6.2等差数列（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 数列 6.2 等差数列 【复习目标】 1.掌握等差数列和等差中项的概念； 2.掌握等差数列的通项与前n项和公式. 【知识梳理内容】 考点1 等差数列的概念及通项公式 1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都等于 ，则这个数列叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，通常用字母 表示，即an＋1＝an＋d或an＋1－an＝d或an＋1－d＝an(n∈N*)，这几个式子都表示这个数列是等差数列． 2.等差中项 (1)若三个数a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的 . (2)根据等差数列的概念，A－a＝b－A，可以得到A＝，反之，如果A＝，那么A是a与b的等差中项．即“A＝”是“a，A，b”成等差数列的 条件． (3)在一个等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.所以在解题中，若三个数成等差数列，我们常设这三个数为a－d，a，a＋d，这样有利于解题． 3.通项公式 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d，(n≥2) an－1－an－2＝d， … a3－a2＝d， a2－a1＝d， 将所有等式左右两边相加可得an－a1＝(n－1)d. 经验证n＝1时也成立．即 . (1)根据等差数列的通项公式可以求出等差数列中的任一项，根据等差数列的首项a1和公差d可以写出等差数列的通项公式，也可以判断某个数是否是等差数列中的项； (2)根据等差数列中的任意两项，通过列方程组可以解出a1、d. 4.判定一个数列为等差数列的一般方法: (1)定义法:从第二项起每一项与它的前一项的差为定值，即an＋1－an＝d； (2)通项公式法:； (3)中项法:. 【即时训练】 1.若数列的通项公式为，则此数列是(  ) A.公差为的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D.公差为的等差数列 2.在等差数列中， ， ，则(  ) A.10 B.17 C.21 D.35 3.在数列中，，，则的值是 A. B. C. D. 4.在等差数列中，，，，则(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知等差数列，，，则公差(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知三个数成等差数列，它们的和为m，则中间数为(  ) A. B. C. D.以上答案都不对 7.已知数列中，，，则这个数列的一个通项公式为(  ) A. B. C. D. 8.在等差数列中，，，则公差(  ) A.1 B.5 C.8 D.12 9.已知数列的通项公式为，那么(  ) A. B. C. D. 10.若4是x与2的等差中项，则(  ) A.2 B.3 C.6 D.8 【知识梳理内容】 考点2 等差数列的前n项和公式及性质 1.等差数列前n项和 等差数列中，a1＋a2＋a3＋…＋an为数列的前n项和，用Sn表示， 即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. 同样地，Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1， 将上面两式相加，2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－2)＋(a3＋an－3)＋…(an＋a1)， 由等差数列的性质可知a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－3＝…＝an＋a1， 所以2Sn＝n(a1＋an)， ①， 对于①式，把等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d代入可得 ②， ①②都是等差数列的前n项和公式． 2.性质: (1)若m＋n＝p＋q，则 (m，n，p，q∈N*)． (2)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成一个新的等差数列.如a1，a3，a5，…仍然是等差数列． (3)若Sn是等差数列的前n项和，则数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也构成等差数列． 【即时训练】 11.等差数列的前项和，那么它的通项公式是(  ) A. B. C. D. 12.在等差数列中，和是方程的两个实数解，则(  ) A.7 B.-7 C.5 D.-5 13.已知等差数列中，则(  ) A.4 B.8 C.12 D.16 14.在等差数列中，，则(  ) A.6 B.8 C.10 D.12 15.等差数列的通项公式为，则该等差数列的前4项和为(  ) A.6 B.10 C.20 D.25 16.已知等差数列的前项和，则(  ) A.11 B.8 C.20 D.35 17.在等差数列中，若，，则当取最大值时，的值为(  ) A.5 B.6 C.7 D.6或7 18.已知数列的通项公式为，其前项和为，则下列描述正确的是(  ) A.数列是递增数列，的最小值为 B.数列是递增数列，的最大值为30 C.数列是递减数列，的最小值为30 D.数列是递减数列，的最大值为 19.设等差数列的前n项和为，若，则(  ) A.45 B.32 C.47 D.54 20.设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 21.已知数列中，，且（），求数列前n项和的最大值. 22.已知等差数列中，前n项和. (1)求的通项公式； (2)求的值. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如:“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为:“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是(  ) A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 2.(2024年山东省春季高考数学真题)在等差数列中，已知，，则该数列的公差是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2024年山东省春季高考数学真题)在等差数列中，____________. 4.(2025年山东省春季高考数学真题)在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 数列 6.2 等差数列 【复习目标】 1.掌握等差数列和等差中项的概念； 2.掌握等差数列的通项与前n项和公式. 【知识梳理内容】 考点1 等差数列的概念及通项公式 1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都等于同一常数，则这个数列叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示，即an＋1＝an＋d或an＋1－an＝d或an＋1－d＝an(n∈N*)，这几个式子都表示这个数列是等差数列． 2.等差中项 (1)若三个数a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项. (2)根据等差数列的概念，A－a＝b－A，可以得到A＝，反之，如果A＝，那么A是a与b的等差中项．即“A＝”是“a，A，b”成等差数列的充要条件． (3)在一个等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.所以在解题中，若三个数成等差数列，我们常设这三个数为a－d，a，a＋d，这样有利于解题． 3.通项公式 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d，(n≥2) an－1－an－2＝d， … a3－a2＝d， a2－a1＝d， 将所有等式左右两边相加可得an－a1＝(n－1)d. 经验证n＝1时也成立．即an＝a1＋(n－1)d. (1)根据等差数列的通项公式可以求出等差数列中的任一项，根据等差数列的首项a1和公差d可以写出等差数列的通项公式，也可以判断某个数是否是等差数列中的项； (2)根据等差数列中的任意两项，通过列方程组可以解出a1、d. 4.判定一个数列为等差数列的一般方法: (1)定义法:从第二项起每一项与它的前一项的差为定值，即an＋1－an＝d； (2)通项公式法:； (3)中项法:. 【即时训练】 1.若数列的通项公式为，则此数列是(  ) A.公差为的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D.公差为的等差数列 【答案】A 【分析】根据题意计算的值，由等差数列的定义即可得解. 【详解】因为数列的通项公式为， 所以， 则是公差的等差数列. 故选:A. 2.在等差数列中， ， ，则(  ) A.10 B.17 C.21 D.35 【答案】B 【分析】首先求出公差，再应用等差数列通项公式即可求出． 【详解】设等差数列的公差为，则 ， 所以 ． 故选:B 3.在数列中，，，则的值是 A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据已知条件判断数列为等差数列，根据通项公式求得的值． 【详解】因为，所以数列是公差的等差数列， 故. 故选:C 4.在等差数列中，，，，则(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【分析】根据题意利用等差数列的通项公式求出公差，再求出通项公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， ，，则， 所以， 因为，则，解得， 故选:. 5.已知等差数列，，，则公差(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式将用首项和公差表示，代入已知等式求解公差. 【详解】已知等差数列，，则， 解得. 故选:C. 6.已知三个数成等差数列，它们的和为m，则中间数为(  ) A. B. C. D.以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的定义设出这三个数即可得解. 【详解】三个数成等差数列，它们的和为m， 设等差数列的公差为且这三个数分别为， 则，解得， 所以中间数为， 故选:. 7.已知数列中，，，则这个数列的一个通项公式为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，求得数列的公差，结合等差数列的概念和性质，即可求解. 【详解】由可知，， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. 故选:A. 8.在等差数列中，，，则公差(  ) A.1 B.5 C.8 D.12 【答案】B 【分析】根据题意利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】在等差数列中，，， ， 解得， 故选:. 9.已知数列的通项公式为，那么(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式即可得解. 【详解】已知数列的通项公式为， 则， 故选:B. 10.若4是x与2的等差中项，则(  ) A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】C 【分析】由等差中项的定义即可得解. 【详解】因为4是x与2的等差中项， 所以，解得. 故选:C. 【知识梳理内容】 考点2 等差数列的前n项和公式及性质 1.等差数列前n项和 等差数列中，a1＋a2＋a3＋…＋an为数列的前n项和，用Sn表示， 即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. 同样地，Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1， 将上面两式相加，2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－2)＋(a3＋an－3)＋…(an＋a1)， 由等差数列的性质可知a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－3＝…＝an＋a1， 所以2Sn＝n(a1＋an)，Sn＝①， 对于①式，把等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d代入可得 Sn＝na1＋d②， ①②都是等差数列的前n项和公式． 2.性质: (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (2)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成一个新的等差数列.如a1，a3，a5，…仍然是等差数列． (3)若Sn是等差数列的前n项和，则数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也构成等差数列． 【即时训练】 11.等差数列的前项和，那么它的通项公式是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据与的关系求出，进而求出公差，得到等差数列的通项公式. 【详解】依题意，，，得， 则公差为， 所以等差数列的通项公式为. 故选:C. 12.在等差数列中，和是方程的两个实数解，则(  ) A.7 B.-7 C.5 D.-5 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质得解. 【详解】等差数列中，和是方程的两个实数解， 则，所以， 故选:. 13.已知等差数列中，则(  ) A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质求出的值，再结合同底数幂的乘法运算规则计算结果. 【详解】在等差数列中， 可得， 因此. 故选:D. 14.在等差数列中，，则(  ) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】等差数列中，，则，所以. 故选:D. 15.等差数列的通项公式为，则该等差数列的前4项和为(  ) A.6 B.10 C.20 D.25 【答案】B 【分析】先确定等差数列的首项与第4项的值，代入等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】已知数列的通项公式为，所以，. 则. 故选:B. 16.已知等差数列的前项和，则(  ) A.11 B.8 C.20 D.35 【答案】B 【分析】根据题意利用即可得解. 【详解】等差数列的前项和， ，， 所以， 故选:. 17.在等差数列中，若，，则当取最大值时，的值为(  ) A.5 B.6 C.7 D.6或7 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和公式及性质求解即可. 【详解】因为等差数列，，所以， 所以，又因为， 所以当取最大值时，或. 故选:D. 18.已知数列的通项公式为，其前项和为，则下列描述正确的是(  ) A.数列是递增数列，的最小值为 B.数列是递增数列，的最大值为30 C.数列是递减数列，的最小值为30 D.数列是递减数列，的最大值为 【答案】A 【分析】先判断出数列是递增的等差数列，再利用前n项和公式即可得解. 【详解】因为，所以是公差为5的等差数列. 因为公差大于0，所以数列为递增数列. 令，解得， 又因为为递增数列，所以数列前3项为负，第4项为0，从第5项开始为正， 所以为的最小值. 故选:A. 19.设等差数列的前n项和为，若，则(  ) A.45 B.32 C.47 D.54 【答案】A 【分析】根据等差数列的片段和的性质即可求解. 【详解】由题可知：成等差数列， 所以， 又，所以. 故选:A. 20.设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等差数列的通项公式列出方程组即可得解. (2)利用等差数列的通项公式及求和公式列出方程组即可得解. 【详解】(1)数列为等差数列，其公差为d， 因为，， 则，解得， 所以. (2)数列为等差数列，其公差为d，前n项和为， 因为，， 则，解得， . 21.已知数列中，，且（），求数列前n项和的最大值. 【答案】49 【分析】先根据已知条件判断数列类型，求出通项公式，再根据通项公式确定使取得最大值时的值，最后求出的最大值. 【详解】已知，可得， 则数列是公差的等差数列， 已知，则， 令，解得， 因为，，， 所以当时，；当时，， 所以的最大值在时取得， 所以的最大值为. 22.已知等差数列中，前n项和. (1)求的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1). (2)495. 【分析】(1)根据题意求出，利用即可得解. (2)根据等差数列的求和公式即可得解. 【详解】(1)等差数列中，前n项和， 当时，； 当时，， 经检验，通项公式为. (2)因为， ，， . 1.(2026年山东省春季高考数学真题)在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如:“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为:“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是(  ) A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 【答案】B 【分析】根据题意求出数列通项公式，再根据不等式求解即可. 【详解】因为除以3和7都余2，所以是3和7的公倍数，3和7的最小公倍数是21，因此可设 (为非负整数). 结合除以5余3，所以除以5余3，即除以5余3， 所以除以5余1，即(为非负整数)， 因此，即所有满足条件的是首项为、公差为的等差数列， 通项为， 又，所以，化简得， 因此最大取19，即的最大值为20. 故选:B. 2.(2024年山东省春季高考数学真题)在等差数列中，已知，，则该数列的公差是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式求解. 【详解】在等差数列中，,即, 又因为,代入解得. 故选:. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)在等差数列中，____________. 【答案】 【分析】根据数列是等差数列先求公差易得答案. 【详解】因为等差数列,, 所以, 所以. 故答案为:. 4.(2025年山东省春季高考数学真题)在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)15 【分析】(1)根据等差数列的性质联立方程组求得数列的首项和公差，再由等差数列通项公式即可解得； (2)根据第(1)问的结论求得数列的前项和公式，进而列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】解:(1)设等差数列首项为，公差为， 因为，即， 又因为，即， 联立方程组:， 解得:，， 所以通项公式为:． (2)因为，，， 所以前项和， 又因为，即， 解得:(舍)或， 所以最小正整数解为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $