专题32 空间中点、线、面的位置关系（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32 空间中点、线、面的位置关系 【复习目标】 1.分清空间内点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面五类基本位置关系。 2.掌握异面直线定义，能判断两条直线是否为异面直线，区分相交、平行、异面三种空间直线位置。 3.理解直线与平面平行、相交、在平面内的判定条件，熟记线面平行判定定理。 4.能结合正方体、长方体模型分析线、面位置，看懂立体几何示意图，区分实线与虚线代表的空间遮挡关系。 5.会判断充分、必要条件类立体几何题型，解决学考中判断线面、线线位置关系的选择题。 考点1 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点， 一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线． 【即时训练】 1．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．已知和是两个不同平面，，和没有公共点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知两个平面，，则“内有无数多个点到的距离相等”是“”的_____条件. 5．经过3个点能确定________个平面． 6．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 考点2 空间点、直线之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形语言 符号语言 a∥b 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 【即时训练】 7．若点平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 8．若两个平行平面与同一个平面相交，则所得的两条交线（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 9．如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B． C． D．或 10．在正方体中，异面直线与所成角的度数为________． 11．在正方体中，，异面直线与之间的距离等于_____. 12．异面直线所成角的取值范围是________________________. 考点3 空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线——同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 【即时训练】 13．下列说法正确的是（     ） A．平面的面积是 B．三个点可以确定一平面 C．空间两个平面有可能只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 14．直线与平面不平行，则（   ） A．与平行 B． C．与相交或 D．以上结论都不对 15．直线与平面平行的充要条件是（   ） A．直线上有无数个点不在平面内 B．直线与平面内的一条直线平行 C．直线与平面内的无数条直线都平行 D．直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 16．如图，在三棱锥中，平面. (1)异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） (2)若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； (3)若平面平面，证明：. 17．如图，在正方体中，分别为和的中点，求和所成角的大小.    18．用符号语言表示下列语句. (1)点A在平面内，点不在平面内； (2)直线在平面内，直线不在平面内. 考点4 异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 . 【即时训练】 19．如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线（ ） A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能 20．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ） A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定 21．关于平面的确定，下列说法正确的是（ ） A．两条平行的直线可以确定一个平面 B．空间三点可以确定一个平面 C．一点及一条直线可以确定一个平面 D．两条直线可以确定一个平面 22．在正方体－各棱所在直线中，分别指出与直线平行，相交，异面的直线． 23．在正方体中，已知，求异面直线与之间的距离. 24．在如图所示的正方体中，解答下列问题． (1)在该正方体的六个面所在的平面中，写出与直线垂直的平面； (2)判断直线是否与平面平行，并说明理由． 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第10题）如图，空间两条直线a，b的位置关系是__________（相交/平行/异面） 2.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第13题）直线a与直线b不在同一个平面内是直线a与直线b是异面直线的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第8题）如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（ ） A. 直线在平面内 B. 直线与平面相交但不垂直 C. 直线与平面垂直 D. 直线与平面平行 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32 空间中点、线、面的位置关系 【复习目标】 1.分清空间内点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面五类基本位置关系。 2.掌握异面直线定义，能判断两条直线是否为异面直线，区分相交、平行、异面三种空间直线位置。 3.理解直线与平面平行、相交、在平面内的判定条件，熟记线面平行判定定理。 4.能结合正方体、长方体模型分析线、面位置，看懂立体几何示意图，区分实线与虚线代表的空间遮挡关系。 5.会判断充分、必要条件类立体几何题型，解决学考中判断线面、线线位置关系的选择题。 考点1 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 【即时训练】 1．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，又，则就是异面直线与BD所成角或其补角，利用余弦定理推理求余弦值即可. 如图，因为和与底面所成的角分别为和， 所以，又， 则， ， 在长方体中，， 所以就是异面直线与BD所成角或其补角， 又， 由余弦定理，. 故选：B. 2．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 3．已知和是两个不同平面，，和没有公共点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据面面平行的定义判断即可得解. 【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行， 因此是的充要条件. 故选：C. 4．已知两个平面，，则“内有无数多个点到的距离相等”是“”的_____条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意利用平面与平面的位置关系及充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】若内有无数多个点到的距离相等，则平面与平面的位置关系可能是平行或相交，故充分性不成立； 若，则一定可以得到内有无数多个点到的距离相等，故必要性成立， 所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 5．经过3个点能确定________个平面． 【答案】1或无数 【分析】根据三个点是否共线分类，结合平面的基本性质即可判断经过三点的平面个数. 【详解】根据平面的基本性质： 当三个点在同一条直线上时，过一条直线可以作无数个平面，因此经过这三个共线点的平面有无数个； 当三个点不在同一条直线上时，经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面，因此经过这三个点的平面仅有1个； 综上，经过3个点能确定的平面个数为1个或无数个. 故答案为：1或无数. 6．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 【答案】相交或异面 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 考点2 空间点、直线之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形语言 符号语言 a∥b 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 【即时训练】 7．若点平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意利用平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】因为点平面，平面， 所以与相交于过点的一条直线， 所以与的位置关系是相交， 故选：. 8．若两个平行平面与同一个平面相交，则所得的两条交线（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】根据平面与平面平行的性质即可得解. 【详解】当两个平行平面同时与另一个平面相交时，它们的交线平行， 故选：B. 9．如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用直线与平面的位置关系即可得解. 【详解】因为，， 所以当时，时，符合条件， 当时，也符合条件， 所以与的位置关系是或， 故选：. 10．在正方体中，异面直线与所成角的度数为________． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角概念求解即可. 【详解】因为，所以异面直线与所成角为. 根据正方体知，. 故答案为：.    11．在正方体中，，异面直线与之间的距离等于_____. 【答案】1 【分析】根据异面直线之间的距离求解即可. 【详解】正方体如图所示：    在正方体中，，， ∴异面直线与之间的距离即为的长度， ∵， ∴异面直线与之间的距离等于1. 故答案为：1. 12．异面直线所成角的取值范围是________________________. 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义作答. 【详解】异面直线所成角是 “平移后相交直线的最小正角”，故范围为. 故答案为：. 考点3 空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线——同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 【即时训练】 13．下列说法正确的是（     ） A．平面的面积是 B．三个点可以确定一平面 C．空间两个平面有可能只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合平面的概念和基本性质，即可判断求解. 【详解】因为平面是没有大小的，故选项A说法错误； 不共线的三点确定一个平面，故选项B说法错误； 若空间两个平面相交，则交于一条直线，不可能只有一个公共点，故选项C说法错误； 过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面，故选项D正确； 故选：D. 14．直线与平面不平行，则（   ） A．与平行 B． C．与相交或 D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系即可得解. 【详解】当直线与平面不平行时，那么直线与平面相交或直线在平面内， 故选：C. 15．直线与平面平行的充要条件是（   ） A．直线上有无数个点不在平面内 B．直线与平面内的一条直线平行 C．直线与平面内的无数条直线都平行 D．直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】D 【分析】根据题意利用直线与平面平行的定义即可得解. 【详解】选项A，当直线与平面相交，交点只有 1 个，其余无数点都不在平面内，但直线不平行平面，错误； 选项B，当直线，此时直线和平面内直线平行，但直线不在平面外，不满足线面平行定义，错误； 选项C，当直线，平面内有无数直线和它平行，错误； 选项D，当直线与平面平行时，直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，正确. 故选：D. 16．如图，在三棱锥中，平面. (1)异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） (2)若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； (3)若平面平面，证明：. 【答案】(1) (2)3 (3)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可求解； （2）利用三棱锥的体积公式即可求解； （3）过点作于点，由面面垂直的性质定理得平面，进而得，再由线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的定义即可得证. （1）由平面，平面， 所以， 所以异面直线与所成角大小为； （2）由三棱锥的体积为， 所以； （3）过点作于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以. 17．如图，在正方体中，分别为和的中点，求和所成角的大小.    【答案】 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，即可解得. 【详解】因为正方体中， 平面，平面， 所以，即和所成角为. 18．用符号语言表示下列语句. (1)点A在平面内，点不在平面内； (2)直线在平面内，直线不在平面内. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合空间内点、面之间的关系，即可求解； （2）根据题意，结合空间内线、面之间的关系，即可求解. 【详解】（1）点A在平面内，点不在平面内，用符号语言表示为：； （2）直线在平面内，直线不在平面内，用符号语言表示为：. 考点4 异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【即时训练】 19．如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线（ ） A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据线面平行的性质定理即可得解. 【详解】如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行. 故选：. 20．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ） A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平面的性质即可求解 【详解】因为两点确定一条直线，不共线的三点可以确定一个平面，四点共面可以确定一个平面， 但像三棱锥那种不共面的四个顶点，可以确定四个平面. 故选：C. 21．关于平面的确定，下列说法正确的是（ ） A．两条平行的直线可以确定一个平面 B．空间三点可以确定一个平面 C．一点及一条直线可以确定一个平面 D．两条直线可以确定一个平面 【答案】A 【分析】根据平面的性质和确定平面的条件即可求解. 【详解】对A：根据性质：两条平行直线可以确定一个平面，故A项正确； 对B：任意不共线的三点可以确定一个平面，，故B项错误； 对C：一条直线和直线外一点可以确定一平面，故C项错误； 对D：两条相交或平行直线可以确定一个平面，故D项错误. 故选：A 22．在正方体－各棱所在直线中，分别指出与直线平行，相交，异面的直线． 【答案】答案见解析 【分析】由空间中平行、相交、异面直线的定义，结合正方体的性质判断即可. 【详解】如图，由正方体的性质可知， 在正方体－各棱所在直线中， 与直线平行的直线有：； 与直线相交的直线有：； 与直线异面的直线有：. 23．在正方体中，已知，求异面直线与之间的距离. 【答案】1 【分析】根据题意，结合异面直线之间的距离的定义，即可求解. 【详解】因为在正方体中， ,， 所以垂线段是异面直线与之间的距离， 又， 所以异面直线与之间的距离是1. 24．在如图所示的正方体中，解答下列问题． (1)在该正方体的六个面所在的平面中，写出与直线垂直的平面； (2)判断直线是否与平面平行，并说明理由． 【答案】(1)平面和平面 (2)平面；证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质和线面垂直的判定易得答案； （2）根据线面平行的判断易证答案. 【详解】（1）在该正方体的六个面所在的平面中，与直线垂直的平面为平面，平面； （2）平面平行. 因为正方体， 所以四边形是正方形，故， 因为平面，平面， 所以平面. 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第10题）如图，空间两条直线a，b的位置关系是__________（相交/平行/异面） 【答案】异面 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理填写. 【详解】由图可知，直线与平面相交于一点，直线在平面内且不经过交点，根据异面直线判定定理，直线为异面直线. 故答案为：异面. 2.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第13题）直线a与直线b不在同一个平面内是直线a与直线b是异面直线的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线的定义即可判断． 【详解】若直线a与直线b不在同一个平面内，则它们为异面直线， 若直线a与直线b是异面直线，则它们不在同一个平面， 所以直线a与直线b不在同一个平面内是直线a与直线b是异面直线的充要条件. 故选：C． 3.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第8题）如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（ ） A. 直线在平面内 B. 直线与平面相交但不垂直 C. 直线与平面垂直 D. 直线与平面平行 【答案】D 【解析】 【分析】连接，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理可得平面. 【详解】如图，连接， 在正方体中，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $