第6卷：指数函数与对数函数（教师讲解卷） 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统梳理核心性质与运算，精选近三年真题实现精准突破，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|核心性质梳理|梳理定点/单调性/必背运算公式|从函数定义到性质，构建基础认知| |真题精讲|3考点4题|按考点分类精讲定义域/综合应用/运算法则|性质→运算→应用的递进逻辑| |举一反三|5题|同类题型变式训练|强化性质应用与图像识别| |拓展提升|20题|综合应用与拔高训练|覆盖选择/填空/解答，贯通知识体系|

编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第6卷：指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 核心性质（高频考点） （一）指数函数y=aˣ（a>0且a≠1） · 定点：必过(0,1)（x=0时，y=1）。 · 单调性：a>1时，在R上单调递增；0<a<1时，在R上单调递减。 · 核心运算：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ；(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ（中职必背）。 （二）对数函数y=logₐx（a&gt;0且a≠1） · 定点：必过(1,0)（x=1时，y=0）。 · 单调性：a>1时，在(0,+∞)上单调递增；0<a<1时，在(0,+∞)上单调递减。 · 核心运算：logₐ(M·N)=logₐM+logₐN；logₐ(M/N)=logₐM−logₐN；logₐMⁿ=nlogₐM（中职必背）。 【真题精讲】 考点01 指数函数与对数函数的概念 1.（2025·江西·真题T20）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质计算. 【详解】∵函数， ∴根据对数函数的性质，得到. 解一元二次不等式，化简得到，即不等式的解为. 故函数的定义域为. 故答案为：. 考点02 指数函数与对数函数的综合应用 2.（2026·江西·真题T27）已知函数在上为奇函数， （1）求 的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质分析求解即可. （2）根据指数函数的单调性分析求解即可. 【小问1详解】 因为函数在上为奇函数， 所以，即， 即有，得， 即，因为，所以解得： . 【小问2详解】 由 得，所以不等式为，化为，解得 ， 所求不等式的解集为. 3.（2025·江西·真题T26）已知函数（，）的图像过点. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数求值即可； （2）根据二次函数和指数函数的单调性求出复合函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像过点， 将其代入得，解得或（舍）. （2）令，则， 对于二次函数，对称轴为，开口向上， 当时，t取最小值：. 当时，， 当时，，所以. 因为函数是增函数， 所以当时，； 当时，， 因此时，函数的值域为. 4.（2024·江西·真题T26）已知函数. （1）求； （2）解不等式. 【答案】(1)19；(2)(log32，+∞). 【解析】(1)f(8)=2×8+log28=16+3=19； (2)因为f(x)=2x+log2x为(0，+∞)上的增函数，由f(3x+2)<f(9x)得3x+2<9x，令3x=t(t>0)， 有t+2<t2，解得t>2或<-1(舍去)，即3x>2，x>log32，故不等式f(3x+2)<f(9x)的解集为(log32，+∞). 考点03 指数函数与对数函数的运算法则 5.（2023·江西·真题T01）……………………………………………………（A B） 【答案】B 【解析】log38-log36=log3=log3 .故选B. 【举一反三】 6（2023·江西·真题T27）已知函数(a>0且a≠1)，且. （1）求a的值； （2）若，求x的取值范围. 【答案】（1）a=2；（2）(-2,1). 【解析】（1）由f(2)=8，得a2+2a=8，解得a=2或a=-4（舍去），∴a=2； （2）由（1）知f(x)=2x+2x，易知f(x)为定义在R上的增函数，所以当f(x2)<f(2-x)时， x2<2-x，解得-2<x<1，所以f(x2)<f(2-x)的解集为(-2,1). 7.（2023·江西·真题T17）已知函数，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当a>1时，函数f(x)=ax-a在R上单调递增，且过定点(0,1-a)，此时1-a<0，图象与y轴交点在y轴下方，B选项符合；当0<a<1时，函数f(x)=ax-a在R上单调递减，且过定点(0,1-a)，此时0<1-a<1，图象与y轴交点在y轴上方且在0到1之间，无选项符合.故选B. 8.（2022·江西·真题T02）已知，，则……………………………………（A B） 【答案】A 【解析】∵a=20.1>20=1，∴a>1，又∵b=log20.1<log21=0，∴b<0，所以a>b.故选A. 9.（2022·江西·真题T16）函数（且）与在同一个坐标系的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在函数y=logax(a>0且a≠1)与y=ax中，当a>1时，函数y=logax过定点(1,0)在(0,+∞)上单调递增， 函数过y=ax原点(0,0)在R上单调递增，倾斜角大于45°，D选项不符，C选项符合. 当0<a<1时，函数y=logax过定点(1,0)在(0,+∞)上单调递减，函数过y=ax原点(0,0)在R上单调递减， 倾斜角小于45°，A、B选项均不符.故选C. 10.（2022·江西·真题T27）已知函数的图像经过点，. （1）求的解析式；（2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）f(x)=log2x+1；（2）(1,3). 【解析】（1）依题意有，解得，所以f(x)=log2x+1； （2）由f(m-1)<f(2)，得log2(m-1)+1<log22+1，即log2(m-1)<log22，所以0<m-1<2，得1<m<3， 所以m的取值范围是(1,3). 【拓展提升】 1、 是非选择题 11．（25-26高三·江西·模拟预测）…………………（A B） 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：A. 12．（24-25高三下·江西·二模）若，则…………………（A B） 【答案】A 【分析】根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】因为. 因为，所以，即. 故答案为：A. 13．（25-26高三·江西·模拟预测）若函数且恒过定点，则实数…………………（A B） 【答案】A 【分析】将定点代入函数，再根据对数运算求解即可. 【详解】因为函数且恒过定点， 所以，即， 因此，解得. 故答案为：A. 14．（25-26高三·江西·模拟预测）若不等式成立，则a的取值范围.………（A B） 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性求解. 【详解】依题意，在上递减， 所以，解得， 故答案为：B. 二、单选题 15．（   ） A．19 B．21 C．22 D．28 【答案】C 【分析】由对数的运算性质直接计算即可． 【详解】 . 故选：C. 16．（22-23高三·江西·模拟预测）函数的定义域是（    ） A．（1,2） B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义域要求根号下大于等于零，然后求解对数不等式. 【详解】,因此，函数的定义域为. 故选：D. 17．（25-26高三·江西·模拟预测）设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以， 故选：D. 18．（25-26高三下·江西·三模）若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数式与对数式的转换，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由得， ，， ， 故选：A 19．（23-24高三下·江西·模拟预测）函数且与在同一平面直角坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的图像，结合一次函数的图像分析即可. 【详解】已知且， 当时，为增函数， ，所以时，该函数为增函数， 当时，该函数为减函数， 当时，，则过点， 因为，所以点在点的上方，故C错误， 当时，为减函数， ，所以时，该函数为增函数， 当时，该函数为减函数， 当时，，则过点， 因为，所以点在点的下方，故AB错误，D符合题意， 故选：D. 20．函数 的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先求出对数型复合函数定义域以及奇偶性，再分类讨论与，结合复合函数、一次函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】令，即，则定义域为，关于原点对称； 因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，排除选项C，D. 当时，，在单调递增，过点； 当时，，在单调递减，过点，排除A. 故选：B. 三、填空题 21．已知，则的值是_____________． 【答案】/0.75 【分析】利用对数的运算性质和换底公式进行求解. 【详解】已知，则，可得， 则. 故答案为：. 22．不等式的解集是________． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】∵， ∴原不等式可等价为， ∵指数函数在R上单调递增， ∴，即， 解得， ∴不等式的解集为. 故答案为：. 23．，若恒成立，则实数______． 【答案】 【分析】根据题意结合指数函数及二次函数的性质求出每段的最小值，结合恒成立即可得解. 【详解】函数， 当时，，为减函数， 所以当时，， 因此在恒成立，则； 当时，，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 结合，则时，函数最小值为， 要让在恒成立，则，解得， 综上所述，， 故答案为：. 四、解答题 24．解不等式 【答案】 【分析】根据指数函数的性质与二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为， 所以， 由指数函数的单调性可得: , , , ， 所以不等式的解集. 故答案为：. 25．已知直线经过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入直线方程求实数的值； （2）利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】（1）因为直线经过点， 将点代入直线方程中， 可得，即， 解得． （2）由（1）知， 则可化为． 因为对数函数在上单调递增， 当时， 有，解得． 综上可知，不等式的解集为． 26．设实数a满足不等式．求： (1)实数a的取值范围； (2)函数的定义域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式可求解； （2）由偶次根式的被开方数为非负数，列出不等式，再根据对数函数的性质转化为不等式组可求解. 【详解】（1）由已知可得：， 所以，即，解得， ∴所求的取值范围为； （2）要使函数有意义，则满足，即. 因为，所以， 解得，所以或， 故不等式的解集为． 27．已知函数（且）的图象过点. (1)求a的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点即可求解； （2）利用对数函数的单调性，由一元一次不等式组的解法即可求解. 【详解】（1）因为函数过点， 所以， 所以. （2）因为函数在上单调递增， 由， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 28．已知函数（，且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出对数函数的解析式； （2）由对数函数的单调性列式求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以，所以. 因为，且， 所以，即. （2）因为在上单调递增，且， 所以所以 所以，所以原不等式的解集是. 29．已知二次函数在是偶函数，且二次函数图像过. (1)求二次函数解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性得到函数对称轴，从而求出，再代值求出即可. （2）根据指数函数单调性得到指数部分的大小关系，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为二次函数在是偶函数， 所以，且函数对称轴为轴， 即，解得， 所以， 又因为二次函数图像过， 所以，解得， 所以二次函数解析式为：. （2）不等式即不等式， 因为指数函数单调递增，所以可得：， 即，即， 整理得：，解得， 故不等式的解集为. 30．若函数为幂函数，且在单调递减． (1)求实数的值； (2)若函数，且， （ⅰ）写出函数的单调性，无需证明； （ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)（ⅰ）在区间单调递增；（ⅱ） 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； （ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得. 【详解】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1． （2）（ⅰ），在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. （ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得： 则，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第6卷：指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 核心性质（高频考点） （一）指数函数y=aˣ（a>0且a≠1） · 定点：必过(0,1)（x=0时，y=1）。 · 单调性：a>1时，在R上单调递增；0<a<1时，在R上单调递减。 · 核心运算：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ；(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ（中职必背）。 （二）对数函数y=logₐx（a&gt;0且a≠1） · 定点：必过(1,0)（x=1时，y=0）。 · 单调性：a>1时，在(0,+∞)上单调递增；0<a<1时，在(0,+∞)上单调递减。 · 核心运算：logₐ(M·N)=logₐM+logₐN；logₐ(M/N)=logₐM−logₐN；logₐMⁿ=nlogₐM（中职必背）。 【真题精讲】 考点01 指数函数与对数函数的概念 1.（2025·江西·真题T20）函数的定义域为 ． 考点02 指数函数与对数函数的综合应用 2.（2026·江西·真题T27）已知函数在上为奇函数， （1）求 的值； （2）解不等式. 3.（2025·江西·真题T26）已知函数（，）的图像过点. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 4.（2024·江西·真题T26）已知函数. （1）求； （2）解不等式. 考点03 指数函数与对数函数的运算法则 5.（2023·江西·真题T01）……………………………………………………（A B） 【举一反三】 6（2023·江西·真题T27）已知函数(a>0且a≠1)，且. （1）求a的值； （2）若，求x的取值范围. 7.（2023·江西·真题T17）已知函数，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8.（2022·江西·真题T02）已知，，则……………………………………（A B） 9.（2022·江西·真题T16）函数（且）与在同一个坐标系的图像可能是（ ） A． B． C． D． 10.（2022·江西·真题T27）已知函数的图像经过点，. （1）求的解析式； （2）当时，求的取值范围. 【拓展提升】 1、 是非选择题 11．（25-26高三·江西·模拟预测）…………………（A B） 12．（24-25高三下·江西·二模）若，则…………………（A B） 13．（25-26高三·江西·模拟预测）若函数且恒过定点，则实数…………………（A B） 14．（25-26高三·江西·模拟预测）若不等式成立，则a的取值范围.………（A B） 二、单选题 15．（   ） A．19 B．21 C．22 D．28 16．（22-23高三·江西·模拟预测）函数的定义域是（    ） A．（1,2） B． C． D． 17．（25-26高三·江西·模拟预测）设，，，则（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高三下·江西·三模）若，则（   ） A．1 B． C． D． 19．（23-24高三下·江西·模拟预测）函数且与在同一平面直角坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 20．函数 的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 21．已知，则的值是_____________． 22．不等式的解集是________． 23．，若恒成立，则实数______． 四、解答题 24．解不等式 25．已知直线经过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 26．设实数a满足不等式．求： (1)实数a的取值范围； (2)函数的定义域． 27．已知函数（且）的图象过点. (1)求a的值； (2)求不等式的解集. 28．已知函数（，且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 29．已知二次函数在是偶函数，且二次函数图像过. (1)求二次函数解析式； (2)求不等式的解集. 30．若函数为幂函数，且在单调递减． (1)求实数的值； (2)若函数，且， （ⅰ）写出函数的单调性，无需证明； （ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $