第9卷 平面向量 2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以“一考一讲”模式构建平面向量专项训练，通过概念辨析-坐标运算-几何应用的逻辑链条，系统提炼线性运算、平行垂直判定等解题方法，适配职教高考即时检测与巩固需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择6/填空9|向量定义与性质辨析（如单位向量方向、零向量共线）|从基本概念（模、方向）到性质判断，培养数学眼光| |坐标运算|选择2/4/填空10/解答13|平行（坐标比例）与垂直（内积为零）运算，模长公式|从坐标表示到运算规律推导，发展数学思维| |几何应用|选择1/7/8/填空12/解答15|几何图形中向量线性表示与数量积应用|从几何问题抽象为向量关系，提升数学语言表达能力|

编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第9卷 平面向量 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算，向量的相等及向量的模的定义即可得解. 【详解】∵在四边形中，. ∴.且. ∴四边形为平行四边形． ∵. ∴. ∴四边形的对角线长度相等. ∴平行四边形为矩形． 故选：. 2．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据两个平面向量平行与垂直的关系求出的值，结合平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量，，， 因为，则，解得，所以； 因为，则，解得，所以， 则， 所以， 故选：. 3．设是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．不与垂直 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的运算律和垂直的向量表示逐项分析即可. 【详解】符合向量的分配律，故A正确， 因为 所以与垂直,故B错误， 因为不共线，所以，，组成三角形三边， 所以成立，故C正确， ，故D正确， 故选：B. 4．已知向量，，若与共线，则等于（   ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示得出向量的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】由向量，， 得 ， ， 由与 共线，得， 即，整理得， 所以. 故选：A. 5．设向量满足及，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对两边平方求出的值，然后利用求向量夹角的公式进行求解. 【详解】设与的夹角为， 由题意得：，对方程两边平方得 ，又， ，即 又，的夹角为. 故选：A. 6．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 【答案】A 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量以及相等向量的定义求解即可. 【详解】选项A.向量与都是单位向量，则它们的模都为1，但它们的方向可能不同，错误. 选项B.零向量与任意向量都共线，正确. 选项C.两个共线向量一定平行，正确. 选项D.相等向量一定共线. 故选：A. 7．已知AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足 ，若 ，则 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由题意根据向量的数量积求解. 【详解】 取中点，则， 所以，因为， 所以. 故选：A. 8．在 中，，，，点 是 外接圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量的内积运算得到，分别求得与，从而得解. 【详解】因为在 中，，，，则， 设的外接圆圆心为，则为的中点，， 如图所示，，    则， 其中， 设与的夹角为，则， 所以， 即当时，， 则的最大值为. 故选：D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．已知向量，且向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量为锐角的条件求出的取值范围，排除两个平面向量共线的情况即可得解. 【详解】向量， 因为向量与的夹角是锐角，所以， 因为，所以，即，解得， 当且时，，两向量夹角为不是锐角， 此时，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 10．若三点共线，则__________． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示，及向量共线的坐标表示，即可求解. 【详解】因为， 所以，， 又三点共线， 所以，即， 解得. 故答案为：. 11．已知平面向量满足，则的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据向量数量积运算律，，，令，对平方求的范围，即可求得最大值. 【详解】因为，设 的夹角为，， 则，， 令，， 则， 因为，所以， 所以，又因为， 所以， 所以的最大值是， 故答案为：. 12．已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设，，得到，求出取值范围. 【详解】设，，则， 故 ， 因为，所以， 故，. 故答案为： 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知向量，，与的夹角为． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，且，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的定义及向量内积、模的坐标表示，列方程可求解； （2）由向量共线可设，再根据向量线性运算及向量垂直的坐标表示，列方程可求解. 【详解】（1）由题意得： ，，， 又与的夹角为， 则有，解得或， 经检验时方程不成立， 所以，； （2）因为向量与向量共线，所以可设， 因为，所以， 所以，解得，所以． 14．已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)求与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的运算法则，结合已知条件逐步计算. （2）根据模长的概念，结合向量的运算法则，即可求解. （3）根据内积的定义，结合向量的运算法则，求解向量夹角. 【详解】（1）可化为， 由，，得 解得. （2）由（1）知， 即. （3）记与的夹角记为， 则， 又因为，所以. 15．已知向量，  . (1)若  ，求实数的值； (2)若向量，，求向量与的夹角的弧度数； (3)当取得最大值时，是否存在实数，使得 ? 请说明理由. 【答案】(1)或 (2) (3)存在实数，理由见解析 【分析】（1）根据平面向量相互垂直的坐标表示列方程求解. （2）根据平面向量平行的坐标表示列方程解出参数，然后求，两向量的夹角. （3）先根据取最大值求出，然后再根据列出方程，根据判别式得出有解，即存在. 【详解】（1）因为向量， 所以 . 由得， 即 ， 整理得， 解得或. （2）因为， 所以 . 由 ，可得   ， 解得：， 所以  ， 所以. 又， 所以. （3）解法一： 由向量知， 所以 . 当时，取得最大值，此时 . 若存在实数，使， 则， 又因为， 所以，      即 ， 因为， 所以方程有实数根. 故存在实数，使得. 解法二： 由向量知， 所以 ， 当时，取得最大值，此时 ， 因为， ， 若存在实数，使得， 则有， 整理得 ， 因为， 所以方程有实数根. 故存在实数，使得. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第9卷 平面向量 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 2．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 3．设是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．不与垂直 C． D． 4．已知向量，，若与共线，则等于（   ） A． B． C．-2 D．2 5．设向量满足及，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 7．已知AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足 ，若 ，则 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 8．在 中，，，，点 是 外接圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．已知向量，且向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_______． 10．若三点共线，则__________． 11．已知平面向量满足，则的最大值是__________. 12．已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是__________． 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知向量，，与的夹角为． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，且，求的坐标． 14．已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)求与的夹角. 15．已知向量，  . (1)若  ，求实数的值； (2)若向量，，求向量与的夹角的弧度数； (3)当取得最大值时，是否存在实数，使得 ? 请说明理由. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $