第30卷 综合训练卷（十）2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以职教高考考纲与真题为依据，采用“一考一讲”模式，整合立体几何、函数、解析几何等跨章节知识，实现“检测-讲解-巩固”闭环，强化空间观念与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何与空间|4题（正方体展开图、圆锥表面积与外接球等）|空间关系判断与几何量计算|从空间形式认知到几何运算，体现空间观念| |代数与函数|7题（数列求和、函数最值、双曲线渐近线等）|概念辨析与综合应用|从代数概念生成到函数性质应用，发展推理意识| |概率与统计|1题（随机变量期望）|分布列与期望求解|概率模型构建到统计推断，培养数据意识|

编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第30卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A． B．与是异面直线 C．与所成的角是 D．与互相垂直 2．若随机变量的分布列如表所示： 4 6 8 则数学期望（    ） A． B． C．7 D． 3．若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和等于（） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，，，有下列说法：（    ） ①若，则或；    ②若且，则； ③若，，则；    ④若，，则. 其中，说法正确的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．用弧度制表示终边落在y轴正半轴上的角的集合，正确的是 （    ） A． B． C． D． 8．已知集合，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．若圆的圆心恰与直线恒过的定点重合，则________． 10．在中，已知，则_____. 11．已知，，点满足，则点的坐标是____________． 12．已知双曲线的渐近线与圆相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的标准方程为______． 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知函数. (1)当时，求函数的最大值. (2)若函数有最大值2，求实数a的值. 14．如图，圆锥的底面半径为3，此圆锥的侧面展开图是一个半圆． (1)求圆锥的表面积； (2)若圆锥的底面圆周和顶点S都在球的球面上，求球的体积． 15．已知函数 的图象恒过定点，且． (1)求定点的坐标及实数的值； (2)若函数为定义在上的奇函数，当时，，且点在函数的图像上．①求的值；②求的值． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第30卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A． B．与是异面直线 C．与所成的角是 D．与互相垂直 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，及异面直线所成角、线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】    由题意，将正方体的平面展开图还原成正方体，如上图所示： 所以是异面直线，而不平行，故选项A错误； 所以，故选项B错误；    连接，则是等边三角形，故， 因为，所以与所成的角也是，故选项C错误；    连接，则， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以，故选项D正确. 故选：D. 2．若随机变量的分布列如表所示： 4 6 8 则数学期望（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】首先由概率之和为1列方程求出的值，再由数学期望公式求值即可. 【详解】如表格可知，， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 3．若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将数列通项拆分为等比数列、等差数列、常数列三个部分，分别计算各部分前n项和后合并，即可得到结果. 【详解】根据数列前n项和的定义，，其中，. 将求和式拆分如下：. 是首项为2、公比为2的等比数列前n项和，所以 . ，是首项为1、末项为n的等差数列前n项和，所以 . 是n个1相加，结果为. 所以. 故选：A. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆性质得，结合双曲线定义与勾股定理求出，即可写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线左、右焦点分别为，， 即，满足， 以原点为圆心且过点的圆为， 设，则,即， 又，即， 又，且在圆上， 所以,即， 所以，即， 即双曲线渐近线为，整理得.    故选：B. 5．已知平面向量，，，有下列说法：（    ） ①若，则或；    ②若且，则； ③若，，则；    ④若，，则. 其中，说法正确的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】依据向量的模及向量相等的定义判断①；根据向量内积的运算判断②；根据向量相等的传递性判断③；根据向量平行的定义判断④. 【详解】对于说法①：由可知向量与的模长相等，但方向不确定，它们不一定共线， 所以不一定有或，故该说法错误， 对于说法②：设，，，， 此时，， 满足，但显然，故该说法错误， 对于说法③：若且，那么必然有，故该说法正确， 对于说法④：当为零向量时，满足，，但与不一定平行，故该说法错误， 故选：C. 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性解不等式，结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为函数，底数，所以在定义域内为增函数， ，解得， 所以当时，不一定成立，因为当时，无意义，故充分性不成立； 当时，一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：. 7．用弧度制表示终边落在y轴正半轴上的角的集合，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边落在轴正半轴上的角的特征，利用终边相同的角的表示求解. 【详解】在平面直角坐标系中，终边落在轴正半轴上的一个角是， 所以终边落在轴正半轴上的角的集合为，故C正确， 选项AD：角度制和弧度制混用，不符合要求, 选项B：，当为奇数时，角的终边落在轴负半轴上，不符合题意， 故选：C. 8．已知集合，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由此列出不等式组求解. 【详解】由于，所以，又因为， 所以有解得， 故选：D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．若圆的圆心恰与直线恒过的定点重合，则________． 【答案】 【分析】首先确定直线方程所过定点，将定点代入圆心坐标公式求值即可. 【详解】由直线， 得，令， 解得，所以定点 ， 又圆的圆心， 因为与 重合， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 10．在中，已知，则_____. 【答案】/0.5 【分析】根据正弦定理和余弦定理求解即可. 【详解】在中，已知， 所以.设. 则. 故答案为：. 11．已知，，点满足，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，再由向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】设点的坐标为， 则， ， 由得，解得， 所以点的坐标为， 故答案为：. 12．已知双曲线的渐近线与圆相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】首先求出圆的圆心以及半径，再求出双曲线的渐近线，再根据相切求出，最后得到双曲线方程. 【详解】圆的圆心，半径. 则双曲线的一个焦点为，则， 渐近线的方程为，即， 圆心到渐近线的距离为， 因为渐近线与圆相切，所以，即，解得， 则， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知函数. (1)当时，求函数的最大值. (2)若函数有最大值2，求实数a的值. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（）将代入函数中，利用同角三角函数基本关系式进行化简，根据二次函数的最值即可得解. （）令进行换元，根据正弦函数的取值范围及二次函数的单调性进行分类讨论，根据题意列出方程即可得解. 【详解】（1）， 当时，， 由于，故当时，取最大值. （2），令 则， 所以，，对称轴为，图像开口向下， 当时，则，此时在单调递增，所以，则 ， 解得 或，因为，所以舍去， 当时，，此时在单调递增，在单调递减，故， 解得或，因为，所以舍去， 当时，则，此时在单调递减，所以， 解得 或， 因为，，所均舍去， 综上可得或. 14．如图，圆锥的底面半径为3，此圆锥的侧面展开图是一个半圆． (1)求圆锥的表面积； (2)若圆锥的底面圆周和顶点S都在球的球面上，求球的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据圆锥的侧面展开图是一个半圆，由求得母线后再利用表面积公式求解. （2）令，利用球的截面圆性质，由求得半径即可. 【详解】（1）解：设， 由题意得：，则． 所以． （2）令， 由，得， 解得． 故． 15．已知函数 的图象恒过定点，且． (1)求定点的坐标及实数的值； (2)若函数为定义在上的奇函数，当时，，且点在函数的图像上．①求的值；②求的值． 【答案】(1)， (2)①；②3 【分析】（1）根据指数函数的性质求解定点的坐标，由列方程求解； （2）①根据解析式代值求解；②根据奇函数性质求，再结合对数运算求值即可. 【详解】（1）令，则，所以定点. ， 即. 且. （2）①∵在的图像上， ∴，则，即． ②∵是上的奇函数，∴ ∵，当时， ∴原式 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $