专题30 空间几何体的结构（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题30 空间几何体的结构 【复习目标】 1.能识别柱、锥、球、旋转体（圆柱、圆锥）等常见空间几何体，熟记各类几何体定义。 2.分清圆柱、圆锥的形成方式，掌握它们侧面展开图形状，区分易混淆几何体特征。 3.掌握长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，能直接代入数据进行基础求值。 4.能辨析空间几何体相关判断题型，纠正侧面展开图、旋转轴相关易错知识点。 5.能应对学考选择、填空基础题型，准确判断几何体类型、辨别公式与图形描述正误。 考点1 多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都 ，上下底面是全等且平行的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是 ． 【即时训练】 1．关于空间几何体的特征，下列说法不正确的是 （    ） A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱锥的侧棱长都相等 C．圆柱的高和母线相等 D．球的截面半径不一定相等 2．给出下列命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. ②底面是正方形的棱柱是正棱柱. ③圆柱的轴截面是一个矩形.其中正确的个数有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（　　） A． B． C． D． 4．在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数为________个. 5．一个长方体的长、宽、高之比为，且体对角线长为，则该长方体的体积为________. 6．设球的半径为R，则过球面上两点的截面与球面相交所得的圆中，最大面积是多少？ 7． 正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，求此正四棱锥的斜高和高. 考点2 旋转体的结构特征 (1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到． (2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到． 【即时训练】 8．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是（　　） A． B． C． D． 9．长方体中，与垂直的平面是（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．圆锥底面半径4，母线长5，则圆锥的高为（   ） A．3 B． C．9 D．20 11．已知正四棱锥的底面边长为4，斜高为，则该棱锥的侧棱长为__________. 12．已知一个球的表面积为，用一个平面去截该球，若截面圆的面积为，求： (1)球的半径； (2)截面圆的半径； (3)球心到截面的距离. 考点3 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括 ． 【即时训练】 13．正四棱柱的底面边长为，高为，则其体对角线长为（     ） A． B． C． D． 14．一个正方体的外接球半径为，则该正方体的体积为（     ） A．8 B．16 C．27 D．64 15．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为_______． 16．某圆锥的底面半径，母线长. (1)求圆锥的高； (2)求圆锥的侧面积； (3)求圆锥的体积. 考点4 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面　积 体　积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 【即时训练】 17．用斜二测画法画水平放置的边长为的正三角形的直观图，所得直观图的面积为（     ） A． B． C． D． 18．用斜二测画法画水平放置的正方形，若原正方形的边长为2，则在直观图中与x轴平行的边长为（     ） A．1 B．2 C． D． 19．圆锥的底面半径为4，高为3，则圆锥的母线长是 __________. 20．某圆锥的底面半径为r，母线长为. (1)求圆锥的高； (2)求圆锥的侧面积（用r表示）； (3)若，求圆锥的体积. 考点5 几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． 【即时训练】 21．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 22．已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的面积为，且球心到截面的距离为，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．长方体有________个面. 24．已知一个长方体的长、宽、高分别为4、3、2，求： (1)该长方体的表面积； (2)该长方体的体积； (3)该长方体的体对角线长. 1.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第5题）已知长方体的长为5，宽为4，高为3，则该长方体的体积是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 60 2.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第6题）下列选项正确的是（ ） A. 圆锥的体积公式是 B. 圆锥的侧面展开图为三角形 C. 圆柱的体积公式为 D. 圆柱的侧面展开为圆形 3.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）以矩形一条边所在的直线为旋转轴，其余各边绕旋转轴旋转形成的封闭几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 棱柱 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题30 空间几何体的结构 【复习目标】 1.能识别柱、锥、球、旋转体（圆柱、圆锥）等常见空间几何体，熟记各类几何体定义。 2.分清圆柱、圆锥的形成方式，掌握它们侧面展开图形状，区分易混淆几何体特征。 3.掌握长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，能直接代入数据进行基础求值。 4.能辨析空间几何体相关判断题型，纠正侧面展开图、旋转轴相关易错知识点。 5.能应对学考选择、填空基础题型，准确判断几何体类型、辨别公式与图形描述正误。 考点1 多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 【即时训练】 1．关于空间几何体的特征，下列说法不正确的是 （    ） A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱锥的侧棱长都相等 C．圆柱的高和母线相等 D．球的截面半径不一定相等 【答案】B 【分析】根据棱柱，棱锥，圆柱，球的几何特征逐项分析即可. 【详解】A. 棱柱的侧棱长都相等，故A正确， B. 棱锥的侧棱长不一定相等， 只有正棱锥才相等，一般棱锥侧棱不一定等长，故B错误， C. 圆柱的高和母线相等，故C正确， D. 球的截面半径不一定相等 ，故D正确， 故选：B. 2．给出下列命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. ②底面是正方形的棱柱是正棱柱. ③圆柱的轴截面是一个矩形.其中正确的个数有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据直棱柱、正棱柱及圆柱的轴截面的定义即可依次判断. 【详解】对于①，当这两个矩形的侧面平行时，也有可能是斜棱柱，故错误； 对于②，因为底面是正方形的直棱柱称为正棱柱，故错误； 对于③，圆柱的轴截面是矩形，故正确. 故选：B 3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的内切球的几何特征及球的体积公式可求解. 【详解】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的， 故球的直径为2，半径为1， 所以其体积. 故选：A 4．在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数为________个. 【答案】2 【分析】根据长方体的性质即可解得. 【详解】    长方体的六个面中， 平面，平面， 平面，平面， 平面，平面， 所以与直线垂直的面有2个. 故答案为：2 5．一个长方体的长、宽、高之比为，且体对角线长为，则该长方体的体积为________. 【答案】6 【分析】根据题意利用体对角线公式求出长宽高，代入棱柱体积公式即可得解. 【详解】长方体的长、宽、高之比为， 设长宽高分别为， 则，解得或（舍）， 所以长为，宽为，高为， 则体积为， 故答案为：. 6．设球的半径为R，则过球面上两点的截面与球面相交所得的圆中，最大面积是多少？ 【答案】 【分析】根据过球面上两点的截面圆，当截面过球心时面积最大，半径为 ，再由圆的面积公式即可解答. 【详解】截面圆面积 ，其中 为截面圆半径，满足 ， 当截面过球心，时，面积最大， 最大为. 7．正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，求此正四棱锥的斜高和高. 【答案】斜高为，正四棱锥的高为. 【分析】根据题意利用棱锥的性质即可得解. 【详解】根据题意可知，四棱锥的底面边长为，侧棱， 底面正四边形对角线的一半， 此正四棱锥的高为， 斜高为. 考点2 旋转体的结构特征 (1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到． (2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到． 【即时训练】 8．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的底面周长公式求值即可. 【详解】由题意知，正方形绕一边所在的直线旋转一周， 得到的几何体为圆柱，圆柱的底面半径为正方形的边长， 故底面周长为， 故选：C. 9．长方体中，与垂直的平面是（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据题意利用长方体的性质即可得解. 【详解】    根据长方体的性质，与垂直的平面是平面和平面， 平面，平面，平面， 选项A正确，选项BCD错误， 故选：A. 10．圆锥底面半径4，母线长5，则圆锥的高为（   ） A．3 B． C．9 D．20 【答案】A 【分析】根据题意利用圆锥的性质即可得解. 【详解】圆锥底面半径4，母线长5， 则圆锥的高为， 故选：. 11．已知正四棱锥的底面边长为4，斜高为，则该棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【分析】根据正四棱锥的结构特征即可求解. 【详解】因为正四棱锥的底面边长为4，斜高为， 所以正四棱锥的侧棱长为. 故答案为：. 12．已知一个球的表面积为，用一个平面去截该球，若截面圆的面积为，求： (1)球的半径； (2)截面圆的半径； (3)球心到截面的距离. 【答案】(1)5 (2)3 (3)4 【分析】（1）根据球的表面积公式即可求解. （2）根据圆的面积公式即可求解. （3）根据球截面的性质即可求解. 【详解】（1）设球的半径为R，因为球的表面积为， 即，解得. （2）设截面圆的半径为r,因为截面圆的面积为， 即，解得. （3）因为球的半径为5，截面圆的半径为3， 所以球心到截面的距离为. 考点3 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图． 【即时训练】 13．正四棱柱的底面边长为，高为，则其体对角线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱的体对角线公式即可得解. 【详解】正四棱柱的底面边长为，高为， 则其体对角线长为， 故选：. 14．一个正方体的外接球半径为，则该正方体的体积为（     ） A．8 B．16 C．27 D．64 【答案】A 【分析】根据正方体外接球的性质、正方体体积求解即可. 【详解】设棱长为. 因为一个正方体的外接球半径为，则，解得. 则体积为. 故选：A. 15．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为_______． 【答案】 【分析】根据正四棱锥的性质求出高，代入棱锥的体积公式即可得解. 【详解】如图，正四棱锥，为底面对角线的交点，    因为正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2， 所以底面对角线， 正四棱锥的高为， 正四棱锥的底面面积为， 因此，该正四棱锥的体积为， 故答案为：. 16．某圆锥的底面半径，母线长. (1)求圆锥的高； (2)求圆锥的侧面积； (3)求圆锥的体积. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）根据题意结合圆锥的性质即可得解. （）根据圆锥的侧面积公式即可得解. （）根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）圆锥的底面半径，母线长， 则高. （2）圆锥的底面半径，母线长， 圆锥的侧面积为. （3）圆锥的底面半径，所以底面面积为， 圆锥高为， 所以圆锥的体积为. 考点4 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面　积 体　积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 【即时训练】 17．用斜二测画法画水平放置的边长为的正三角形的直观图，所得直观图的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法中直观图的面积与原图面积的关系列式即可求解. 【详解】因为三角形的边长为，所以三角形的面积为， 在斜二测法中，直观图的面积与原图面积之比为， 所以直观图的面积为. 故选：A. 18．用斜二测画法画水平放置的正方形，若原正方形的边长为2，则在直观图中与x轴平行的边长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的定义求解即可. 【详解】因为斜二测画法中，平行于轴的线段长度保持不变， 所以在直观图中与x轴平行的边长为. 故选：B. 19．圆锥的底面半径为4，高为3，则圆锥的母线长是 __________. 【答案】5 【分析】根据勾股定理以及圆锥的结构特点求解即可. 【详解】圆锥的母线、底面半径和高组成了一个直角三角形， 根据勾股定理，. 故答案为：5. 20．某圆锥的底面半径为r，母线长为. (1)求圆锥的高； (2)求圆锥的侧面积（用r表示）； (3)若，求圆锥的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据圆锥中母线，高和底面半径之间的关系即可解答. （2）根据圆锥的侧面积列式即可. （3）根据圆锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）已知圆锥的底面半径为r，母线长为， 则圆锥的高为. （2）. （3）. 考点5 几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． 【即时训练】 21．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的轴截面性质与圆锥的体积公式即可求解. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为4的正三角形， 则三角形的高为， 所以圆锥底面圆的直径为4，则底面圆的半径为2， 圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：A. 22．已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的面积为，且球心到截面的距离为，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设圆的半径为，根据已知条件求出圆的半径，再利用球的截面性质即可求解. 【详解】设圆的半径为，因为圆的面积为， 所以圆的半径为，又球心到截面的距离为， 则. 故选：C. 23．长方体有________个面. 【答案】6 【分析】根据长方体的结构特征即可得解. 【详解】根据长方体的结构特征可知，长方体有6个面. 故答案为：6. 24．已知一个长方体的长、宽、高分别为4、3、2，求： (1)该长方体的表面积； (2)该长方体的体积； (3)该长方体的体对角线长. 【答案】(1)52 (2)24 (3) 【分析】（1）根据长方体的表面积公式求解即可； （2）根据长方体的体积公式求解即可； （3）根据长方体的体对角线公式求解即可； 【详解】（1）因为长方体的长、宽、高分别为4、3、2， 所以表面积. （2）因为长方体的长、宽、高分别为4、3、2， 所以体积. （3）因为长方体的长、宽、高分别为4、3、2， 所以体对角线. 1.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第5题）已知长方体的长为5，宽为4，高为3，则该长方体的体积是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用长方体的体积公式即可得解. 【详解】因为长方体的长为5，宽为4，高为3， 所以该长方体的体积为. 故选：D. 2.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第6题）下列选项正确的是（ ） A. 圆锥的体积公式是 B. 圆锥的侧面展开图为三角形 C. 圆柱的体积公式为 D. 圆柱的侧面展开为圆形 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥圆柱的体积公式及圆柱圆锥的性质即可得解. 【详解】圆锥的体积公式为，故选项错误； 圆锥的侧面展开图为扇形，故选项错误； 圆柱的体积公式为，故选项正确； 圆柱的侧面展开图为矩形，故选项错误， 故选：. 3.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）以矩形一条边所在的直线为旋转轴，其余各边绕旋转轴旋转形成的封闭几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】由圆柱的定义可得结果. 【详解】由圆柱的定义，以矩形的一条边所在直线为旋转轴， 其余各边绕旋转轴旋转所围成的旋转体为圆柱. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $