专题29 直线与圆（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题29 直线与圆 【复习目标】 1.会根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆相离、相切、相交三种位置关系。 2.掌握直线与圆相切的核心条件：圆心到直线距离等于半径，能利用该条件求解直线、圆方程中的参数。 3.已知直线与圆相交，熟练运用垂径定理、勾股定理计算弦长。 4.能结合圆的方程、直线方程联立方程组，通过解方程组判断交点个数。 5.可以解决直线与圆综合类选择、填空题，规范完成距离、弦长、参数求解计算。 考点1 直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ． 　　　　方法 位置关系　　　　 几何法 代数法 相交 D r Δ_ 0 相切 d_ r Δ_ 0 相离 d_ r Δ_ _0 【即时训练】 1．与轴平行，且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线被圆截得的弦长等于（    ）． A． B．2 C． D．1 3．已知圆，直线，则直线和圆的位置关系为（   ）． A．相切 B．相离 C．相交过圆心 D．相交不过圆心 4．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且直线过圆心 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相离 5．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交不过圆心 D．相交过圆心 6．直线与圆的交点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．直线与圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断 8．若直线与圆相切，则等于（   ） A．3 B． C．9 D．10 9．若轴与圆相切，则（ ） A． B． C． D． 10．圆与直线的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 11．若直线：（）与圆：相切，则（ ） A．9 B．9或 C． D．1 12．若直线平分圆的周长，则（ ） A．4 B．2 C．1 D． 13．过圆上一点的切线方程为__________. 14．已知点在圆：上，点在直线上，则最小值是________. 15．若直线与圆有交点，则的取值范围是________. 16．轴被圆截得的弦长为______． 17．过点作圆的切线，切线方程为__________. 18．圆C的半径为2，且圆心C到直线l的距离为5，则圆C与直线l的位置关系为_____. 19．求曲线与直线的交点坐标． 20． 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离? 21．已知船舶在海上航行的路线为直线，海中有一片圆形暗礁区域，其边界所在圆以为圆心，圆上一点坐标为. (1)求圆的标准方程； (2)当船舶按直线航行时，是否会有触礁危险？ 22.已知圆O：，判断过点与圆有几条切线，并求出切线方程. 23．求满足下列条件的圆的切线方程： (1)经过点； (2)过点． 24． 求直线被曲线所截得的弦长. 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第14题）圆心与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第21题）已知直线与圆 相切，直线 与圆C相交于两点，则弦长度是________________ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题29 直线与圆 【复习目标】 1.会根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆相离、相切、相交三种位置关系。 2.掌握直线与圆相切的核心条件：圆心到直线距离等于半径，能利用该条件求解直线、圆方程中的参数。 3.已知直线与圆相交，熟练运用垂径定理、勾股定理计算弦长。 4.能结合圆的方程、直线方程联立方程组，通过解方程组判断交点个数。 5.可以解决直线与圆综合类选择、填空题，规范完成距离、弦长、参数求解计算。 考点1 直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ． 　　　　方法 位置关系　　　　 几何法 代数法 相交 d__＜__r Δ__＞__0 相切 d__＝__r Δ__＝__0 相离 d__＞__r Δ__＜__0 【即时训练】 1．与轴平行，且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线与轴平行的特征确定直线方程为的形式，再结合直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径求解，即可得到答案. 【详解】因为该直线与轴平行，设直线方程为， 且圆中，圆心为， 半径，由圆心到直线的距离为， 得，解得， 所以所求直线方程为， 故选：C. 2．直线被圆截得的弦长等于（    ）． A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，最后代入弦长公式求解即可. 【详解】因为圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离为： ， 所以直线被圆截得的弦长. 故选：C. 3．已知圆，直线，则直线和圆的位置关系为（   ）． A．相切 B．相离 C．相交过圆心 D．相交不过圆心 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后与半径比较即可. 【详解】因为圆，所以其圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 因为，所以直线和圆的位置关系为相离. 故选：B. 4．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且直线过圆心 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相离 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，根据与半径的大小关系可判断结果. 【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，且， 所以直线与圆相交但直线不过圆心. 故选：C. 5．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交不过圆心 D．相交过圆心 【答案】C 【分析】根据题意求出圆心到直线的距离即可得解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 且， 所以直线与圆的位置关系为相交且不过圆心， 故选：. 6．直线与圆的交点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】对于圆化为标准方程为：， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，此时直线与圆有个交点. 故选：C. 7．直线与圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较大小判断直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】由圆可知圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 又，所以直线与圆相交， 所以直线与圆的交点个数为2. 故选：C. 8．若直线与圆相切，则等于（   ） A．3 B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式分析求解即可. 【详解】因为圆的方程为：，所以圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 所以半径. 故选：A. 9．若轴与圆相切，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切可得出的值. 圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以， 故选：A． 10．圆与直线的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 11．若直线：（）与圆：相切，则（ ） A．9 B．9或 C． D．1 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案. 因为，圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 因为直线和圆相切，所以，解得或. 故选：B 12．若直线平分圆的周长，则（ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据圆的对称性可知圆心在直线上，即可代入求解. 由题意可得圆心位于直线上，即，解得. 故选:D. 13．过圆上一点的切线方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆上一点处的切线方程为即可解答. 【详解】由，可得， 则过点的切线方程为，即， 故答案为：. 14．已知点在圆：上，点在直线上，则最小值是________. 【答案】 【分析】根据圆心到直线的距离减去半径即为的最小值求解即可. 【详解】由圆：可知圆心为，半径为， 则直线到圆心的距离为， 因为点A在圆上，点B在直线上， 所以最小值等于圆心到直线的距离减去半径， 即. 故答案为：. 15．若直线与圆有交点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】直线与圆有交点，相当于圆心到直线的距离小于等于半径，据此即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离：， 令， 则的取值范围是， 故答案为： 16．轴被圆截得的弦长为______． 【答案】2 【分析】求圆与轴的交点，可得弦长. 已知圆：，令得：或. 所以圆与轴的交点坐标为：，. 所以弦长为：. 故答案为：2 17．过点作圆的切线，切线方程为__________. 【答案】或 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 由，可得圆的圆心，半径为， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为，易得直线与圆相切， 当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为， 所以切线方程为或． 故答案为：或． 18．圆C的半径为2，且圆心C到直线l的距离为5，则圆C与直线l的位置关系为_____. 【答案】相离 【分析】根据的关系即可求解. 设半径和圆心到直线的距离分别为，由于， 故直线与圆相离， 故答案为：相离 19．求曲线与直线的交点坐标． 【答案】或 【分析】根据题意，联立圆与直线的方程，变形可得，通过计算可得x的值，然后代入直线方程可得y的值，最后即可得答案． 根据题意，由，得， 整理得：，解得或， 再将或带入中可得或， 所以曲线与直线的交点坐标为或． 【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆与方程的关系，可通过直接联立圆与直线的方程求解，考查计算能力，是基础题． 20．当为何值时，直线与圆相交、相切、相离? 【答案】答案见解析 【分析】首先由圆的方程确定圆心和半径，再由圆心到直线的距离和半径大小列不等式求解即可. 【详解】已知圆，圆心为，半径为， 又直线，即， 则圆心到直线的距离为， 若该直线与圆相交，则，解得， 若该直线与圆相切，则，解得， 该直线与圆相离，则，解得或， 综上所述，当时，直线与圆相交， 当时，直线与圆相切， 当或直线与圆相离. 21．已知船舶在海上航行的路线为直线，海中有一片圆形暗礁区域，其边界所在圆以为圆心，圆上一点坐标为. (1)求圆的标准方程； (2)当船舶按直线航行时，是否会有触礁危险？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】（1）先根据圆心和圆上点坐标计算半径，然后直接求出圆的标准方程； （2）利用圆心与直线的距离判断圆与直线的位置关系可知. 【详解】（1）因为圆以为圆心，圆上一点坐标为， 所以圆的半径为， 得到圆的标准方程为. （2）圆心到直线的距离为， 即该直线与圆相离，所以不会有触礁危险. 22．已知圆O：，判断过点与圆有几条切线，并求出切线方程. 【答案】 有两条切线，切线方程为或. 【分析】根据点与圆的位置关系判断有几条切线，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可. 【详解】将代入圆的方程有，所以点Q在圆外，有两条切线. 设切线的斜率为，则切线方程为：, 则, 又圆心到直线的距离等于半径1，所以， ，解得， 所以切线方程为或. 23．求满足下列条件的圆的切线方程： (1)经过点； (2)过点． 【答案】(1) ； (2)或 ． 【分析】（1）根据题意可得点在圆上，利用垂直关系可得切线的斜率，再根据点斜式方程即可求解. （2）解法一：分类讨论，当切线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求解. 解法二：先设出切点，再根据切线方程，结合题意即可求解. 【详解】（1）由题意得，点在圆上，点与圆心连线所在直线的斜率为， 因为点与圆心连线所在直线与切线垂直，所以切线的斜率为， 则所求切线方程为，即． （2），∴点Q在圆外． 解法一：当斜率不存在时，，不合题意，舍去. 当斜率存在时，设切线方程为，即． 直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径， ，∴所求切线方程为． 解法二：设切点为，则过点M的切线方程为， 点在切线上，①， 又在圆上，②， 联立①②解得或 所求切线方程为或， 即或． 24．求直线被曲线所截得的弦长. 【答案】 【分析】根据题意，将圆的一般式转化为标准方程，求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理，即可求解. 【详解】由题意，曲线，可化为， 所以该曲线是圆心为，半径的圆， 又圆心到直线的距离， 所以弦长. 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第14题）圆心与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线距离为圆的半径可求解半径，再由圆心坐标和圆的半径即可求解圆的方程. 【详解】因为圆心为，直线为，且直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：D. 2.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第21题）已知直线与圆 相切，直线 与圆C相交于两点，则弦长度是________________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用直线与圆相切的性质求解参数，舍去直线与圆相离的值后，结合弦长公式计算弦的长度 【详解】已知圆 ， 则圆心为，半径为， 由该圆与直线相切， 得， 解得或， 当时，直线 ， 圆心到该直线的距离为，直线与圆相交， 则弦长度是， 当时，直线 ， 圆心到该直线的距离为，直线与圆相离，不符合题意，舍去， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $