专题28 圆的方程（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题28 圆的方程 【复习目标】 1.掌握圆的标准方程，能准确识别圆心坐标与半径，会根据圆心、半径直接写出圆的标准方程。 2.掌握圆的一般方程，能将一般方程化为标准方程，求解圆心与半径。 3.已知点在圆上，会代入圆的方程求解方程中的未知参数。 4.能结合两点间距离公式求半径，结合中点公式确定圆心，推导圆的方程。 5.会利用直径两端点坐标求圆心与半径，写出对应圆的方程，熟练完成学考基础题型计算。 考点1 圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 【即时训练】 1．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知圆心坐标，圆与x轴相切，即半径为圆心到x轴的距离，代入圆的标准方程即可得解. 【详解】已知为圆心，且与轴相切，则圆的半径为2， 所以圆的标准方程为. 故选：C. 2．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．，5 B．，5 C．，25 D．，25 【答案】A 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径即可. 【详解】已知圆， 则圆心为，， 所以半径为， 故选：A. 3．已知圆，则圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法将圆的一般方程转化为标准方程，根据标准方程的结构直接读取圆心坐标. 【详解】已知圆的一般方程为，配方得， 因此圆心为. 故选：C. 4．圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心坐标即可. 【详解】圆的圆心坐标是， 故选：A. 5．圆的半径________. 【答案】3 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，再求半径即可. 【详解】圆配方得，因此半径为. 故答案为：3. 6．到定点的距离等于3的点的轨迹方程为____________________. 【答案】 【分析】根据题意结合圆的定义得出圆心坐标及半径即可得解. 【详解】到定点的距离等于3的点的轨迹为圆， 且圆心坐标为，半径为， 则圆的方程为， 故答案为：. 7．已知圆的方程为，求： (1)该圆的圆心坐标和半径； (2)判断点M与圆的位置关系． 【答案】(1)圆心坐标，半径为5 (2)在圆内 【分析】（1）利用配方法将圆的一般方程转化为标准方程，求出圆心以及半径即可. （2）根据点到圆心的距离与半径比较，得到点与圆的位置关系即可. 【详解】（1）圆的方程为，配方得，因此圆心为，半径为. （2）点M到圆心的距离，故点在圆内. 8．已知点，，求以点为圆心，为半径的圆的标准方程. 【答案】 【分析】首先由两点之间的距离公式求出半径，再由圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】因为点，， 则， 即. 所以圆的标准方程为. 考点2 点与圆的位置关系 (1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内． 【即时训练】 9．已知圆，则圆C的圆心和半径分别为（     ） A．，3 B．，3 C．，9 D．，9 【答案】A 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得出圆心坐标和半径. 【详解】已知圆的方程为，即， 可知圆心坐标为，半径， 故选：A. 10．圆的圆心坐标和半径分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解. 【详解】将圆化为标准方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为2. 故选：A. 11．圆与x轴的交点坐标为（     ） A． B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】令，代入圆的方程，求出交点坐标即可. 【详解】令代入圆方程，得，解得，则交点为. 故选：A. 12．圆心为，半径为的圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心和半径写出圆的标准方程即可得解. 【详解】圆心为，半径为的圆的标准方程为， 故选：. 13．圆的圆心坐标为_________；半径为________； 【答案】 2 【分析】根据圆的一般方程直接求解即可. 【详解】在圆中，， 圆心坐标为即，半径， 故答案为：，2． 14．圆的一般方程化为标准方程为__________. 【答案】 【分析】根据配方法转化即可. 【详解】配方， 即. 故答案为：. 15．若圆的半径为1，求F的值. 【答案】 【分析】将一般式方程化为标准方程，再根据半径求解即可. 原方程可化为标准方程得：， 所以，解得. 故答案为： 16．已知点在圆内，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由点与圆的位置关系可得答案. 由题知， 解得. 故答案为： 考点3 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　 　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d＞r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【即时训练】 17．已知圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程求解半径和圆心即可. 【详解】因为圆的方程为：， 所以， 所以圆心坐标为， 半径， 故选：A. 18．直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线距离，故直线与圆相交. 故选：C. 19．点与圆的位置关系是（     ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据点到圆心的距离与半径比较，求出点与圆的位置关系 【详解】圆的圆心为，半径为. 点到圆心的距离，因此点P在圆上. 故选：B. 20．若过点的直线与圆相切于点，则切线长等于（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式求出的值，又，则为直角三角形，根据勾股定理即可求解. 【详解】由圆的方程可得圆心为，半径为， 因为， 又，则为直角三角形， 所以. 故选：A.    21．圆的圆心坐标为________. 【答案】 【分析】由圆的标准方程直接写出圆心坐标即可. 【详解】圆的圆心坐标为. 故答案为：. 22．圆的半径为________. 【答案】 【分析】将圆的一般方程通过配方法转化为标准方程，即可得到半径. 【详解】由可得：， 则该圆的圆心为，半径为. 故答案为：. 23．已知直线，圆C： (1)求圆C的圆心坐标和半径： (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)圆心坐标，半径为2 (2)相交，理由见解析 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心坐标与半径即可； （2）根据圆心到直线的距离与半径的比较判断即可. 【详解】（1）因为圆C： 所以圆心坐标为，半径为. （2）因为圆心到直线的距离为， 所以，即直线与圆相交. 24．是圆C的方程，求圆心坐标和半径． 【答案】圆心坐标为，半径为1 【分析】根据题意，将圆的一般式转化为标准式，即可求解. 【详解】因为圆C的方程是，配方得， 即， 所以圆心坐标为，半径． 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第14题）圆心与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线距离为圆的半径可求解半径，再由圆心坐标和圆的半径即可求解圆的方程. 【详解】因为圆心为，直线为，且直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：D. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）如图所示，圆是圆的任意直径；圆，点是圆上的任意一点 （1）圆的圆心坐标和半径； （2）的值； （3）的最小值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程得到其圆心与半径即可得解； （2）利用向量减法的几何应用，结合圆的直径长即可得解； （3）利用向量混合运算的几何应用，将问题转化为圆上的点到圆心距离的最小值，再求得圆的圆心与半径，进而得到，从而得解. 【小问1详解】 因为圆， 所以其圆心坐标，半径为. 【小问2详解】 因为圆是圆的任意直径，则， 所以. 【小问3详解】 连接，如图， 因为，又， 所以，则， 则问题转化为求的最小值，即圆上的点到圆心距离的最小值， 由圆，可知圆心，其半径为， 则，故， 此时点为圆与轴的右交点，故的最小值为. 3.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第5题）已知，点在圆上，则D的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入圆的方程即可求解D的值. 【详解】∵，且点在圆上， ∴，解得. 故选：A. 4.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第14题）已知点，，在圆上，，，圆心，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出圆心坐标及半径即可得解. 【详解】点，，在圆上，，所以为直径，且， 所以半径为，又因为圆心， 则圆的方程为， 故选：. 5.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第6题）圆 的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求解即可. 【详解】圆 的圆心坐标是. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题28 圆的方程 【复习目标】 1.掌握圆的标准方程，能准确识别圆心坐标与半径，会根据圆心、半径直接写出圆的标准方程。 2.掌握圆的一般方程，能将一般方程化为标准方程，求解圆心与半径。 3.已知点在圆上，会代入圆的方程求解方程中的未知参数。 4.能结合两点间距离公式求半径，结合中点公式确定圆心，推导圆的方程。 5.会利用直径两端点坐标求圆心与半径，写出对应圆的方程，熟练完成学考基础题型计算。 考点1 圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 【即时训练】 1．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．，5 B．，5 C．，25 D．，25 3．已知圆，则圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 4．圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 5．圆的半径________. 6．到定点的距离等于3的点的轨迹方程为____________________. 7．已知圆的方程为，求： (1)该圆的圆心坐标和半径； (2)判断点M与圆的位置关系． 8． 已知点，，求以点为圆心，为半径的圆的标准方程. 考点2 点与圆的位置关系 (1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在 ； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在 ； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在 ． 【即时训练】 9．已知圆，则圆C的圆心和半径分别为（     ） A．，3 B．，3 C．，9 D．，9 10．圆的圆心坐标和半径分别为（     ） A． B． C． D． 11．圆与x轴的交点坐标为（     ） A． B． C．和 D．和 12．圆心为，半径为的圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 13．圆的圆心坐标为_________；半径为________； 14．圆的一般方程化为标准方程为__________. 15．若圆的半径为1，求F的值. 16． 已知点在圆内，求实数的取值范围. 考点3 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　 　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d＞r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【即时训练】 17．已知圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（     ） A． B． C． D． 18．直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 19．点与圆的位置关系是（     ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法判断 20．若过点的直线与圆相切于点，则切线长等于（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 22．圆的半径为________. 23．已知直线，圆C： (1)求圆C的圆心坐标和半径： (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 24． 是圆C的方程，求圆心坐标和半径． 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第14题）圆心与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）如图所示，圆是圆的任意直径；圆，点是圆上的任意一点 （1）圆的圆心坐标和半径； （2）的值； （3）的最小值 3.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第5题）已知，点在圆上，则D的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第14题）已知点，，在圆上，，，圆心，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第6题）圆 的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $