第五章 复数（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 复数 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知m为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列命题中正确的是（    ） A．复数的模一定是正数 B．互为共轭复数的两个复数的模相等 C．若，则​ D．虚数可以比较大小 3．已知（为虚数单位），则实数的值为（    ） A． B． C． D．. 4．下列命题中正确的是（   ） A．是纯虚数 B．实数集和纯虚数集的交集是0 C．虚轴上所有的点表示的数都是纯虚数 D．虚数集中的元素与复平面内实轴以外的所有点组成的集合中的元素一一对应 5．已知复数满足，则（ ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值2 D．有最大值2 6．在复平面内，复数（其中表示点，若点在直线上，则复数等于（    ） A． B． C． D． 7．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（ ） A． B． C． D． 8．若复数满足，则复数的轨迹是（    ） A．线段 B．双曲线一支 C．双曲线 D．椭圆 9．一个复数与其共轭复数的积是（   ） A．虚数 B．纯虚数 C．非负实数 D．负实数 10．已知复数满足，则（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．计算：________． 12．若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是________． 13．虚数z满足，则虚数z在复平面内对应的点位于第________象限. 14．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则__________. 15．设复数满足条件，那么的最大值是__________. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知，是方程的两个根，求的值. 17．已知是实系数一元二次方程的一个根，求它的另一个根和实数的值. 18．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 19．已知，是虚数单位. (1)求； (2)求； (3)设复数在复平面内所对应的点分别为、、，为坐标原点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求复数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 复数 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知m为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义求出，利用充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】复数为纯虚数， 则，解得， 当时，复数为纯虚数，故充分性成立； 当复数为纯虚数时，，故必要性不成立， 所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件， 故选：. 2．下列命题中正确的是（    ） A．复数的模一定是正数 B．互为共轭复数的两个复数的模相等 C．若，则​ D．虚数可以比较大小 【答案】B 【分析】根据复数的基本性质结合选项求解即可. 【详解】选项 A：复数0的模为 0，非正数，错误； 选项 B：共轭复数模相等，，正确； 选项 C：不能推出，如，错误； 选项 D：虚数不能比较大小，错误. 故选：B. 3．已知（为虚数单位），则实数的值为（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】由复数相等列出关于的方程组，解出的值即可. 【详解】已知（为虚数单位）， 可得，解得， 所以实数的值为. 故选：D. 4．下列命题中正确的是（   ） A．是纯虚数 B．实数集和纯虚数集的交集是0 C．虚轴上所有的点表示的数都是纯虚数 D．虚数集中的元素与复平面内实轴以外的所有点组成的集合中的元素一一对应 【答案】D 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】选项A，是实数，不是纯虚数，错误， 选项B，实数集和纯虚数集的交集是空集，错误， 选项C，实数零对应的点也在虚轴上，错误， 选项D，虚数集中的元素与复平面内实轴以外的所有点组成的集合中的元素一一对应，正确. 故选：D. 5．已知复数满足，则（ ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值2 D．有最大值2 【答案】A 【详解】设，则， 由，得，解得， 则，当且仅当时等号成立， 所以有最小值1，无最大值. 6．在复平面内，复数（其中表示点，若点在直线上，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出点坐标，代入直线中求出的值，结合共轭复数的定义即可得解. 【详解】复数（其中表示点，则， 点在直线上，则， 解得（舍）或， 所以复数， 所以复数， 故选：. 7．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法、减法运算和复数的加减运算即可求解. ， 故选：B 8．若复数满足，则复数的轨迹是（    ） A．线段 B．双曲线一支 C．双曲线 D．椭圆 【答案】B 【分析】先假设复数，再根据可得，再根据双曲线的定义即可做出选择. 【详解】设复数， ， ， ， 即点到的距离减点到的距离为， 复数的轨迹为以为焦点的双曲线的左半只， 故选：B. 9．一个复数与其共轭复数的积是（   ） A．虚数 B．纯虚数 C．非负实数 D．负实数 【答案】C 【分析】根据复数的基本运算和共轭复数的性质，即可选出正确答案. 【详解】设复数， 其共轭复数为， 它们的积为：， 因为， 所以， 结果是一个非负实数. 故选：C 10．已知复数满足，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算以及复数的模公式求解即可. 【详解】因为，所以. 因此. 故选：B. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．计算：________． 【答案】 【分析】根据复数的乘法和加减法运算法则运算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 12．若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据复数在复平面上对应的点位于第二象限，列不等式求解即可. 【详解】复数对应点坐标为， 因为点在第二象限， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 13．虚数z满足，则虚数z在复平面内对应的点位于第________象限. 【答案】一、四 【分析】先解实系数方程，再根据复数z的解判断对应点的象限即可. 【详解】因为虚数z满足， 解得（舍去）或， 其对应点分别为，位于第一象限和第四象限. 故答案为：一、四. 14．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则__________. 【答案】 【分析】先由复数对应的点位于第四象限，可得m的符号，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】∵复数对应的点为， 且该点位于第四象限， ∴，即， ∵， 则有，即， 解得（负值舍掉）， 故. 故答案为：. 15．设复数满足条件，那么的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据转化为复平面上的单位圆，再将转化为单位圆上的点到定点的距离即可得解. 【详解】设复数，则， 则复数对应的点是以原点为圆心，半径为的圆， ，表示复数对应的点到定点的距离， 则最大距离为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知，是方程的两个根，求的值. 【答案】 【分析】先判断判别式，再根据求根公式求解该方程的两个根，结合复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 则， 于是，， 所以， 所以. 17．已知是实系数一元二次方程的一个根，求它的另一个根和实数的值. 【答案】另一个根为，，. 【分析】根据实数系一元二次方程的虚根成对且互为共轭复数，求出另一个根，结合韦达定理即可得解. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 则另一个根为， 由韦达定理可知，， 即，， 综上所述，另一个根为，，. 18．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案； （4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案. （1）复数的实部为，虚部为， 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 19．已知，是虚数单位. (1)求； (2)求； (3)设复数在复平面内所对应的点分别为、、，为坐标原点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求复数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据共轭复数的概念即可求解. （2）根据复数乘法的运算法则即可求解. （3）根据复数的几何意义求出对应点的坐标，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为， 所以. （3）在复平面内，， 若为平行四边形，所以， 即，所以； 若为平行四边形，所以， 即，所以； 若为平行四边形，所以， 即，所以； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $