第13卷 圆锥曲线 2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线核心考点，以“一考一讲”模式构建“定义-方程-性质-应用”逻辑链条，适配职教高考即时检测需求 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|12题|离心率计算、标准方程求解、焦点三角形等基础应用|从定义推导到性质应用，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心关联| |解答题|3题|直线与圆锥曲线位置关系、综合证明等能力考查|以方程思想串联几何性质，强化运算能力与推理意识|

编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第13卷 圆锥曲线 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 2．若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一动点（异于左右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．设，若是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 7．椭圆，为原点，为右顶点，为椭圆上动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．可以为等腰直角三角形（） C．周长为 D．可以为正三角形 8．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线C于两点，交直线于点P．若，则与的面积之比为（    ）． A． B． C． D．1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．已知点是双曲线：的右一点，、是双曲线的左、右焦点，，，则双曲线的离心率为______． 10．已知是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，且PQ的倾斜角为，则_________． 11．椭圆长轴为10，点在椭圆上，F为焦点、且，M是PF的中点，则______________ 12．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足，则双曲线的离心率为__________. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知抛物线：（）的焦点为，直线：与抛物线交于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)记的中点为，求点的坐标； (3)抛物线上存在一点使得，求点的坐标. 14．如图，双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为，求：    (1)双曲线的标准方程； (2)设P是双曲线与椭圆在第一象限的交点，求的值． 15．已知椭圆的长轴长为4，且右准线方程为． (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)设为椭圆的上顶点，、为椭圆上异于点的任意两点，以线段为直径的圆恒过点．证明：直径过定点，并求定点坐标． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第13卷 圆锥曲线 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中三角函数关系，及双曲线的定义与离心率公式即可得解. 【详解】∵在中，， ∴，即， 点在双曲线右支商，由双曲线的定义知，， 所以，， 又∵，即，故， ∴离心率. 故选：B. 2．若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程得到渐近线方程，由圆方程得到圆心和半径，再根据圆心到渐近线的距离等于圆的半径，得到的关系，即可求解． 【详解】由双曲线可得双曲线的渐近线方程为，即， 由圆的方程可得圆心为，半径为2， 因为渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离， 即，所以，所以. 故选：B. 3．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解. 法一：设直线的参数方程为，其中t为参数， 代入椭圆方程可得：， 则， 则 故选：A. 法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得： ，整理得：， 设交点则有 则 故选：A. 4．椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一动点（异于左右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆焦点三角形周长得，面积最大值在短轴端点取得，即，结合 ，求解即可. 【详解】    因为的周长为，即， 所以， 又的底为，高为点纵坐标，即， 因为面积的最大值为，此时，即， 根据，代入得到， 即，解得（负值舍去）， 得到1，所以椭圆方程为. 故选：A． 5．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求出，再结合勾股定理求出，进而得到离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知，. 又，所以，. 因为，所以， 所以在中，，所以，， 故双曲线C的离心率.    故选：D. 6．设，若是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用焦点在轴上的双曲线方程的特点，列出不等式组，结合象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】是焦点在轴上的双曲线， 则，因为，则， 故选：. 7．椭圆，为原点，为右顶点，为椭圆上动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．可以为等腰直角三角形（） C．周长为 D．可以为正三角形 【答案】B 【分析】根据椭圆中三角形的面积判断A选项即可；根据得到验证B选项即可；根据椭圆中三角形的周长判断C选项即可；根据正三角形的条件判断点P的坐标即可判断D. 【详解】A选项，椭圆如图所示：   ， 因为为椭圆上动点， 所以，故的面积小于，故A选项错误； B选项，若为等腰直角三角形，且， 则，即点P在的中垂线上，    设点，则，， 由可得，， 即，可得， 因为点P在椭圆上， 则，即，可得， 故只需要满足椭圆中的条件， 即可得到为等腰直角三角形且，故B正确； C选项，周长为， 取点P为上顶点为，如图，    所以，， 则，故C选项错误； D选项，若为正三角形，则， 即点P在圆上， 联立，消y可得，， 可得，解得， 则点P的坐标为，此时点P与点O，点A三点共线，构不成三角形，故D选项错误. 故选：B. 8．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线C于两点，交直线于点P．若，则与的面积之比为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，并由抛物线的定义得出，即可确定与的面积之比 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则，， 由，得，即， 设中以为底的高为， 则为点到直线的距离， 中以为底的高为， 则为点到直线的距离， 所以，， 所以与的面积之比为． 故选：C.    二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．已知点是双曲线：的右一点，、是双曲线的左、右焦点，，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义及离心率公式求解即可. 【详解】设，由双曲线：可知，， 结合双曲线的定义可得：， 解得：，又因为， 所以，即， 所以， 所以离心率， 故答案为：. 10．已知是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，且PQ的倾斜角为，则_________． 【答案】16 【分析】利用双曲线的定义，列式整理即可得解. 【详解】由双曲线方程，知， 由双曲线的定义得，， 两式相加得，即. 故答案为：． 11．椭圆长轴为10，点在椭圆上，F为焦点、且，M是PF的中点，则______________ 【答案】3 【分析】根据椭圆的定义及几何性质，分析求解即可. 【详解】设椭圆的另一个焦点为， 由椭圆的定义可知，， 因为，所以， 又因为分别为中点， 所以， 故答案为：. 12．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据得到为等腰三角形，即可得到点的坐标，代入双曲线方程，即可求解离心率. 【详解】 因为分别为双曲线的左、右焦点， 所以， 因为， 所以为等腰三角形，即， 又，作轴， 即， 所以，代入双曲线， 得到，即， 可化为，即， 解得，又， 即，所以. 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知抛物线：（）的焦点为，直线：与抛物线交于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)记的中点为，求点的坐标； (3)抛物线上存在一点使得，求点的坐标. 【答案】(1). (2). (3)或. 【分析】（）根据题意结合抛物线的性质即可得解. （）设出点得到坐标，联立方程组结合韦达定理及中点坐标公式即可得解. （）根据题意得出，结合两条直线垂直斜率的关系求出的斜率进而求出的方程，联立方程组即可得解. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以抛物线方程为. （2）设点A，点B的坐标分别为，， ，得， 所以， 直线，则， 所以，所以， 所以Q的坐标为. （3）    根据题意作出图像，因为所以， 直线：，斜率为， 所以，则 所以直线MQ：， 由，得， ， 解得或， 当时，； 当时，； 所以M的坐标为或. 14．如图，双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为，求：    (1)双曲线的标准方程； (2)设P是双曲线与椭圆在第一象限的交点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆标准方程求焦点，再根据共同焦点求双曲线方程. （2）根据根据椭圆及双曲线的定义求，再根据余弦定理求解. 【详解】（1）在椭圆中， , , 则在双曲线中，, ， 双曲线的标准方程为. （2）在椭圆中，①， 在双曲线中，② 由①②得， 在，中 ． 15．已知椭圆的长轴长为4，且右准线方程为． (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)设为椭圆的上顶点，、为椭圆上异于点的任意两点，以线段为直径的圆恒过点．证明：直径过定点，并求定点坐标． 【答案】(1)， (2)证明见解析，定点 【分析】（1）由椭圆准线方程列出式子解得，进而得到椭圆方程和离心率； （2）分情况设出直线方程，联立椭圆方程，根据向量的垂直坐标表示结合韦达定理求出直线，即可得出直线过定点. 【详解】（1）已知椭圆的长轴长为4，即，所以． 其右准线方程，其中，解得，， 即离心率，椭圆的标准方程为． （2）已知，设， 当直线斜率存在时，设直线的方程为． 联立直线与椭圆方程，得：， 展开并整理得． 由韦达定理可得． 因为，以为直径的圆恒过点， 所以，则． 将代入上式得：， 整理得， 把代入上式： ， ， ， 即 ，因式分解得， 因为异于点，所以，解得． 所以直线的方程为，恒过定点． 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由可得，又， 联立求解发现无解，这种情况不成立． 综上，直线过定点． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $