第四章 立体几何（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列符号表示“点在平面内”的是（    ） A． B． C． D． 2．关于平面的确定，下列说法正确的是（ ） A．两条平行的直线可以确定一个平面 B．空间三点可以确定一个平面 C．一点及一条直线可以确定一个平面 D．两条直线可以确定一个平面 3．空间中的四条直线，其中每两条直线都相交，最多可确定的平面个数为（ ） A．1 B．4 C．6 D．8 4．平面α与的两边分别交于，且，如图所示，则与α的位置关系是（　　）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平面 5．在正方体中，与所成的角为（ ） A． B． C． D． 6．直线与平面不平行，则（   ） A．与平行 B． C．与相交或 D．以上结论都不对 7．如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B． C． D．或 8．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．当二面角不为或时，二面角的棱与二面角的平面角所在的平面的位置关系为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．线在面内 10．已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知平面平面，直线平面，则与的位置关系是____________． 12．将边长为2的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为________. 13．在三棱锥中，是高，，，．则三棱锥的表面积为______； 14．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 15．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①；②平面；③平面；④平面平面． 以上四个命题中，正确命题的序号是________ 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知正方体，点O是底面对角线的交点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)若正方体的棱长为6，求三棱锥的体积． 17．如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 18．在直三棱柱中，．求： (1)直三棱柱的表面积； (2)异面直线与所成角的度数． 19．如图，已知圆锥的高为2，底面半径为1．为底面直径．    (1)求该圆锥的侧面积； (2)为底面圆周上一点，且，求二面角的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列符号表示“点在平面内”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与平面的位置关系的符号表示求解即可. 【详解】在空间几何中，点与平面的位置关系用“”（在平面内）和“”（在平面外）表示. “点在平面内”的规范符号为. 故选：C. 2．关于平面的确定，下列说法正确的是（ ） A．两条平行的直线可以确定一个平面 B．空间三点可以确定一个平面 C．一点及一条直线可以确定一个平面 D．两条直线可以确定一个平面 【答案】A 【分析】根据平面的性质和确定平面的条件即可求解. 【详解】对A：根据性质：两条平行直线可以确定一个平面，故A项正确； 对B：任意不共线的三点可以确定一个平面，，故B项错误； 对C：一条直线和直线外一点可以确定一平面，故C项错误； 对D：两条相交或平行直线可以确定一个平面，故D项错误. 故选：A 3．空间中的四条直线，其中每两条直线都相交，最多可确定的平面个数为（ ） A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意结合平面的性质即可得解. 【详解】假设四条直线分别为，每两条直线都相交， 则最多确定的平面分别为平面，共个平面， 故选：. 4．平面α与的两边分别交于，且，如图所示，则与α的位置关系是（　　）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平面 【答案】A 【分析】根据题意，结合线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】因为在中，， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 故选：A. 5．在正方体中，与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的性质找到异面直线所成角即可得解. 【详解】    可将直线平移到的位置， 则与所成的角即为与所成的角 在正方体中， 所以与所成的角为， 故选：. 6．直线与平面不平行，则（   ） A．与平行 B． C．与相交或 D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系即可得解. 【详解】当直线与平面不平行时，那么直线与平面相交或直线在平面内， 故选：C. 7．如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用直线与平面的位置关系即可得解. 【详解】因为，， 所以当时，时，符合条件， 当时，也符合条件， 所以与的位置关系是或， 故选：. 8．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】直接判断出异面直线所成的角的范围、直线和平面所成的角的范围、二面角的平面角的范围即可得结果. 异面直线所成的角的范围为， 直线和平面所成的角的范围为， 二面角的平面角的范围为， 所以只有二面角的平面角可能为钝角． 故选：B 9．当二面角不为或时，二面角的棱与二面角的平面角所在的平面的位置关系为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．线在面内 【答案】B 【分析】根据二面角的平面角的定义分析即可. 【详解】设二面角为，它的平面角为， 则， 且平面， 所以平面， 所以二面角不为或时， 二面角的棱与二面角的平面角所在的平面的位置关系为垂直， 故选：B. 10．已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】D 【分析】结合线面、面面位置关系的判定定理逐一分析求解即可. 【详解】选项A：若，两个平面可以相交，错误. 选项B：若，两个平面可以相交，也可以平行，错误. 选项C：若，只有当垂直与β的交线时，才有，任意不一定垂直，错误. 选项D：已知，若，根据面面垂直的判定定理，，正确. 故选：D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知平面平面，直线平面，则与的位置关系是____________． 【答案】或. 【分析】根据线线与线面关系判定可得. 【详解】根据已知条件画图， 如图:， 所以或， 故答案为：或. 12．将边长为2的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为________. 【答案】 【分析】先求出正方形对角线的长度，再根据已知条件求出三棱锥的高，最后根据三棱锥体积公式求解. 【详解】取的中点，连结，，    ，， ，，. 同理， ， ，， 又平面，平面，， 平面， 为三棱锥的高， . 故答案为：. 13．在三棱锥中，是高，，，．则三棱锥的表面积为______； 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质和棱锥的表面积公式可求解. 【详解】    如图，在三棱锥中，是高，即平面，平面， 所以，同理. 在和中，，， 所以，. 在中，， 所以，. 在中，，， 所以边上的高， 所以， 所以三棱锥的表面积. 故答案为： 14．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可证得，进而可知为与平面所成角，分析计算求解即可. 【详解】设为的中点，连接，如图所示： 因为在长方体中，， 所以上下底均为正方形，又因为为的中点， 所以，因为平面，且平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以为与平面所成角， 因为，所以，因为为的中点， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 15．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①；②平面；③平面；④平面平面． 以上四个命题中，正确命题的序号是________ 【答案】②③④ 【分析】还原几何体，根据正方体的结构特征及线面、面面平行的判定、线面垂直的判定判断各项的正误即可. 将展开图还原为几何体如下， 由正方体的结构特征，异面，故不平行，①错； 且，面，面，则平面成立，②对； 有，面，面，则， 都在面，则面，即平面，③对； 易得，而面，面，则面， 同时有，同理易得面，又都在面， 所以平面平面，④对. 故答案为：②③④ 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知正方体，点O是底面对角线的交点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)若正方体的棱长为6，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定即可求解. （2）根据三棱锥的体积即为三棱锥的体积，结合棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）连接，即点是平面对角线的交点，连接， 在正方体中，， 所以，则四边形为平行四边形， 所以，因为平面，不在平面内， 所以平面；    （2）因为三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以在正方体中，， 则. 17．如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】5 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 18．在直三棱柱中，．求： (1)直三棱柱的表面积； (2)异面直线与所成角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合直棱柱的表面积公式，即可求解； （2）根据题意，结合直棱柱的几何特征、线面垂直的判定定理和性质定理、异面直线所成角的概念，利用解直角三角形，即可求解. 【详解】（1）    因为直三棱柱中，， 所以， 所以表面积. （2）由题意，连接， 因为直三棱柱中，， 所以即是异面直线与所成角， 因为底面，底面，所以， 又，所以， 因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 所以在中，，， 所以，所以. 即异面直线与所成角是. 19．如图，已知圆锥的高为2，底面半径为1．为底面直径．    (1)求该圆锥的侧面积； (2)为底面圆周上一点，且，求二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式即可求解. （2）根据线面垂直的性质，先找出就是二面角的平面角即可求解． 【详解】（1）连接，由题意得，则在中，， 所以圆锥的侧面积为．      （2）因为为底面圆周上一点，且，所以是等腰直角三角形， 则，作于，连．    因为底面平面，所以，又 则平面，平面，所以， 则就是二面角的平面角． 因为，是中点，所以， 在中，，所以二面角的正切值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $