第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣中职数学立体几何单元，B卷能力提升型，通过选择、填空、解答题梯度设计，整合平面性质、空间线面关系等核心考点，强化空间观念与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|平面基本性质（第1题）、空间直线位置关系（第4题）|以基础概念辨析为主，培养抽象能力| |填空题|5/20|异面直线所成角（第12题）、二面角（第14题）|结合空间四边形模型，发展几何直观| |解答题|4/40|线面角（第16题）、体积计算（第17题）|综合正方体、直三棱柱情境，提升推理与应用能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列说法正确的是（     ） A．平面的面积是 B．三个点可以确定一平面 C．空间两个平面有可能只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ） A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定 3．用符号语言表示“直线在平面内”应写为（　　） A． B． C． D． 4．已知直线，下列三个命题： ①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ②若和c相交，则b和c也相交； ③若，则． 其中，正确命题的个数是（　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，在正方体中，以下直线与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 6．已知直线平面，直线平面，则直线与直线的关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．无法确定 7．正方体，直线与平面所成的角的大小是（ ） A． B． C． D． 8．在中 ，，平面，，则点P到的距离是（    ） A． B． C． D． 9．已知和是两个不同平面，，和没有公共点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．在空间中，若点平面，直线，则点P与直线l确定的平面与平面的位置关系是____________________（填“平行”或“相交”）. 12．在空间四边形中，若，且异面直线与所成的角为，分别为的中点，则异面直线与所成的角为 __________. 13．在正方体中，，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线有________条. 14．若P是所在平面外一点，而与都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为______. 15．等边三角形的边长为是边上的高，若沿把折成直二面角，则点到边的距离为________. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．如图所示，P为正方形所在平面外一点，正方形边长为1，平面，若，求与平面所成的角. 17．如图，正方体的棱长为2，求： (1)二面角的大小． (2)求三棱锥的体积. 18．如图，直三棱柱的所有棱长都为3，D为中点．    (1)求异面直线与所成的角； (2)求与平面所成角的正弦值． 19．所在平面外有一点，垂直于于E，且，求 (1)点到平面的距离； (2)和平面所成的角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列说法正确的是（     ） A．平面的面积是 B．三个点可以确定一平面 C．空间两个平面有可能只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合平面的概念和基本性质，即可判断求解. 【详解】因为平面是没有大小的，故选项A说法错误； 不共线的三点确定一个平面，故选项B说法错误； 若空间两个平面相交，则交于一条直线，不可能只有一个公共点，故选项C说法错误； 过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面，故选项D正确； 故选：D. 2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ） A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平面的性质即可求解 【详解】因为两点确定一条直线，不共线的三点可以确定一个平面，四点共面可以确定一个平面， 但像三棱锥那种不共面的四个顶点，可以确定四个平面. 故选：C. 3．用符号语言表示“直线在平面内”应写为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系求解即可. 【详解】符号语言表示“直线在平面内”应写为. 故选：A. 4．已知直线，下列三个命题： ①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ②若和c相交，则b和c也相交； ③若，则． 其中，正确命题的个数是（　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间中的线线关系，即可判断求解. 【详解】若a与b异面，b与c异面，则a与c可能异面、平行或相交，故①错误； 若和c相交，则b和c可能相交或异面，故②错误； 若，则与c相交或异面都有可能，故③错误； 故正确的命题是0个． 故选：A. 5．如图，在正方体中，以下直线与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由异面直线的概念判断即可. 【详解】如图可知，为正方体的体对角线， 这四条直线相交于正方体的中心，所以直线与为相交直线，故A，B，C选项错误， 又因为直线与直线既不相交也不平行， 所以直线与直线为异面直线，故D选项正确. 故选：D. 6．已知直线平面，直线平面，则直线与直线的关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】依据线面垂直的性质即可得出结论. 【详解】已知直线平面，直线平面， 依据线面垂直的性质，可知， 故选：B. 7．正方体，直线与平面所成的角的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴ ， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 8．在中 ，，平面，，则点P到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形三线合一性质与线面垂直的判定定理，确定点到的垂线段为，再通过两次勾股定理计算的长度 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点， 由等腰三角形三线合一性质可得， 因为平面，平面， 由线面垂直的性质可得，又， 平面，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面， 因为平面，故， 即线段的长度为点到的距离, 在中，，，， 且，所以， 故选：D. 9．已知和是两个不同平面，，和没有公共点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据面面平行的定义判断即可得解. 【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行， 因此是的充要条件. 故选：C. 10．圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用线面垂直的性质找到二面角的平面角即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 平面底面，平面，底面， 所以为平面EAC与底面ABC所成的二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又， 则， 因为为锐角，所以， 即平面EAC与底面ABC所成的二面角为， 故选：. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．在空间中，若点平面，直线，则点P与直线l确定的平面与平面的位置关系是____________________（填“平行”或“相交”）. 【答案】相交 【分析】根据平面的基本性质即可得出正确答案. 【详解】点P与直线l确定一个平面，设为， 因为且 ， 所以直线 l 是平面与的公共直线， 又因为点平面，且， 说明平面上存在一个点不在平面上，同时两个平面有公共直线， 根据平面相交的定义：两个平面有公共直线时，它们相交. 故答案为：相交 12．在空间四边形中，若，且异面直线与所成的角为，分别为的中点，则异面直线与所成的角为 __________. 【答案】或 【分析】通过取中点构造三角形，利用三角形中位线定理找出异面直线所成角求解. 【详解】取的中点，连接、. 因为为中点，为中点，所以，且， 同理，因为为中点，为中点，所以，且， 由于，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角. 已知，则， 又因为异面直线与所成的角为，且，，所以或. 当时，因为，所以是等边三角形，那么， 当时，因为，根据等腰三角形的性质，. 故异面直线与所成的角为或. 故答案为：或. 13．在正方体中，，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线有________条. 【答案】无数 【分析】先画出正方体，然后根据题意试画与三条直线，，都相交的直线，从而发现结论. 【详解】在上任意取一点M，直线与M确定一个平面， 这个平面与有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面， 从而与有不同的交点N，而直线与这3条异面直线都有交点如图所示，    所以在空间中与三条直线，，都相交的直线有无数条. 故答案为：无数. 14．若P是所在平面外一点，而与都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为______. 【答案】 【分析】先找到两条分别垂直于两平面棱的直线所成的角，即为二面角的平面角，再根据边的关系求解即可. 【详解】取的中点O，分别连结，，如图所示：    因为与都是边长为2的正三角形， 所以，， 又因为点O为的中点， 所以，， 则为二面角的平面角， 因为，，所以， 同理可得，， 又因为， 所以在中，， 所以，即二面角的大小为. 故答案为：. 15．等边三角形的边长为是边上的高，若沿把折成直二面角，则点到边的距离为________. 【答案】 【分析】对比翻折前、后，的长度都不变，得翻折后为等腰三角形，即可求解. 【详解】如图，取BC的中点，连接.    ∵翻折前为正三角形，∴， ∴，即为点A到的距离. ∵翻折前为边上的高，∴， ∴即为二面角的平面角，即, ∴， ∴. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．如图所示，P为正方形所在平面外一点，正方形边长为1，平面，若，求与平面所成的角. 【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角的定义，结合勾股定理，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】连接. 因为平面，平面，所以. 所以与平面所成的角，就是与其在平面上的投影所夹的角，即. 在正方形中，边长，所以对角线. 在直角三角形中，，，所以， 所以，即所以与平面所成的角为. 17．如图，正方体的棱长为2，求： (1)二面角的大小． (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用几何法找出直接计算即可. （2）根据即可计算出三棱锥的体积. 【详解】（1）在正方体中有平面， . ， 二面角即为. （2）因为， 在正方体中有平面， 所以即为三棱锥的高. 所以. 18．如图，直三棱柱的所有棱长都为3，D为中点．    (1)求异面直线与所成的角； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意作出辅助线，结合平面与平面垂直的性质得到是在平面内的射影，利用全等三角形得出，再利用三垂线定理即可得解. （）作出辅助线，找到直线与平面所成角，利用直线与平面垂直的性质求出所需线段的长度即可得解. 【详解】（1）    在正三棱柱中取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面，则是在平面内的射影， 因为， 则，所以， 故 由三垂线定理得：，即异面直线AB1与BD所成的角为． （2）    同理作，则是与平面所成角， 在等边中，可得， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，， ∴． 19．所在平面外有一点，垂直于于E，且，求 (1)点到平面的距离； (2)和平面所成的角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据过P作平面α的垂线，垂足为O，将问题转化为求PO的长度，结合三垂线定理即可求解. （2）根据题（1）得出为和平面所成的角即可求解. 本题主要考查直线与平面所成的角，以及点到平面的距离. 【详解】（1）作于，则为点到平面的距离， 连接为和平面所成的角，连接.    因为于于， 所以在平面的射影， 又因为，所以在四边形中， ，且，所以四边形为正方形， 所以①，设②， ③， 联立①②③方程可得 ，所以点到平面的距离为12. （2）因为为和平面所成的角，在中，， 因为直线与平面所成角， 所以，即与平面所成的角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $