6.1数列的概念（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 数列 6.1 数列的概念 【复习目标】 1.理解数列的概念. 2.理解数列通项公式、前n项和公式的含义. 【知识梳理内容】 考点1 数列的概念及分类 1.数列的概念 按照一定次序排列的 ，叫作数列.在数列中的每一个数都叫作这个数列的 ，各项依次叫这个数列的第一项(或首项)，第二项，…，第n项，数列的一般形式写成:a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 注意:①同一个数在数列中可以重复出现；②数列中的数按一定次序排列，两个数列数的排列顺序不同不是相同数列；③数列中的项与项数是不同的． 2.数列的分类 (1)按项数分: (项数有限)、 (项数无限)． (2)按项与项的大小分:递增数列(an<an＋1)、递减数列(an>an＋1)、常数列、摆动数列． (3)常数列:数列的所有项都是同一个常数． 【即时训练】 1.下列说法不正确的是(  ) A.数列可以用图象来表示 B.数列的通项公式不唯一 C.数列中的项不能相等 D.数列可以用一群孤立的点表示 2.下列通项表达式中，能表示数列的是(  ) A. B. C. D. 3.观察数列，括号内应该填入(  ) A.10 B.11 C.12 D.13 4.若数列{an}的通项公式an=，则此数列为(  ) A.常数数列 B.递减数列 C.递增数列 D.摆动数列 5.下列数列既是递增数列又是无穷数列的是(  ) A. B. C. D. 6.已知数列，则“”是“是递增数列”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)，，，，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； (6)，，，，，，…. 【知识梳理内容】 考点2 数列的公式 1.数列的通项公式 用项数n来表示该 的公式，叫作数列的通项公式.由此可知，数列的通项公式是以 集的子集为其定义域的函数，可记为an＝f(n)(n∈A，A⊆N*)． 注意:数列的通项公式在形式上不唯一，例如数列1，－1，1，－1，…，其通项公式可以写成an＝(－1)n＋1或an＝(－1)n－1，还可写成an＝cos(n＋1)π. 2.数列的递推公式 用含有数列前面若干项的表达式来表示后面的某一项的公式，称为数列的递推公式，如an＋1＝2an＋1. 已知首项和递推公式，实际上也确定了数列． 3.数列的前n项和公式 (1)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. (2)数列通项公式an与前n项和Sn的关系: . 【即时训练】 8.已知数列的通项公式为，则(  ) A.13 B.12 C.9 D.6 9.是数列的(  ) A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 10.已知数列中，，那么(  ) A. B. C. D. 11.已知数列的前n项和为，若，，则(  ) A.2 B.4 C.8 D.16 12.数列，其通项公式为(  ) A. B. C. D. 13.下列四个数中，是数列中的项的是(  ) A.44 B.48 C.52 D.56 14.“斐波那契数列”满足，，则_______. 15.如下图所示，用火柴棒摆成正方形图形，则第10个图形需用火柴棒_____________根.    16.已知数列满足，若，则___________． 17.在数列中，，，，则_____. 18.已知数列的通项公式是. (1)求的值； (2)验证是不是数列中的项； (3)当n为何值时，. 19.已知数列的前项和． (1)求的值； (2)数列的前多少项和最小？最小值是多少？ 20.已知下面各数列的前n项和的公式，求数列的通项公式. (1)； (2). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 数列 6.1 数列的概念 【复习目标】 1.理解数列的概念. 2.理解数列通项公式、前n项和公式的含义. 【知识梳理内容】 考点1 数列的概念及分类 1.数列的概念 按照一定次序排列的一列数，叫作数列.在数列中的每一个数都叫作这个数列的 项 ，各项依次叫这个数列的第一项(或首项)，第二项，…，第n项，数列的一般形式写成:a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 注意:①同一个数在数列中可以重复出现；②数列中的数按一定次序排列，两个数列数的排列顺序不同不是相同数列；③数列中的项与项数是不同的． 2.数列的分类 (1)按项数分:有穷数列(项数有限)、无穷数列(项数无限)． (2)按项与项的大小分:递增数列(an<an＋1)、递减数列(an>an＋1)、常数列、摆动数列． (3)常数列:数列的所有项都是同一个常数． 【即时训练】 1.下列说法不正确的是(  ) A.数列可以用图象来表示 B.数列的通项公式不唯一 C.数列中的项不能相等 D.数列可以用一群孤立的点表示 【答案】C 【分析】根据数列的概念判断选项即可. 【详解】对于A，由数列定义知，数列是以项数为自变量，项为因变量的特殊函数， 故可以用图象来表示，A正确； 对于B，若数列有通项公式，则该数列的通项公式不一定唯一， 例如:数列的通项公式可以为， 也可以为，B正确； 对于C，数列中的项可以相等，如常数列，C不正确； 对于D，由数列是特殊的函数且知，数列可以用一群孤立的点表示，D正确. 故选:C. 2.下列通项表达式中，能表示数列的是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据数列通项公式的定义分析选项即可. 【详解】选项A、C、D，定义域为全体实数，而数列通项公式的定义域应该是正整数集，故选项A、C、D不能表示数列， 而选项B，的取值范围是正整数集，它明确地给出了数列的第项与项数之间的关系，符合数列通项公式的定义，故选项B能表示数列. 故选:B. 3.观察数列，括号内应该填入(  ) A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】C 【分析】根据数列的前几项，推出数列的通项公式，即可求解. 【详解】观察数列， 可得是由连续的偶数所组成的数列， 故数列的通项为， 所以括号里的项为. 故选:C. 4.若数列{an}的通项公式an=，则此数列为(  ) A.常数数列 B.递减数列 C.递增数列 D.摆动数列 【答案】B 【分析】通过比较与的大小来判断. 【详解】由数列的通项公式，可知，， 所以，所以该数列为递减数列. 故选:B. 5.下列数列既是递增数列又是无穷数列的是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意，结合数列的概念和分类，即可求解. 【详解】因为数列是递减数列，又是无穷数列，故选项A不符合题意； 因为数列是递减数列，又是无穷数列，故选项B不符合题意； 因为数列是递增数列，不是无穷数列，故选项C不符合题意； 因为数列既是递增数列又是无穷数列，故选项D符合题意； 故选:D. 6.已知数列，则“”是“是递增数列”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合递增数列的定义即可得解. 【详解】递增数列的定义是对任意，都有， 因此若是递增数列，必有，必要性成立； 但仅无法保证所有后项均大于前项（如数列），充分性不成立； 所以“”是“是递增数列”的必要而不充分条件， 故选:. 7.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)，，，，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； (6)，，，，，，…. 【答案】(1)无穷数列，递减数列 (2)无穷数列，递增数列 (3)无穷数列，常数列 (4)无穷数列，递减数列 (5)有穷数列，递减数列 (6)无穷数列 【分析】(1)(2)(3)(4)(5)(6)利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列的定义逐个分析判断即可. 【详解】(1)数列有无穷多个项，从第2项起，每一项都小于它前面的一项，故该数列为无穷数列，递减数列； (2)数列有无穷多个项，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，故该数列为无穷数列，递增数列； (3)数列有无穷多个项，项不变，故该数列为无穷数列，常数列； (4)数列有无穷多个项，从第2项起，每一项都小于它前面的一项，故该数列为无穷数列，递减数列； (5)该数列共10项，从第2项起，每一项都小于它前面的一项，故该数列为有穷数列，递减数列； (6)数列有无穷多个项，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，故该数列为无穷数列，摆动数列. 【知识梳理内容】 考点2 数列的公式 1.数列的通项公式 用项数n来表示该 数列相应项 的公式，叫作数列的通项公式.由此可知，数列的通项公式是以 正整数 集的子集为其定义域的函数，可记为an＝f(n)(n∈A，A⊆N*)． 注意:数列的通项公式在形式上不唯一，例如数列1，－1，1，－1，…，其通项公式可以写成an＝(－1)n＋1或an＝(－1)n－1，还可写成an＝cos(n＋1)π. 2.数列的递推公式 用含有数列前面若干项的表达式来表示后面的某一项的公式，称为数列的递推公式，如an＋1＝2an＋1. 已知首项和递推公式，实际上也确定了数列． 3.数列的前n项和公式 (1)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. (2)数列通项公式an与前n项和Sn的关系:. 【即时训练】 8.已知数列的通项公式为，则(  ) A.13 B.12 C.9 D.6 【答案】C 【分析】根据题意，结合数列的通项公式，代入即可求解. 【详解】因为数列的通项公式为， 所以. 故选:C. 9.是数列的(  ) A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 【答案】C 【分析】根据题意令即可得解. 【详解】由，解得， 所以是数列的第17项. 故选:. 10.已知数列中，，那么(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据代入求值即可. 【详解】已知，则， ，所以， 故选:A. 11.已知数列的前n项和为，若，，则(  ) A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】D 【分析】根据即可得解. 【详解】数列的前n项和为，若，， 则， 故选:. 12.数列，其通项公式为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意利用观察法求通项公式即可得解. 【详解】观察发现，各项都是分数，分子都是1，分母是连续自然数的乘积，偶数项前有负号，故通项公式为， 故选:. 13.下列四个数中，是数列中的项的是(  ) A.44 B.48 C.52 D.56 【答案】D 【分析】根据数列的通项及各选项，列方程求解判断即可. 【详解】选项A:令，即，解得， 不是整数，所以不是正整数，44不是数列中的项； 选项B:令，即，解得， 不是整数，所以不是正整数，48不是数列中的项； 选项C:令，即，解得， 不是整数，所以不是正整数，52不是数列中的项； 选项D:令，即， 即，解得或， 因为为正整数，所以，所以56是数列中的项. 故选:D. 14.“斐波那契数列”满足，，则_______. 【答案】8 【分析】将代入中，依次递推即可解答. 【详解】已知， 则，， ，， 故答案为:. 15.如下图所示，用火柴棒摆成正方形图形，则第10个图形需用火柴棒_____________根.    【答案】31 【分析】找出规律即可得解. 【详解】由图可知，第一个图形，根火柴；第二个图形，根火柴； 第三个图形，根火柴；第四个图形，根火柴， 由此规律可知，第10个图形需用火柴棒根， 故答案为:. 16.已知数列满足，若，则___________． 【答案】-1 【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解． ， 则是周期为3的周期数列， 又， . 17.在数列中，，，，则_____. 【答案】/ 【分析】在递推公式中，令，可依次求出的值. 【详解】因为， 所以，. 故答案为: 18.已知数列的通项公式是. (1)求的值； (2)验证是不是数列中的项； (3)当n为何值时，. 【答案】(1). (2)是，过程见详解. (3). 【分析】(1)根据通项公式求出的值即可得解. (2)令即可得解. (3)令即可得解. 【详解】(1)数列的通项公式是， ， ， . (2)令， 解得或(舍)， 故20是该数列中的第10项. (3)， 解得或(舍)， 所以当时，. 19.已知数列的前项和． (1)求的值； (2)数列的前多少项和最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)前5项和最小，最小值为 【分析】(1)根据的关系求解； (2)根据二次函数性质求解. 【详解】(1)由题意，. (2)， 因为，所以当时，取得最小值， 所以数列的前5项和最小，最小值为． 20.已知下面各数列的前n项和的公式，求数列的通项公式. (1)； (2). 【答案】(1). (2). 【分析】根据求出数列首项，再计算当时即可得解. 【详解】(1)， 则， 当时，， 经检验，. (2)， 则， 当时，， 经检验，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $