上. （）根据题意令即可得解. （）代入二次函数的对称轴公式，即可求出顶点坐标，结合二次函数图像即可得到函数最值. （）根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）函数为二次函数，且， 所以函数图像的开口向上. （2）当时，， 解得或. （3）函数，对称轴为， 当时，，所以顶点坐标为， 因为函数图像为开口向上的抛物线，所以函数有最小值，最小值为，无最大值； （4）函数，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该函数的单调增区间为，减区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》 第13卷 二次函数的图像和性质 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数在区间上的最大值为（    ） A．3 B．0 C． D． 3．下列函数在其定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．函数在上是减函数，在上是增函数，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数的图像的顶点在轴上，则的值是（     ） A． B．9 C．3 D． 7．二次函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图像的对称轴为直线，则当时，的值为（    ） A． B．1 C．17 D．25 9．偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 10．函数在区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 11．的对称轴是，则________. 12．函数，的值域为______． 13．已知函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 14．已知二次函数 的图像与x轴只有一个交点，则b的值是__________. 15．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______． 16．函数的减区间是_____________. 17．函数的值域是___________. 18．若二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则__________ 三、解答题:本大题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．求二次函数的最小值和图像的对称轴方程，并指出它的单调区间. 20．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收费10元，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出;若再提高2元，便再减少10张客床租出;依此情况变化下去，为了投资少而获得租金最多，每床每夜应提高租金多少元? 21．已知二次函数 (1)求函数的对称轴方程和最大值； (2)指出函数的单调区间． 22．已知一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，问这个矩形宽为多少米时，菜园的面积最大？菜园面积最大是多少平方米？（仅加强班作答）    23．求二次函数的最值和图象的对称轴，并指出它的单调区间． 24．已知函数 (1)求函数图象的开口方向； (2)x为何值时； (3)求该函数的顶点坐标和对称轴及最值； (4)求该函数的单调性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $