第7卷：三角函数的概念及运算（教师讲解卷） 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑链，通过真题同源训练构建“定义记准-公式活用-易错规避”的三角函数专项突破体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|4模块核心内容|“3定义+1恒等式+2诱导公式”记忆法，“奇变偶不变”符号判断技巧|从锐角定义到恒等式推导，再到诱导公式拓展，形成概念生成链| |真题精讲|5道近3年真题|同角运算套用恒等式、诱导运算转化锐角、定义域优先判断法|覆盖选择/填空/解答题，对应核心运算与易错点| |举一反三|4道真题变式|特殊角组合求值、周期性化简技巧|强化方法迁移，衔接真题与模拟| |拓展提升|22道综合题|象限角判断、扇形面积公式应用、跨学科模型构建|从基础运算到实际应用，发展推理意识与应用意识|

编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第7卷：三角函数的概念及运算 （教师讲解卷） 【概念回顾】 模块 核心内容（必记必考） 一、核心概念 1. 定义（α为锐角）：sinα=对边/斜边，cosα=邻边/斜边，tanα=对边/邻边 2. 核心恒等式：sin²α + cos²α = 1，tanα = sinα/cosα 3. 特殊角值：30°（sin=1/2，cos=√3/2，tan=√3/3）； 45°（sin=cos=√2/2，tan=1）； 60°（sin=√3/2，cos=1/2，tan=√3） 4. 诱导公式（极简版）：① sin(90°−α)=cosα，cos(90°−α)=sinα； ② sin(180°−α)=sinα，cos(180°−α)=−cosα（原则：奇变偶不变，符号看象限） 二、核心运算（高频考点） 1. 同角运算：套用恒等式求值、化简 2. 诱导运算：代入诱导公式，转化为锐角三角函数计算 3. 特殊角运算：代入数值计算加减乘除 4. 简单求值：已知一个三角函数值，结合恒等式/诱导公式求另外两个 三、易错点（丢分重点） 1. 混淆sin、cos、tan定义（对边、邻边记混） 2. 记错特殊角三角函数值 3. 忽略定义域（cosα≠0，tanα才有意义） 4. 诱导公式符号记错（α按锐角算，符号看象限） 四、复习概要（必背） 记准3个定义+1组恒等式+2组诱导公式，熟记特殊角值，掌握核心运算，避开易错点即可得分 【真题精讲】 1.（2026·江西·真题T07）若 ，则………...............…………（A B） 2.（2026·江西·真题T24）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题.如图所示，弧田是由弧 和弦 所围成的图中阴影部分，已知圆心角的弧度数为2，半径为2，则弧田的周长为____________ 3．（2025·江西·真题T03）.………………（A B） 4．（2024·江西·真题T01）…………………………………（A B） 5．（2024·江西·真题T17）函数的定义域为（ ）. A． B． C． D． 【举一反三】 6.（2024·江西·真题T19）sin75°=________________； 7.（2023·江西·真题T12）tan390°=……………………………………………………………………（ ） A. B. C. D.- 8.（2023·江西·真题T22）若函数，则____________. 9．（25-26高三·江西·模拟预测） 的值为（ ） A． B． C． D． 【拓展提升】 1、 是非选择题 10．...............…………（A B） 11．（25-26高三下·江西·模拟预测）...............…………（A B） 12．（25-26高三·江西·模拟预测） ...............…………（A B） 13．（25-26高三·江西·模拟预测）若，则...............…………（A B） 14．如扇形的圆心角为，半径是，则该扇形的面积是...............…………（A B） 15．（25-26高三下·江西·三模）对任意角都有...............…………（A B） 二、单选题 16．若，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 17．已知，，在范围内，则是第（   ）象限角. A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26高三·江西·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 19．已知 ，且均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 20．已知，，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．（25-26高三下·江西·二模）如图1是第19届亚运会（在我国杭州举办）的会徽“潮涌”，图2是会徽的简化扇形图，若圆心角为，，.则图2中阴影部分的面积等于（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三下·江西·模拟预测）第24届国际数学家大会的会徽如图所示，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.其中直角三角形中较小的锐角为，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 23．（25-26高三上·江西赣州·期末）求值：____________． 24．已知，且，则______． 25．（25-26高二下·江西·期中）已知，且，则__________. 四、解答题 26．已知，是第四象限角，求： (1)的值； (2)的值． 27．已知，，且，. (1)求和的值； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第7卷：三角函数的概念及运算 （教师讲解卷） 【概念回顾】 模块 核心内容（必记必考） 一、核心概念 1. 定义（α为锐角）：sinα=对边/斜边，cosα=邻边/斜边，tanα=对边/邻边 2. 核心恒等式：sin²α + cos²α = 1，tanα = sinα/cosα 3. 特殊角值：30°（sin=1/2，cos=√3/2，tan=√3/3）； 45°（sin=cos=√2/2，tan=1）； 60°（sin=√3/2，cos=1/2，tan=√3） 4. 诱导公式（极简版）：① sin(90°−α)=cosα，cos(90°−α)=sinα； ② sin(180°−α)=sinα，cos(180°−α)=−cosα（原则：奇变偶不变，符号看象限） 二、核心运算（高频考点） 1. 同角运算：套用恒等式求值、化简 2. 诱导运算：代入诱导公式，转化为锐角三角函数计算 3. 特殊角运算：代入数值计算加减乘除 4. 简单求值：已知一个三角函数值，结合恒等式/诱导公式求另外两个 三、易错点（丢分重点） 1. 混淆sin、cos、tan定义（对边、邻边记混） 2. 记错特殊角三角函数值 3. 忽略定义域（cosα≠0，tanα才有意义） 4. 诱导公式符号记错（α按锐角算，符号看象限） 四、复习概要（必背） 记准3个定义+1组恒等式+2组诱导公式，熟记特殊角值，掌握核心运算，避开易错点即可得分 【真题精讲】 1.（2026·江西·真题T07）若 ，则………...............…………（A B） 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】因为 所以. 故答案为：A. 2.（2026·江西·真题T24）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题.如图所示，弧田是由弧 和弦 所围成的图中阴影部分，已知圆心角的弧度数为2，半径为2，则弧田的周长为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式以及余弦定理求解即可. 【详解】由已知得，所求的弧田的周长是弧 和弦 的和， 弧 长为， 由余弦定理得， 因此所求弧田的周长为. 故答案为：. 3．（2025·江西·真题T03）.………………（A B） 【答案】B 【分析】由两角差的余弦公式即可得解. 【详解】. 故答案为：B. 4．（2024·江西·真题T01）…………………………………（A B） 【答案】B 【解析】cos690°=cos(2×360°-30°)=cos30°=.故选B. 5．（2024·江西·真题T17）函数的定义域为（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】2sinx-1≥0，sinx≥，根据正弦函数图像易得2kπ+≤x≤2kx+，(k∈Z).故选A. 【举一反三】 6.（2024·江西·真题T19）sin75°=________________； 【答案】 【解析】sin75°= sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30°==. 7.（2023·江西·真题T12）tan390°=……………………………………………………………………（ ） A. B. C. D.- 【答案】B 【解析】tan390°=tan(360°+30°)=tan30°=.故选B. 8.（2023·江西·真题T22）若函数，则____________. 【答案】 【解析】因为f(x)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x=cos2x， 所以f()=cos(2×)= cos =. 9．（25-26高三·江西·模拟预测） 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 【拓展提升】 1、 是非选择题 10．...............…………（A B） 【答案】B 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】， 故答案为：B. 11．（25-26高三下·江西·模拟预测）...............…………（A B） 【答案】B 【分析】根据二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】． 故答案为：B. 12．（25-26高三·江西·模拟预测） ...............…………（A B） 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故答案为：A. 13．（25-26高三·江西·模拟预测）若，则...............…………（A B） 【答案】A 【分析】根据二倍角的正弦公式及齐次式的计算即可得解. 【详解】. 故答案为：A. 14．如扇形的圆心角为，半径是，则该扇形的面积是...............…………（A B） 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式求值即可. 【详解】已知扇形的圆心角为，半径是， 所以该扇形的面积是， 故答案为：B. 15．（25-26高三下·江西·三模）对任意角都有...............…………（A B） 【答案】B 【分析】根据两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】因为， 又，所以． 故答案为：B. 二、单选题 16．若，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为，且， 所以或. 故选：A. 17．已知，，在范围内，则是第（   ）象限角. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据范围内各象限角的正弦、余弦函数的符号特征，结合已知条件判断所在象限. 【详解】已知且，同时，符合第四象限角的符号特征，因此是第四象限角. 故选：D. 18．（25-26高三·江西·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正弦公式求解. 【详解】， 故选：A. 19．已知 ，且均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角的平方关系得到，再根据诱导公式化简原式，结合两角和的正弦公式即可解得. 【详解】因为 ，且均为锐角， 所以，， 即， . 故选：B. 20．已知，，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先利用诱导公式化简得 且 ，再判断角所在的象限即可. 【详解】因为，， 所以角在第二象限. 故选：B. 21．（25-26高三下·江西·二模）如图1是第19届亚运会（在我国杭州举办）的会徽“潮涌”，图2是会徽的简化扇形图，若圆心角为，，.则图2中阴影部分的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形面积公式求解即可. 【详解】∵圆心角为，， ∴扇形的面积为； 又∵圆心角为，， ∴扇形的面积为； ∴阴影部分的面积为. 故选：D. 22．（25-26高三下·江西·模拟预测）第24届国际数学家大会的会徽如图所示，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.其中直角三角形中较小的锐角为，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的三角函数的定义及同角三角函数的平方关系分析求解即可. 【详解】设大正方形的边长为，所以大正方形的面积为， 因为直角三角形中较小的锐角为， 所以在中，， 在中，， 所以小正方形的边长为， 因为，所以， 即， 所以， 所以小正方形的面积为：， 所以大正方形与小正方形的面积之比为，即. 故选：C. 三、填空题 23．（25-26高三上·江西赣州·期末）求值：____________． 【答案】 【分析】根据诱导公式求值即可. 【详解】 ， 故答案为：. 24．已知，且，则______． 【答案】 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以. 故答案为：. 25．（25-26高二下·江西·期中）已知，且，则__________. 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式、同角三角函数的关系以及二倍角公式求解即可. 【详解】，所以. 已知，则. 因此. 故答案为：. 四、解答题 26．已知，是第四象限角，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系，先求出正弦值，结合两角和差的余弦公式代入即可求解. （2）结合二倍角的正弦公式代入即可求解. 【详解】（1）因为，是第四象限角， 所以， 则 . （2）由（1）可知，， 所以. 27．已知，，且，. (1)求和的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求出，再由二倍角的正弦公式求值即可. （2）根据两角差的余弦公式求值即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 且，所以. （2）∵，∴， 又，故，得， ，， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $