第15卷 简单几何体 2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦简单几何体核心考点，以计算与应用为主线，覆盖表面积体积、直观图、外接球等模块，题型从基础判断到实际建模，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体表面积与体积|选择1/3/5/14题|结合轴截面、熔铸问题考查公式应用|从几何体概念到表面积体积公式推导，再到实际情境计算| |直观图与斜二测画法|选择2/填空9题|通过直观图还原原图形，考查斜二测画法规则|从平面图形直观化到空间图形还原，建立空间观念| |球与多面体外接问题|选择4/6题|结合正四棱柱、正方体考查外接球表面积|从多面体棱长到外接球直径关系，构建空间几何关系| |旋转体与实际应用|填空11/12/解答15题|涉及圆锥容器水面高度、旋转体体积及仓库设计|从旋转体形成原理到实际问题建模，体现应用意识|

编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第15卷 简单几何体 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．如图所示，正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为，再由正方体的几何特征和表面积公式分别表示出三棱锥的表面积与正方体的表面积，即可解答 【详解】设正方体的棱长为， 则正方形的面对角线 ， 则三棱锥的棱长为，侧面均为等边三角形， 则侧面三角形的高为， 所以三棱锥的表面积为， 正方体的表面积为， 所以三棱锥的表面积与正方体的表面积的比为， ， 故选：B. 2．已知水平放置的直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图所示，其中，，，则的长度是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则，找出直观图与原图形中对应线段的关系，进而求出的长度. 【详解】因为在斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半， 因为，，， 由直观图可知， ， 在轴上，所以在直角梯形中， 过作于，则是矩形， 故， 故， 故选：D. 3．若一个圆锥的轴截面顶角为，母线长为4，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的结构特征，结合体积公式即可求解. 【详解】因为一个圆锥的轴截面顶角为，母线长为4， 所以底面半径为，圆锥的高为， 则这个圆锥的体积为. 故选：B. 4．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为的球面上，如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱的外接球的直径为棱柱的体对角线，求出体对角线长和底面对角线长，再由棱柱的表面积求值即可. 【详解】因为一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为的球面上， 由球的直径为正四棱柱的体对角线，得正四棱柱的体对角线长为， 又因为正四棱柱的底面边长为， 所以正四棱柱的底面对角线长为， 所以正四棱柱的高为， 该棱柱的表面积为． 故选：B. 5．将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合圆锥与球的体积公式求出球的半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】由题意知，圆锥的体积等于球的体积， 设球的半径为，则，解得， 故球的表面积为， 故选：A． 6．体积为8正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方体的体积求出正方体的棱长，再利用正方体的体对角线的长就是外接球的直径计算可得外接球的半径，根据球的表面积公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为 由题意可得：，解得：， 则 ， 解得：，则. 故选：A. 7．对于下面四个命题，其中正确命题的个数是（    ） ①圆柱的轴截面是经过母线的截面中面积最大的一个； ②底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； ③圆锥的所有的轴截面是全等的等腰三角形； ④球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据旋转体、多面体的定义和性质逐条判断. 【详解】①圆柱的轴截面是经过母线的截面中面积最大的一个 过母线的截面中，矩形截面面积等于 ， 所有过母线的截面矩形，其另一边是底面圆的一条弦长，弦长最大为直径， 因此轴截面面积最大，故①正确， ②底面是正三角形的棱锥是正三棱锥， 正三棱锥还需满足顶点在底面正三角形的正上方（投影是中心）， 否则只是底面正三角形的棱锥，故②错误， ③圆锥的所有的轴截面是全等的等腰三角形 同一个圆锥的不同轴截面都是全等的，母线相同，底面直径相同，故③正确. ④球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径， 两个大圆交于两点，这两点的连线是球的一条直径， 因为两个大圆面都过球心，交线过球心，故④正确， 故选：C. 8．某圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形，过该圆锥的两条母线作圆锥的截面，当截面面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的顶点为S，底面圆心为O，连接SO，得到，得到的夹角为90°时，的面积最大，结合，列出方程，即可求解. 【详解】设该圆锥的顶点为S，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，连接SO，由圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形可知圆锥的高，底面圆半径为， 设C为圆锥底面圆周上一点，连接BC，OC，则， 所以当的面积最大时，即最大时，即的夹角为90°时， 的面积最大，此时的面积为8，且， 取中点，连接，则， 在直角中，可得， 所以的面积为， 设圆锥底面圆的圆心O到截面SBC的距离为h， 则由可得， 即，解得， 所以圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为． 故选：D．    二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．一个三角形用斜二测画法所作的直观图是一个边长为2的正三角形，则原三角形的面积为_________. 【答案】 【分析】在直观图中求出三角形的高，利用斜二测画法的规则求出原三角形中三角形的高后，利用面积公式即可求解. 【详解】因为直观图中三角形的高为， 所以由斜二测画法的规则可得原三角形中三角形的高为， 所以原三角形的面积为． 故答案为：． 10．若一个圆锥的底面圆的半径为3，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积为___________. 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可求得的值，最后根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的母线长为， 根据题意可得，解得， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 11．如图①，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图②），则图①中的水面高度为__________.    【答案】 【分析】先在图②中，利用体积比是相似比的三次方求得水形成的小“圆锥”与圆锥形容器的体积比，从而得到图①中无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为，再次利用相似比的性质即可得解. 【详解】在图②中，水形成的小“圆锥”的高为，圆锥形容器的高为， 所以小“圆锥”与圆锥形容器的相似比为， 所以小“圆锥”与圆锥形容器的体积比为， 则在图①中，无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为， 设水面高度为，则小“圆锥”和大圆锥形容器的高的比为，即相似比为， 所以它们的体积比为，解得 . 故答案为：. 12．已知一个等边三角形的边长为4，则以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为__________. 【答案】 【分析】结合圆锥的体积公式即可得解. 【详解】将等边三角形，绕其一边旋转一周， 得到的几何体是由两个同底等高的圆锥构成的， 其中圆锥的底面圆半径为，高为2， 所以. 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．如图所示，四边形是矩形，且 ， ，若将图中阴影部分绕旋转一周，阴影部分形成的几何体的体积及表面积.    【答案】 【分析】根据图形可知，，再由圆柱和球的体积公式和表面积公式求值即可. 【详解】由图可知，， 其中球的半径为，圆柱的底面半径为，高为， 所以，， 所以阴影部分形成的几何体的体积， 由图可知，， 所以. 14．如图所示，正四棱锥的底面边长为8，高PO与斜高PE的夹角为，求：    (1)正四棱锥的侧面积和表面积； (2)正四棱锥的体积． 【答案】(1)128；192 (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的侧面积以及表面积公式求解即可. （2）根据正四棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）因为正四棱锥高是，斜高是， 所以平面，又平面， 所以，为直角三角形， 又，即是中点， 因为，所以， 因为高与斜高的夹角为，所以， 则侧面积为， 表面积为. （2）高， 进而体积. 15．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． (1)若，，则仓库的容积是多少（单位：）？ (2)若正四棱锥的侧棱长为6m，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，则粉刷总费用是多少元？（参考数据：，结果精确到0.1元） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据棱锥与棱柱的体积公式求解即可； （2）先求解出棱锥与棱柱的表面积，再由粉刷费用求解即可. 【详解】（1）∵是正四棱柱， ∴， ∵，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． ∴， ∴正四棱柱的容积为，正四棱锥的容积为， ∴仓库的容积是 （2）取的中点记作E，连接， 则为斜高，如图， 在正四棱锥中，侧棱长为6m，， ∴， ∴，即， ∴， ∴正四棱锥的侧面积， ∵上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元， ∴上部的粉刷费用为元， ∵正四棱柱的底面边长为8，高为8， ∴正四棱柱的侧面积， ∵下部每平方米粉刷费用是80元， ∴下部的粉刷费用为元， ∴总费用为元. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第15卷 简单几何体 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．如图所示，正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比等于（    ） A． B． C． D． 2．已知水平放置的直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图所示，其中，，，则的长度是（    ） A．1 B． C． D． 3．若一个圆锥的轴截面顶角为，母线长为4，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为的球面上，如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．体积为8正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．对于下面四个命题，其中正确命题的个数是（    ） ①圆柱的轴截面是经过母线的截面中面积最大的一个； ②底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； ③圆锥的所有的轴截面是全等的等腰三角形； ④球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 A．1 B．2 C．3 D．4 8．某圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形，过该圆锥的两条母线作圆锥的截面，当截面面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．一个三角形用斜二测画法所作的直观图是一个边长为2的正三角形，则原三角形的面积为_________. 10．若一个圆锥的底面圆的半径为3，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积为___________. 11．如图①，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图②），则图①中的水面高度为__________.    12．已知一个等边三角形的边长为4，则以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为__________. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．如图所示，四边形是矩形，且 ， ，若将图中阴影部分绕旋转一周，阴影部分形成的几何体的体积及表面积.    14．如图所示，正四棱锥的底面边长为8，高PO与斜高PE的夹角为，求：    (1)正四棱锥的侧面积和表面积； (2)正四棱锥的体积． 15．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． (1)若，，则仓库的容积是多少（单位：）？ (2)若正四棱锥的侧棱长为6m，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，则粉刷总费用是多少元？（参考数据：，结果精确到0.1元） 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $