第16卷 立体几何 2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第16卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．如图所示，已知三棱锥的棱长都相等，，分别是棱，的中点，给出下列四个结论： ①直线与所成的角为； ②直线与平面所成的角为； ③直线平面； ④平面平面. 则所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角、直线与平面垂直的判定与性质判断①；根据直线与平面所成角的解法判断②；根据线面平行的判定判断③；根据面面垂直的判定判断④. 【详解】对于①，因为三棱锥的棱长都相等，所以， 取中点，连接、，则，， 又，平面，可得平面， 因为平面，所以，即直线与所成的角为，故①正确， 对于②，设三棱锥的棱长为， 设，则为的中心， 连接，则平面， 所以就是直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 即直线与平面所成的角不是，故②错误， 对于③，因为，分别是棱，的中点，所以， 又平面，平面，可得平面，故③正确， 对于④，因为三棱锥的棱长都相等，是中点， 所以，， 又，平面，可得平面， 因为平面，所以平面平面，故④正确， 综上，①③④正确， 故选：C. 2．正方体中，为线段中点，为线段上动点，有以下几个结论：则正确的是（   ） ①对任意，平面 ②为中点时 ③与平面所成角最小为. ④三棱锥体积为定值    A．②④错误 B．①③④错误 C．①④正确 D．①③④正确 【答案】C 【分析】需逐一分析四个结论，利用线面平行、异面直线所成角、线面角、三棱锥体积等相关性质判断正误. 【详解】判断①，因为平面平面，且，， 所以平面成立，故①正确.    判断②，因为是正方形的对角线，当为线段中点、 为线段的中点时，与所成角为45°， 因为，所以与AC所成角也为45°，所以不垂直，故②错误.    判断③，过E作于G，因为平面平面， 所以平面，则就是与平面所成角. 当F移动到端点时，最长，此时与平面所成角最小， 设正方体棱长为2，则，， ，所以最小角大于，故③错误. 判断④，三棱锥体积 ， 其中：以BC为底，高是点F到 BC的距离，等于正方体的棱长，所以是定值. 三棱锥的高是点E到平面的距离，等于正方体的棱长，也是定值. 因此三棱锥体积为定值，故④正确. 故选：C 3．在正三棱柱中，为的中点，下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③平面；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由线面垂直的判定定理判断①，由线面平行判断③，由正三角形的三线合一判断④即可. 【详解】对于①，若，因为， 且，平面， 所以平面，而平面， 于是有，与已知矛盾，所以①错误， 对于②，显然错误， 对于③，因为， 且平面，平面， 所以平面，所以③正确， 对于④，由于点是的中点， 为正三角形，所以，即④正确． 故选：B．    4．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相交直线与平行直线的概念判断①与②，根据中位线的性质可证明③④. 【详解】①连接，如图，    根据两条相交直线确定一个平面可知，若与是相交直线， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故①错误； ②根据两条平行直线确定一个平面可知，若， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故②错误； ③∵点E，F，G，H分别是边，，，的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴且，且， ∴，故③正确； ④由③可知，且，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形，故④正确， 则结论正确的是③④，正确的个数是2个. 故选：B. 5．在正四棱锥中，二面角为，底面的边长为2，若的中点为，点为底面的中心，则与的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的定义可得为二面角的平面角，利用等面积法即可求解. 【详解】在正四棱锥中，侧面为等腰三角形 ， 因为的中点为，所以，又， 所以为二面角的平面角，即， 又底面边长为2，则，在中， ，则， 又， 在中，设与的距离为， 则，即，解得. 故选：B.    6．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，且平面，则线段长度的最大值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行以及面面平行找到的轨迹，再求解即可. 【详解】正方体棱长为2，点为中点.取中点中点中点， 连接，由题意，， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 点在侧面上，且平面，则的轨迹为， 所以， ， 因为，即四边形为平行四边形， 所以，且， 又平面，平面，所以， 在中，， 由，则， 故因为 在线段上运动， 当位于点时，最短为， 当位于点时，最长为. 故选：A.    7．给出下列三个命题： ①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直； ②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直； ③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直． 其中正确的个数是 （　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线面垂直的相关关系求解即可. 【详解】①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直； ②中一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则该所成角必为直角，因此直线与平面垂直； ③根据射影定义知，一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直， 所以②③正确. 故选：C. 8．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的解法，结合正方体的性质分析判断各选项. 【详解】选项A，连接和，因为正方体中， 所以（或其补角）是直线与所成的角， 设正方体棱长为，在中，， 所以是等边三角形，则， 故直线与所成的角是，故A选项错误； 选项B，因为平面，所以就是直线与平面所成的角， 在中，，，所以，故B选项错误； 选项C，因为平面，平面，所以. 因为，，， 所以就是二面角的平面角， 由前面分析可知，故C选项错误； 选项D，因为，，， 所以就是二面角的平面角， 又因为，所以二面角的平面角是，故D选项正确， 故选：D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是______条. 【答案】6 【分析】分4个平面交于同一条直线，3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，任意3个平面都不交于同一条直线求解. 当4个平面交于同一条直线时，只有一条交线； 当3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，得到3条交线，一共得到4条交线； 当任意3个平面都不交于同一条直线时，共得到6条交线. 综上：它们交线的条数最多是6条. 故答案为：6 10．在三棱锥中，是高，，，．则三棱锥的表面积为______； 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质和棱锥的表面积公式可求解. 【详解】    如图，在三棱锥中，是高，即平面，平面， 所以，同理. 在和中，，， 所以，. 在中，， 所以，. 在中，，， 所以边上的高， 所以， 所以三棱锥的表面积. 故答案为： 11．如图，四边形和均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，分别为的中点，设异面直线与所成的角为θ，则的最大值为______．   【答案】/ 【分析】取中点为，连接，得出为异面直线与所成的角或补角，根据余弦函数的单调性得出，当与点重合时，最大，再由余弦定理求值即可. 【详解】取中点为，连接， 则，所以为异面直线与所成的角或补角， 连接与交于点，则当点移动到点时， 由为正方形可得，， 且分别为的中点， 所以， 所以，即， 所以，又平面与平面垂直， 其中是平面与平面的交线， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为为平面中，两条相交直线， 所以平面， 因为平面，所以， 则当点移动到点时，异面直线与所成的角最大为， 此时余弦值最小为，当点向点移动时，， 越靠近点越大，越小， 因为为减函数， 所以越小，值越大， 所以当点移动到点时，值越大， 此时设正方形边长为， 则， ，则， 又，， 所以， 所以. 所以的最大值为. 故答案为：. 12．如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面，且线段长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________.    【答案】 【分析】取圆台下底圆心，确定取最小值的情况，结合线面平行的性质求出圆台两底半径及高，进而求出圆台体积. 【详解】如图：    取圆台下底圆心，令， 连接，则， 因为平面平面，面， 平面，所以， 所以四边形为平行四边形， ； 在中，， 在圆中，当且仅当时，取最小值， 所以，解得：，所以， 圆台的高， 所以圆台的体积. 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．某工厂要制作一个正四棱锥形容器（无盖），底面边长为8cm，侧棱长为10cm. (1)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (2)求容器的侧面积（侧面展开图的面积）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的线面关系确定二面角的平面角，进而求解即可； （2）根据正四棱锥中二面角侧面积公式求解； 【详解】（1）    如图，设正四棱锥顶点为P，底面的中心为O，取中点H，连接、. 因为底面，，， 所以为侧面与底面所成二面角的平面角； 因为底面边长8，故，侧棱长，斜高； 所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为. （2）因为侧面积为4个等腰三角形面积之和：每个三角形面积， 所以总侧面积. 14．已知正方形的边长为1，分别取的中点E，F，连结，以为折痕折叠，使点重合于点P，求：    (1)二面角的平面角的正弦值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意利用折叠的性质找到二面角的平面角，得到平面，利用线面垂直的性质求出所需线段的长度即可得解. （）根据棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）如图，取中点O，连接，    由图（1），在正方形中，， E，F分别是的中点，即， ， ， 在图（1）中，，即在图（2）中， ∴， ∴就是二面角的平面角，点重合于点P， 由图（1）知，平面，且， ∴平面，平面，则， ∴，∵， ∴， ∴， 即二面角的平面角的正弦值为． （2） ． 15．如图，在直三棱柱中，.求：    (1)直三棱柱的体积； (2)直线与所成角的大小； (3)二面角的正切值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题意结合棱柱的体积公式即可得解. （）根据题意找出异面直线所成角，结合勾股定理求出的三边即可得解. （）作出辅助线，根据线面垂直的性质及判定定理求出二面角的平面角，求出所需线段长度即可得解. 【详解】（1）在直三棱柱中，， ， 则直三棱柱的体积为. （2）    如图所示，连接， 因为在直三棱柱中，， 所以直线与所成角即为直线与所成角， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，满足勾股定理，即， 所以. （3）    如图所述，过点作交于点，连接， 因为在直三棱柱中，易得平面， 又平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面， 所以为二面角的平面角， 在中，，解得， 因为平面，所以， 则， 所以二面角的正切值为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第16卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．如图所示，已知三棱锥的棱长都相等，，分别是棱，的中点，给出下列四个结论： ①直线与所成的角为； ②直线与平面所成的角为； ③直线平面； ④平面平面. 则所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 2．正方体中，为线段中点，为线段上动点，有以下几个结论：则正确的是（   ） ①对任意，平面 ②为中点时 ③与平面所成角最小为. ④三棱锥体积为定值    A．②④错误 B．①③④错误 C．①④正确 D．①③④正确 3．在正三棱柱中，为的中点，下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③平面；④． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 5．在正四棱锥中，二面角为，底面的边长为2，若的中点为，点为底面的中心，则与的距离为（     ） A． B． C． D． 6．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，且平面，则线段长度的最大值为（   ）. A． B． C． D． 7．给出下列三个命题： ①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直； ②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直； ③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直． 其中正确的个数是 （　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是______条. 10．在三棱锥中，是高，，，．则三棱锥的表面积为______； 11．如图，四边形和均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，分别为的中点，设异面直线与所成的角为θ，则的最大值为______．   12．如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面，且线段长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________.    三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．某工厂要制作一个正四棱锥形容器（无盖），底面边长为8cm，侧棱长为10cm. (1)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (2)求容器的侧面积（侧面展开图的面积）. 14．已知正方形的边长为1，分别取的中点E，F，连结，以为折痕折叠，使点重合于点P，求：    (1)二面角的平面角的正弦值； (2)三棱锥的体积． 15．如图，在直三棱柱中，.求：    (1)直三棱柱的体积； (2)直线与所成角的大小； (3)二面角的正切值. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $