第17卷 立体几何 2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第17卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．如图所示，在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据题意结合线面垂直的判定定理及性质，面面垂直的判定定理逐项判断即可得解. 【详解】    在正四面体中，取点为中点，连接， 可知，，，平面， 则平面，平面，所以，则与所成的角为，故选项A错误；    如图所示，令交于点，连接，在正四面体中，平面， 则与平面所成的角为， 设正四面体的棱长为， 则，， 所以直线与平面所成的角不是，故选项错误； 因为，直线不垂直于，直线不垂直于，则选项C错误；    因为平面，平面，所以平面平面，故选项正确， 故选：. 2．如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线．    其中，正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】还原几何体，结合直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】    如图所示，还原正方体后： ①与异面，不平行； ②连接，； ③连接，在正方体中，，则为等边三角形，； ④，，两两异面， 故②③④正确， 故选：. 3．圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用线面垂直的性质找到二面角的平面角即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 平面底面，平面，底面， 所以为平面EAC与底面ABC所成的二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又， 则， 因为为锐角，所以， 即平面EAC与底面ABC所成的二面角为， 故选：. 4．若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系及相关判定定理和性质定理对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A，若，，此时直线与平面可能相交，可能平行，也可能， 直线与平面不一定垂直，所以该选项错误， 选项B，∵直线平面，∴总可以过作一平面与平面相交，设交线为l， 由线面平行的性质定理可知，而，∴， 又，∴，所以该选项正确，    选项C，若，，则平面与平面可能平行，也可能相交，所以不一定有，该选项错误， 选项D，若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，所以不一定有，该选项错误， 故选：B． 5．如图所示，在正方体中，是的中点，则与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据异面直线的特征判断. 【详解】A选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以与直线不相交； B选项，因为平面，平面， 又平面且，所以直线与直线不相交； C选项，因为直线，都在平面内且不平行， 所以直线与直线相交； D选项，平面，平面，所以平面， 又平面且，所以直线与直线不相交； 故选：C. 6．如图所示，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于点于点，则下列结论不正确的是（    ）    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理判断选项即可. 【详解】A选项，∵为圆的直径， ∴，即， ∵垂直于圆所在的平面，即平面， ∵平面，∴， ∵，平面， ∴平面，故A正确； B选项，∵平面，且平面， ∴平面平面，故B正确； C选项，假设平面，平面，则，又， ∵，平面，∴平面， 又平面，则，与为直径矛盾，故C错误； D选项，∵平面，平面， ∴， 又∵， ∴，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面，故D正确. 故选：C. 7．在正方体中，点为棱中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角 D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何性质，借助面面垂直与线面平行、异面直线所成角判断即可； 【详解】   在正方体中，体对角线垂直于平面；如果平面垂直于平面， 那么平面必须包含或者平行于；显然平面与相交且不垂直； 所以平面不垂直平面；故选项A错误； 直线和平面有一个公共点，所以直线与平面相交，不可能平行，故选项B错误； 因为，所以异面直线与所成角，就是直线与所成角，即. 连接，在中，平面，而在该平面内，所以； 设正方体的棱长为2，则，因为是的中点， 所以在中，，则， 在，因为，而， 所以异面直线与所成角不是.故选项C错误； 连接，在正方体中，底面为正方形，对角线互相垂直，即， 因为，所以， 又因为侧棱底面，而，所以； 因为，、都在平面中， 所以平面，因为平面， 所以，故选项D正确； 故选：D 8．如图所示，正方体棱长为1，E，F分别为的中点，平面，且平面，则面积的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出辅助线，利用平面与平面平行的判定定理得出点的轨迹，求出点到线段距离的最小值，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】    如图所示，连接，取中点，中点，连接， 因为E，F分别为的中点，所以， 又因为为中点，所以，则， 又因为，所以是平行四边形，所以， 平面，； 平面，， 所以平面平面， 又因为平面，平面，所以在线段上运动， 因为正方体的棱长为，， 所以当点为中点时，点到的距离最短为， 又平面，平面，所以， 此时面积的最小值为， 故选：. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．如图所示，点E，F分别是正方体的棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____________．    【答案】 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】如图所示，连接，    因为点E，F分别是正方体的棱，的中点， 所以为的中位线，则， 又因为， 所以直线与所成角即为与所成角， 因为在正方体中，， 所以为等边三角形，则. 故答案为：. 10．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可证得，进而可知为与平面所成角，分析计算求解即可. 【详解】设为的中点，连接，如图所示： 因为在长方体中，， 所以上下底均为正方形，又因为为的中点， 所以，因为平面，且平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以为与平面所成角， 因为，所以，因为为的中点， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 11．数学名著《九章算术》中记载的“刍䠢”指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF是一个“刍䠢”，四边形CDEF为等腰梯形，，则该“刍䠢”的体积为__________． 【答案】/ 【分析】利用割补法将五面体分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，利用面面垂直的判定定理和柱体、锥体的体积公式即可得解. 【详解】如图，在取点，使得， 分别过点作的平行线，交于点， 连接， 则， 又平面，∴平面 又平面，∴平面平面， 同理平面，平面平面， ∴五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥. 过点作， ∵平面，平面平面， 平面平面，则平面，所以是四棱锥的高， 因为平面，平面，即， 又在中，根据勾股定理，可得，同理， 又，满足，所以是直角三角形， 即，， ∴该五面体的体积为 . 故答案为：. 12．已知二面角的平面角为，点P在内，P到l的距离为，则点P到的距离为______． 【答案】 【分析】过点P作于，作于，连接，由线面垂直的判定和性质，可得，即是二面角的平面角，在中可求解. 【详解】如图，过点P作于，作于，连接，    因为，，所以，. 又，，所以平面. 又平面，所以； 又，所以是二面角的平面角. 在中，，， 所以. 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，且平面为的中点.求:    (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积； (3)点到平面的距离. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）根据题意作出辅助线，利用线面垂直的判定及性质找到二面角的平面角，求出所需线段的长度，代入正切公式即可得解. （）根据棱锥的体积公式即可得解. （）设出点到平面的距离为，结合（）代入棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）    如图所示，连接交于点，取的中点，连接， 过点作于点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为平面，所以平面，平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 平面，所以, 所以是所求二面角的平面角， 因为，所以，所以是的中点,所以， 因为是边长为4的等边三角形，所以， 所以， 在Rt中，， 故二面角的正切值为. （2）由题知，， . （3）在中，， 则， 设点到平面的距离为， 则， 解得，即点到平面的距离为. 14．如图，直三棱柱的所有棱长都为3，D为中点．    (1)求异面直线与所成的角； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意作出辅助线，结合平面与平面垂直的性质得到是在平面内的射影，利用全等三角形得出，再利用三垂线定理即可得解. （）作出辅助线，找到直线与平面所成角，利用直线与平面垂直的性质求出所需线段的长度即可得解. 【详解】（1）    在正三棱柱中取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面，则是在平面内的射影， 因为， 则，所以， 故 由三垂线定理得：，即异面直线AB1与BD所成的角为． （2）    同理作，则是与平面所成角， 在等边中，可得， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，， ∴． 15．如图，在正三棱柱中，，截面侧面. (1)求证：； (2)若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理､线面平行的性质定理，结合面面垂直的性质､平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合勾股定理的逆定理进行求解即可. 【详解】（1）设的中点为，过作，垂足为，连接， 因为是等边三角形，所以， 因为是正三棱柱，所以面侧面， 而面侧面，所以侧面， 因为截面侧面，截面侧面， 所以侧面，因此， 因为是正三棱柱，所以侧面， 而平面侧面，侧面，所以， 因此是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为的中点为，所以是的中点， 于是有，而且， 所以是中点，即； （2）延长交于点，设， 由（1）可知，，所以是的中点， 即, 因此在中，， 因为，所以， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以是平面与平面所成二面角的平面角， 因为，所以矩形是正方形，因此. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第17卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．如图所示，在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线 D．平面平面 2．如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线．    其中，正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 3．圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 4．若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 5．如图所示，在正方体中，是的中点，则与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．如图所示，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于点于点，则下列结论不正确的是（    ）    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 7．在正方体中，点为棱中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角 D． 8．如图所示，正方体棱长为1，E，F分别为的中点，平面，且平面，则面积的最小值为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．如图所示，点E，F分别是正方体的棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____________．    10．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 11．数学名著《九章算术》中记载的“刍䠢”指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF是一个“刍䠢”，四边形CDEF为等腰梯形，，则该“刍䠢”的体积为__________． 12．已知二面角的平面角为，点P在内，P到l的距离为，则点P到的距离为______． 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，且平面为的中点.求:    (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积； (3)点到平面的距离. 14．如图，直三棱柱的所有棱长都为3，D为中点．    (1)求异面直线与所成的角； (2)求与平面所成角的正弦值． 15．如图，在正三棱柱中，，截面侧面. (1)求证：； (2)若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $