第二章 平面向量（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块上册》第二章平面向量A卷（基础巩固），60分钟/100分，紧扣教材核心考点，通过基础训练与情境应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|单位向量、平行向量、向量运算等基础概念|如第1题辨析向量基本性质，强化抽象能力（数学眼光）| |填空题|5/20|向量共线、模与夹角、实际应用|第13题以无人机退耕还林为情境，体现数学语言表达现实世界| |解答题|4/40|向量表示、数量积计算|第16题结合图形用向量表示线段关系，培养几何直观与推理能力（数学思维）|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．平行向量的模一定相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意非零向量共线 2．（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在平行四边形中，已知，，则（    ）    A． B． C． D． 4．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，在中，，若，，则等于（     ）    A． B． C． D． 6．若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（   ）. A．2 B． C． D．4 7．已知向量，，，且，则实数（   ）. A． B． C．1 D．6 8．已知向量，向量，则（　　） A． B． C． D．10 9．给出下列命题①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件；③若则；④的充要条件是且；⑤若，则，其中正确命题的序号是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤ 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．若在四边形中，且，则四边形是__________. 12．已知与是不共线的向量，，若与是共线向量，则________. 13．为落实“绿水青山就是金山银山”的理念，某地区积极开展退耕还林工作．尚志职校无人机操控与维护专业学生利用无人机实拍实习的机会，拍摄制作反映当地该项工作的纪录片．该同学操控无人机从地出发，先向东飞行3km到达地，再向北飞行3km到达地，则无人机位移的（1）大小是____________；（2）方向为____________． 14．已知向量，满足，，且，的夹角为，则__________. 15．已知，，点满足，则点的坐标是____________． 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． 17.已知，，，求. 18.已知向量，，且，求的值. 19．已知，． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．平行向量的模一定相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意非零向量共线 【答案】D 【分析】根据向量的概念求解即可. 【详解】对于选项A：单位向量模为1，但是方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，故选项A错误. 对于选项B：平行向量只是表示向量方向相同或相反，模不一定相等，故选项B错误. 对于选项C：平行向量一定是共线向量，故选项C错误. 对于选项D：规定模为0的向量方向是任意的，因此与任意非零向量共线，故选项D正确. 故选：D. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的法则进行化简运算. 【详解】 ， 故选：D. 3．如图所示，在平行四边形中，已知，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】由题意，，， 故. 故选：B. 4．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知，， 则，解得， 所以， 故选：A. 5．如图所示，在中，，若，，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的加减法运算即可得解. 【详解】因为在中，， 所以，又，， 即. 故选：A. 6．若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（   ）. A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用投影向量的公式即可求解. 【详解】， 在的方向上的投影向量为：， 所以在的方向上的投影向量的模长为， 故选：C. 7．已知向量，，，且，则实数（   ）. A． B． C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据向量垂直关系的坐标表示，可得结果. 【详解】∵，， ∴，∵，， ∴，解得， 故选：C. 8．已知向量，向量，则（　　） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量内积的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，向量， 所以， 所以. 故选：D. 9．给出下列命题①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件；③若则；④的充要条件是且；⑤若，则，其中正确命题的序号是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤ 【答案】A 【分析】根据相等向量，平行向量等的概念逐项分析即可. 【详解】①向量相等需要模相等且方向相同， 仅不能得出，故①错误， ②若是不共线的四点， 说明与平行且相等， 所以是平行四边形，充分性成立， 反之若是平行四边形， 则与一定平行且相等，必要性成立，故②正确， ③若则，故③正确， ④当且时，与可能方向相反， 此时不能得到，故④错误， ⑤当，不能得到，故⑤错误， 所以正确的为②③， 故选：A. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．若在四边形中，且，则四边形是__________. 【答案】菱形 【分析】由相等向量以及向量的模的概念，判断即可. 【详解】∵在四边形中，， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又，则四边形是菱形. 故答案为：菱形. 12．已知与是不共线的向量，，若与是共线向量，则________. 【答案】2 【分析】根据向量共线定理求解. 【详解】若与是共线向量，则， 则，即， 又与是不共线的向量， 所以且，解得. 故答案为：2. 13．为落实“绿水青山就是金山银山”的理念，某地区积极开展退耕还林工作．尚志职校无人机操控与维护专业学生利用无人机实拍实习的机会，拍摄制作反映当地该项工作的纪录片．该同学操控无人机从地出发，先向东飞行3km到达地，再向北飞行3km到达地，则无人机位移的（1）大小是____________；（2）方向为____________． 【答案】 东北方向 【分析】根据向量的几何运算及向量的模求解即可. 【详解】无人机从地出发，先向东飞行3km到达地，再向北飞行3km到达地，则无人机飞行的位移的大小为. 因为，所以，故无人机的位移的方向为东北方向. 故答案为：;东北方向. 14．已知向量，满足，，且，的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量的内积公式及运算法则即可得解. 【详解】向量，满足，，且，的夹角为， ， 所以， 故答案为：. 15．已知，，点满足，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，再由向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】设点的坐标为， 则， ， 由得，解得， 所以点的坐标为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． 【答案】(1)， (2)向量与向量方向相同，且的长度为长度的 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求解， （2）根据，即可根据数乘运算的性质求解. （1）∵四边形是平行四边形， ． 为的中点，， ． 为上靠近B的三等分点，， ． （2）由（1）知， 向量与向量方向相同，且的长度为长度的． 17．已知，，，求. 【答案】15 【分析】根据题意，结合向量内积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为，，， 所以. 18．已知向量，，且，求的值. 【答案】 【分析】根据向量垂直的条件列方程求出，再由内积的运算律运算即可. 【详解】向量，则， 由可得，， 进而得，解得， . 19．已知，． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求． 【答案】(1)2或-2 (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量内积的定义求值即可. （2）根据平面向量内积的运算律计算即可. （3）由平面向量垂直的性质列方程求解即可. 【详解】（1）若，则与的夹角为0或， 当与的夹角为0时， 当与的夹角为时， （2）若，的夹角为， 则 ，所以. （3）若，则， 即， 所以， 即，解得， 又，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $