第5卷：分段函数与函数应用（教师讲解卷） 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑，系统构建分段函数与函数应用的解题方法体系，强化概念理解与实际应用的衔接，培养数学思维的逻辑性与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分段函数|概念回顾（4要素+3题型）、真题2道、举一反三3道|求函数值“判区间→代解析式→算结果”；定义域/值域“分段求并集”；画图象“区间分段+端点虚实”|从定义（单函数本质）到核心要素（定义域/解析式/值域），结合易错点（区间混淆）形成完整认知链| |函数应用|概念回顾（3题型）、真题2道、拓展提升4道|实际问题转化为一次/二次/分段函数模型，关键“找准变量+贴合实际定义域”|以“实际问题→数学建模→性质应用”为主线，聚焦阶梯计费、利润最值等场景，提升数学语言表达实际问题的能力|

编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第5卷：分段函数与函数应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 模块 具体内容 一、分段函数（核心） 定义：定义域不同区间有不同解析式，本质是一个函数（非多个）。 核心要素（必记）：1. 定义域：各分段区间并集，端点不重复、不遗漏； 2. 解析式：区间与解析式一一对应； 3. 值域：各分段值域的并集。 高频题型：1. 求函数值：判区间→代解析式→算结果； 2. 求定义域/值域：定义域合并区间，值域分段求再合并； 3. 画图象：按区间画，注意端点实心/空心。 易错点：1. 误将分段函数当作多个函数； 2. 代错区间解析式，混淆端点虚实。 二、函数应用（重点） 核心思路：实际问题→数学函数（一次/二次/分段）→用函数性质求解。 高频题型（必掌握）：1. 一次函数：行程、计费、产量成本（y=kx+b）；2. 二次函数：利润、最值、面积（y=ax²+bx+c），求最值看定义域； 3. 分段函数：阶梯计费、分段计价，按标准列解析式求解。 解题关键+易错点：关键：找准自变量/因变量，系数贴合实际，优先考虑定义域；易错：忽略自变量实际范围，二次函数最值未结合定义域。 三、复习总结（必背） 1. 分段函数：找准区间、对应解析式，定义域/值域合并； 2. 函数应用：转化为函数，牢记定义域符合实际意义。 【真题精讲】 考点01 分段函数的概念与性质 1.（2025·江西·真题T14）已知函数，则（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由分段函数的解析式及对数的运算代入求值即可. 【详解】因为函数， 所以，. 故选：C. 2.（2023·江西·真题T16）函数的值域为（ ）. A.(0,+∞) B．[1,+∞) C．[0,+∞) D．(1,+∞) 【答案】A 【解析】分段函数值域为各段值域的并集. 当x<0时，f(x)=-，值域为(0,+∞)；当x≥0时，f(x)=2x，值域为[1,+∞)， 综上，函数f(x)的值域为(0,+∞).故选A. 考点02 函数的综合应用 3.（2026·江西·真题T30）为鼓励居民节约用电，某地实行阶梯电价.用户每月用电量 （单位：千瓦时）与所付电费 （单位：元）的关系如下： 当每月用电量不超过 千瓦时时，按每千瓦时元收费； 当每月用电量超过 千瓦时时，超过部分按每千瓦时元收费 （1）求电费 关于用电量 的函数解析式，并求用户用电量达到千瓦时的费用； （2）若用电量大于千瓦时的人数占总人数的，求：①频率分布直方图中的；②平均值. 【答案】（1），用电量达到千瓦时的费用 （2）①，；②平均值千瓦时 【解析】 【分析】（1）根据题意，电费按阶梯计费，写出分段函数解析式，将  代入超过部分的表达式即可求得费用. （2）由题意，用电量大于 400 千瓦时的频率为 0.2，对应区间和 的频率之和，组距为100，故，解得.所有区间频率之和为 1，可解.最后用各区间中点值乘以对应频率求和，得到平均用电量千瓦时. 【小问1详解】 由题意可得： 化简得： 当时，代入的解析式： 所以，用电量达到千瓦时，费用为元. 【小问2详解】 已知用电量大于 400 千瓦时的人数占比为 ，即频率为 0.2， 用电量大于 400 的区间为和，组距为100， 所以，解得. 因为所有区间频率和为1， 所以， 可得 解得. 平均值为 千瓦时. 4.（2025·江西·真题T17）有一块手表每小时比准确时间慢3分钟，在早晨与准确时间对准，若当天上午手表指示的时间为，则准确时间应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合手表与准确时间的速度关系，结合手表走过的时间，即可列式求解. 【详解】由题意，手表从早晨到当天上午，手表走过的时间为3小时10分钟，即190分钟， 因为手表每小时比准确时间慢3分钟，即手表走57分钟，准确时间走60分钟， 设准确时间走了x分钟，则， 解得， 即准确时间走了200分钟，即3小时20分钟， 故准确时间应该是. 故选：C. 【举一反三】 5.（2022·江西·真题T17）若函数，则函数的值域为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分段函数值域为各段值域的并集. 当x≤0时，f(x)=ex，值域为(0,1]；当0<x<1时，f(x)=，值域为(,1)， 综上，函数f(x)的值域为(0,1].故选B. 6．（23-24高三下·江西·二模）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)是否存在实数，使得当时，函数的值域为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3. (2)存在，. 【分析】（1）根据分段函数的单调性，即可求解. （2）根据第（1）问的最大值并结合分段函数的最值，即可求解. 【详解】（1）函数. 因为在上为增函数，则在内递增； 因为在上为增函数，则在上为减函数，则在内递减， 的最大值为． （2）假设存在满足条件的实数， 取得最大值3， 由（1）可知，即，解得①， 根据题意，最小值1可能是或， 若，即，则，符合①， 此时，符合题意； 若，即，，则，与①矛盾， 综上可知存在符合题设要求． 7．若函数 则的值域为（    ） ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性、余弦函数的值域即可求解. 【详解】当时，在上单调递减， 所以； 当时，利用余弦函数的值域得， 综上所述，的值域为. 故选：B 【拓展提升】 1、 是非选择题 8．函数 的图像与x 轴有两个交点………（A B） 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，令，求出x的值即可判断. 【详解】由题意，令， 则，或，， 解得， 所以函数的图像与x 轴有一个交点. 故答案为：B. 9．（25-26高三·江西·模拟预测）已知函数，则的值为3………（A B） 【答案】A 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：A. 二、单选题 10．已知函数下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将自变量的值代入到分段函数对应的解析式中，即可求解. 【详解】因为函数， 可得，，. 故选：C 11．设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】运用分段函数知识，分别计算和的值即可求得结果. 【详解】根据题意，函数， 则， ， 则. 故选：B 12．（25-26高三下·江西·模拟预测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数各段函数的性质及定义域求出其值域即可. 【详解】当时，， 因为是指数函数，在定义域内为增函数， 当时，，故，即， 当时，为二次函数，开口向上，对称轴为， 最小值为，故， 综述，的值域为. 故选：D. 13．已知函数，若，则（         ） A．23 B．9 C．3 D．1 【答案】B 【分析】由分段函数解析式列出方程即可得解. 【详解】函数， 所以,, ， 解得， 故选：. 14．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两段函数的值域，取并集得到答案. 【详解】根据分段函数的定义域： 当时函数，根据图像可得，时函数的值域, 当时，函数，当时，函数的值域为， 综上可得函数的值域为. 故选:D. 15．设，若仅有二个解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数图像，根据值观察交点个数即可解得. 【详解】由题意，作出图像如下： 由图，当时，函数图像由上下平移得到， 当时，函数图像由轴左侧的部分右移一个单位得到， 当时，与恰有两个交点，若向上平移则会出现第三个交点， 向下平移直至又变为一个交点， 故仅有两个解的取值范围是， 故选：C 16．已知函数，若函数的值域是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数在单调性，然后分别计算在处的值，进一步计算出函数的最小值，依据题意比较大小计算可得结果. 【详解】由题可知：函数在递增，在递减，且 当时，有；当时，有；当时，有 函数在递减，在递增， 所以函数的最小值为， 由函数，若函数的值域是 所以 故选：A 三、填空题 17．（22-23高三·江西九江·模拟预测）已知函数，则__________. 【答案】2 【分析】由内向外，根据分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】∵函数，，∴， ∵，∴， 故答案为：2. 18．已知函数，若，则__________. 【答案】-3 【分析】分和两种情况讨论，根据函数值的结果求出即可. 【详解】当时， 则有解得，其中与矛盾， 所以. 当时， 则有解得与矛盾， 所以舍去. 故答案为：. 19．（22-23高三·江西·模拟预测）若则______． 【答案】 【分析】将自变量的值依次代入分段函数解析式即可解得. 【详解】由题，， 则， ， 故答案为：. 20．（22-23高三·江西·模拟预测）某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元． 【答案】 【分析】根据已知关系式求二次函数最大值即可解得. 【详解】由题，， 即当时，取最大值， 故答案为： 四、解答题 21．已知分段函数 (1)求的定义域； (2)求和； (3)画出的图像； (4)直接写出的值域． 【答案】(1) (2) (3)图像见解析 (4) 【分析】（1）根据分段函数各式的定义域，即可求分段函数定义域； （2）直接代入自变量到对应的函数，即可求解； （3）根据分段函数的性质，分别画出不同定义域内的函数的图像； （4）根据图像，找到函数最值，即可求得. 【详解】（1）由分段函数可知， 的定义域为． （2）当时，， 所以； 当时，， 所以. （3）如图所示， （4）由（3）中的图像可知， 的值域为. 22．已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域． 【答案】(1) (2)定义域：；值域： 【分析】（1）将代入对应的解析式求出结果，再将其结果代入对应的解析式求解即可； （2）根据分段函数定义域和值域的求法求解即可. 【详解】（1）函数， 当时，， 当时，， 所以. （2）由分段函数的解析式可知， 其定义域为全体实数，即； 当时，因为，，所以此时， 当时，因为，，所以此时， 因此分段函数的值域为. 23．某职校毕业生小李一次性支出万元购厂创业，同年另需投入经费万元，以后每年比上一年多投入万元，假设每年的销售收入都是万元，现用表示前年的总利润.（前年的总收入-前年的总支出-购厂支出）. (1)问小李最短需要多长时间才能收回成本； (2)若干年后，为了转型升级，小李进行二次创业.现有如下两种处理方案：方案一，年平均利润最大时，以万元出售该厂；方案二，纯利润总和最大时，以万元出售该厂，请问哪个方案更好. 【答案】(1)小李最短需要2年时间才能收回成本； (2)方案一更好 【分析】（1）由前年的总收入-前年的总支出-购厂支出即可得结果； （2）由（1）可得两种方案的相关函数式，经二次函数的最值可得结果. 【详解】（1）由题意得： ， 收回成本即可获得纯利润要求， 所以，小李最短需要年时间才能收回成本； （2）方案一：年平均利润， 当且仅当即时，年平均利润最大为万元， 总利润为万元； 方案二：， 当时，纯利润总和最大万元，此时总利润为万元； 因为，且方案一需用时间年，二方案二需用时间年， 故综合考虑方案一更好. 24．一企业生产某产品，每件产品的利润（元）与时间（天）之间的函数关系式为．该产品的产量（件）与时间（天）之间满足一次函数关系，当时，；当时，，且． （总利润每件产品的利润产量） (1)求产量关于时间的函数关系式； (2)若时，求该产品的总利润为多少； (3)当为何值时，该产品的总利润最大？最大利润为多少元． 【答案】(1)， (2)元 (3)当时，最大利润为1800元 【分析】（1）根据题意，先设出一次函数关系式，代入即可求解； （2）根据题意，先求得时每件产品的利润和产量，结合“总利润每件产品的利润产量”即可求解； （3）根据题意，先表示出总利润的函数解析式，结合分段函数求最值，利用二次函数配方法即可求得每段区间上得最值，比较即可求解． 【详解】（1）由题意，设， 则，解得， 所以，； （2）因为每件产品的利润（元）与时间（天）之间的函数关系式为， 所以当时，每件产品的利润为元， 此时该产品的产量为件, 该产品的总利润元， 即当时，该产品的总利润为1575元； （3）由题意得， ， 当且时，， 所以当时，； 当且时，， 所以当时，． 综上所述，当时，． 即当第天时，该产品的总利润最大，最大利润为1800元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第5卷：分段函数与函数应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 模块 具体内容 一、分段函数（核心） 定义：定义域不同区间有不同解析式，本质是一个函数（非多个）。 核心要素（必记）：1. 定义域：各分段区间并集，端点不重复、不遗漏； 2. 解析式：区间与解析式一一对应； 3. 值域：各分段值域的并集。 高频题型：1. 求函数值：判区间→代解析式→算结果； 2. 求定义域/值域：定义域合并区间，值域分段求再合并； 3. 画图象：按区间画，注意端点实心/空心。 易错点：1. 误将分段函数当作多个函数； 2. 代错区间解析式，混淆端点虚实。 二、函数应用（重点） 核心思路：实际问题→数学函数（一次/二次/分段）→用函数性质求解。 高频题型（必掌握）：1. 一次函数：行程、计费、产量成本（y=kx+b）；2. 二次函数：利润、最值、面积（y=ax²+bx+c），求最值看定义域； 3. 分段函数：阶梯计费、分段计价，按标准列解析式求解。 解题关键+易错点：关键：找准自变量/因变量，系数贴合实际，优先考虑定义域；易错：忽略自变量实际范围，二次函数最值未结合定义域。 三、复习总结（必背） 1. 分段函数：找准区间、对应解析式，定义域/值域合并； 2. 函数应用：转化为函数，牢记定义域符合实际意义。 【真题精讲】 考点01 分段函数的概念与性质 1.（2025·江西·真题T14）已知函数，则（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 2.（2023·江西·真题T16）函数的值域为（ ）. A.(0,+∞) B．[1,+∞) C．[0,+∞) D．(1,+∞) 考点02 函数的综合应用 3.（2026·江西·真题T30）为鼓励居民节约用电，某地实行阶梯电价.用户每月用电量 （单位：千瓦时）与所付电费 （单位：元）的关系如下： 当每月用电量不超过 千瓦时时，按每千瓦时元收费； 当每月用电量超过 千瓦时时，超过部分按每千瓦时元收费 （1）求电费 关于用电量 的函数解析式，并求用户用电量达到千瓦时的费用； （2）若用电量大于千瓦时的人数占总人数的，求：①频率分布直方图中的；②平均值. 4.（2025·江西·真题T17）有一块手表每小时比准确时间慢3分钟，在早晨与准确时间对准，若当天上午手表指示的时间为，则准确时间应该是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 5.（2022·江西·真题T17）若函数，则函数的值域为（ ）. A． B． C． D． 6．（23-24高三下·江西·二模）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)是否存在实数，使得当时，函数的值域为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 7．若函数 则的值域为（    ） ． A． B． C． D． 【拓展提升】 1、 是非选择题 8．函数 的图像与x 轴有两个交点………（A B） 9．（25-26高三·江西·模拟预测）已知函数，则的值为3………（A B） 二、单选题 10．已知函数下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（25-26高三下·江西·模拟预测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，若，则（         ） A．23 B．9 C．3 D．1 14．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 15．设，若仅有二个解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，若函数的值域是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（22-23高三·江西九江·模拟预测）已知函数，则__________. 18．已知函数，若，则__________. 19．（22-23高三·江西·模拟预测）若则______． 20．（22-23高三·江西·模拟预测）某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元． 四、解答题 21．已知分段函数 (1)求的定义域； (2)求和； (3)画出的图像； (4)直接写出的值域． 22．已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域． 23．某职校毕业生小李一次性支出万元购厂创业，同年另需投入经费万元，以后每年比上一年多投入万元，假设每年的销售收入都是万元，现用表示前年的总利润.（前年的总收入-前年的总支出-购厂支出）. (1)问小李最短需要多长时间才能收回成本； (2)若干年后，为了转型升级，小李进行二次创业.现有如下两种处理方案：方案一，年平均利润最大时，以万元出售该厂；方案二，纯利润总和最大时，以万元出售该厂，请问哪个方案更好. 24．一企业生产某产品，每件产品的利润（元）与时间（天）之间的函数关系式为．该产品的产量（件）与时间（天）之间满足一次函数关系，当时，；当时，，且． （总利润每件产品的利润产量） (1)求产量关于时间的函数关系式； (2)若时，求该产品的总利润为多少； (3)当为何值时，该产品的总利润最大？最大利润为多少元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $