专题27 直线与直线位置关系（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 直线与直线位置关系 【复习目标】 1.掌握两条直线平行、垂直的斜率判定条件，能根据直线方程判断两直线位置关系。 2.已知直线平行或垂直，会列式求解直线解析式中的参数。 3.能区分重合、平行、相交、垂直四种直线位置关系，清楚各自满足的条件。 4.会结合直线一般式，不计算斜率直接判断平行与垂直。 5.能解决学考中判断位置关系、求参数的选择、填空题。 考点1 两条直线的位置关系 1. 两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2. 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线 ． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 ． 3. 另有结论： 设 ，则 （1）； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 4. 直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【即时训练】 1．直线与间的距离是（ ） A．9 B．8 C．7 D．1 2．两条平行直线与之间的距离为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．直线与直线的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．过点和点的直线与轴的位置关系是（    ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 5．已知，直线，则直线l的斜率k等于（　　） A． B．3 C．－ D． 6．直线的斜率为，直线的斜率为，且两条直线斜率都存在，若与互相垂直，则实数a的值为（　　） A． B．1或 C． D． 7．直线与直线之间的距离是_______ 8．点到直线的距离是1，则______. 9．点到直线的距离为___________． 10．判断直线与直线的位置关系. 11．已知直线和直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求a的值． 12.已知直线过点，.若直线与直线垂直，求直线与直线的交点坐标. 考点2 距离公式 1. 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离 . 2. 点到直线的距离公式 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【即时训练】 13．已知两条直线，，则“，的斜率相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知的三个顶点的坐标分别是，则顶点的坐标为（　　） A． B． C． D． 15．已知直线的斜率，直线的斜率，则与 （　　） A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 16．直线与轴交点坐标是（    ） A． B． C． D． 17．点到直线的距离为（　　） A． B． C． D．2 18．已知直线l与直线垂直，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 19．两条平行线与之间的距离_________. 20．已知直线；，且，则________. 21．若两条直线，且两条直线的斜率都存在，斜率分别为，，则__________. 22．写出满足下列条件的直线的方程； (1)经过点，斜率是； (2)斜率是，在轴上的截距是7； (3)经过两点； (4)在轴、轴上的截距分别是. 23.已知，判断直线与的位置关系. 24．已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 1.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第13题）判断下列各组直线的位置关系，直线和直线垂直的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 2.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第18题）已知直线，，，则_______ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 直线与直线位置关系 【复习目标】 1.掌握两条直线平行、垂直的斜率判定条件，能根据直线方程判断两直线位置关系。 2.已知直线平行或垂直，会列式求解直线解析式中的参数。 3.能区分重合、平行、相交、垂直四种直线位置关系，清楚各自满足的条件。 4.会结合直线一般式，不计算斜率直接判断平行与垂直。 5.能解决学考中判断位置关系、求参数的选择、填空题。 考点1 两条直线的位置关系 1. 两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2. 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3. 另有结论： 设 ，则 （1）； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 4. 直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【即时训练】 1．直线与间的距离是（ ） A．9 B．8 C．7 D．1 【答案】A 【分析】两直线都与轴平行，再求解距离即可. 【详解】直线与可化为与， 则直线与间的距离为. 故选：A. 2．两条平行直线与之间的距离为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据两条平行线之间的距离公式求值即可. 【详解】已知两条平行直线与， 其中， 则该两条平行线之间的距离为 考点：两条平行线之间的距离， 故选：C. 3．直线与直线的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将两直线方程联立方程组，即可求解交点坐标. 【详解】由题意，联立方程组，解得， 所以两直线交点坐标为． 故选：A. 4．过点和点的直线与轴的位置关系是（    ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【分析】求出直线的方程即可得解. 【详解】点和点， 所以直线方程为， 所以直线与x轴平行， 故选：B. 5．已知，直线，则直线l的斜率k等于（　　） A． B．3 C．－ D． 【答案】B 【分析】根据两点间斜率公式及两条直线平行的性质即可得解. 【详解】因为，则直线的斜率为， 直线，则直线l的斜率k等于， 故选：. 6．直线的斜率为，直线的斜率为，且两条直线斜率都存在，若与互相垂直，则实数a的值为（　　） A． B．1或 C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，且与互相垂直， 则，解得或（舍去）． 故选：D. 7．直线与直线之间的距离是_______ 【答案】 【分析】根据两平行直线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线与直线满足， 则两条直线平行， 故两直线之间的距离为. 故答案为：. 8．点到直线的距离是1，则______. 【答案】 或 【分析】根据题意利用点到直线距离公式即可得解. 【详解】点到直线的距离是1， 则， 解得 或 ， 故答案为： 或 . 9．点到直线的距离为___________． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式求值即可. 【详解】因为直线，即， 所以点到的距离为. 故答案为：. 10．判断直线与直线的位置关系. 【答案】 两直线互相垂直 【分析】通过计算两条直线的斜率乘积，依据斜率判定法则判断两直线是否垂直. 【详解】已知两条直线均为斜截式方程，斜率均存在： 直线的斜率， 直线的斜率， 因为两斜率的乘积：， 所以直线与的位置关系为互相垂直. 11．已知直线和直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行的条件列式即可求解. （2）根据两直线垂直的条件列式即可求解. 【详解】（1）直线和直线． 因为，可得，解得或， ，解得且， 综上所述，． （2）直线和直线， 因为，所以，解得. 12．已知直线过点，.若直线与直线垂直，求直线与直线的交点坐标. 【答案】 【分析】根据直线的斜率公式和两条直线的垂直条件可求出的值，再联立两条直线方程，求解即可. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的斜率， 则直线的方程可表示为：，即， 直线为，其斜率， 因为直线与直线垂直，则，解得， 所以直线的方程为， 联立直线与直线的方程，解得， 所以两直线的交点坐标为. 考点2 距离公式 1. 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离. 2. 点到直线的距离公式 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【即时训练】 13．已知两条直线，，则“，的斜率相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据直线平行和重合的条件结合充要条件的相关知识点即可解答. 【详解】，的斜率相等有可能两直线重合，故充分性不成立， 有可能两直线斜率都不存在，故必要性不成立， 所以“，的斜率相等”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 14．已知的三个顶点的坐标分别是，则顶点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用平行四边形的性质及两点间斜率公式即可得解. 【详解】设， 在中，，， 则，解得， 所以， 故选：. 15．已知直线的斜率，直线的斜率，则与 （　　） A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 【答案】B 【分析】根据两条直线的位置关系与斜率的关系求解. 【详解】因为，所以． 故选：B． 16．直线与轴交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，计算即可． 【详解】直线，令，得，解得， ∴直线与轴交点坐标是． 故选：A． 17．点到直线的距离为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式求值即可. 【详解】点到的距离为， 故选：C. 18．已知直线l与直线垂直，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直可求解直线的斜率，再根据斜率的定义即可求解倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 直线与直线垂直， 直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 所以，又， 直线的倾斜角为. 故选：B. 19．两条平行线与之间的距离_________. 【答案】 【分析】根据两条平行线之间的距离公式求值即可. 【详解】已知两条平行线与， 则， 则它们之间的距离为， 故答案为：. 20．已知直线；，且，则________. 【答案】 【分析】利用两条垂直直线斜率之间的关系求解. 【详解】已知直线，其斜率为；直线，其斜率为， 因为，所以，解得， 故答案为：. 21．若两条直线，且两条直线的斜率都存在，斜率分别为，，则__________. 【答案】 【分析】根据两条直线垂直的性质即可得解. 【详解】若两条直线，且两条直线的斜率都存在，斜率分别为，，则， 故答案为：. 22．写出满足下列条件的直线的方程； (1)经过点，斜率是； (2)斜率是，在轴上的截距是7； (3)经过两点； (4)在轴、轴上的截距分别是. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据点斜式方程列出直线方程即可. （2）根据斜截式方程列出直线方程即可. （3）先求出直线的斜率，再由点斜式方程列出直线方程即可. （4）由截距确定直线与坐标轴的交点，再求出直线的斜率，最后由斜截式方程列出直线方程即可. 【详解】（1）已知直线经过点，斜率是， 则直线的点斜式方程为， 整理得. （2）已知直线斜率是，在轴上的截距是7， 所以直线的斜截式方程为. （3）已知直线经过两点， 则直线的斜率， 则直线的点斜式方程为， 整理得. （4）已知在轴、轴上的截距分别是， 则直线与轴、轴的交点分别为，， 所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为. 23．已知，判断直线与的位置关系. 【答案】垂直 【分析】分别求出直线与的斜率，根据直线的斜率即可确定两直线的关系. 【详解】已知， ，， 因为， 所以直线与垂直. 24．已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由圆心在直线上可得结果； （2）利用点到直线距离解方程可得. （1）由题意得，圆心在直线上， 即， 解得. （2）圆的半径为，圆心到直线的距离， 解得或. 1.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第13题）判断下列各组直线的位置关系，直线和直线垂直的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件，即可求解. 【详解】对于A：直线的斜率，直线的斜率， 所以直线和直线相交但不垂直； 对于B：直线的斜率，直线的斜率，且截距不相等， 所以直线和直线平行； 对于C：直线的斜率，直线的斜率， 所以直线和直线相交但不垂直； 对于D：直线的斜率，直线的斜率， 所以，所以直线和直线垂直. 故选：D. 2.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第18题）已知直线，，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件列方程求解即可. 【详解】已知直线，， 则，解得， 故答案为：2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $