专题25 中点公式、两点间距离公式（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题25 中点公式、两点间距离公式 【复习目标】 1.理解平面内两点的中点坐标公式，能够识记公式，分清端点坐标与中点坐标的关系。 2.熟记两点间距离公式，会代入坐标计算两点之间的距离。 3.已知两点坐标，熟练求解中点坐标、两点距离；已知中点和其中一点，会反求另一点坐标。 4.能够结合向量、平面几何题型，运用中点、距离公式进行简单计算。 5.能辨析公式使用条件，规范代入计算，解决中职学考相关基础计算题。 考点1 线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．为两点间的距离公式. 【即时训练】 1．到x轴的距离等于3的y轴上的点的坐标是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】在 轴上的点横坐标为 ，到 轴的距离等于纵坐标的绝对值即可. 【详解】设点坐标为 ， 由题意得， 或 ， 因此坐标为 或 . 故选：D. 2．已知点，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】根据两点间的距离公式得 故选：B 3．已知点，则点A到坐标原点的距离（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合两点之间的距离公式，即可求解. 【详解】因为点， 所以点A到坐标原点的距离. 故选：A. 4．已知两点和，则为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用两点间距离公式求解即可. 【详解】因为点和点， 所以. 故选：D. 5．已知点和点之间的距离为5，则实数a的值为（     ） A．0或6 B．或7 C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式求解. 【详解】已知点和点之间的距离为5， 则，得，解得或. 故选：A. 6．已知点A和点B，则线段AB的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】已知点A和点B，则线段AB的长度为. 故选：C. 7．在轴上一点到点的距离为，则点的坐标为（   ）. A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设点的坐标为，利用两点间的距离公式列式即可求解. 【详解】根据题意：设点的坐标为， 因为点到点的距离为， 即，解得或. 所以点的坐标为或. 故选：B. 8．已知点，点在轴上，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】首先设点的坐标为，再由两点之间的距离公式列方程求解即可. 【详解】已知点，设点的坐标为， 则， 即，解得或， 所以点的坐标为或， 故选：D. 9．点和两点间的距离为（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】点和两点间的距离为. 故选：C. 10．已知两点，，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式求值即可. 【详解】已知两点，， ， 故选：D. 11．已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得圆心坐标与半径，据此可得答案. 由题可得圆心坐标为，圆直径为：，则圆半径为. 从而圆方程为：. 故选：C 12．以为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出圆心坐标和半径，再根据圆的标准方程求解即可. 因为为直径的两个端点， 所以圆心坐标为，即， 半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的方程为， 故选：D 13．已知两点，，且，则_________. 【答案】或5 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】已知和，且， 代入距离公式得：， ，化简得：， 解得：或，从而得到或. 故答案为：或5. 14．点和点之间的距离是 ________. 【答案】 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】点和点之间的距离. 故答案为：. 15．已知点和，则线段的中点坐标为__________，=__________. 【答案】 【分析】根据中点坐标公式与两点间距离公式求解即可. 【详解】已知点和，则线段的中点坐标为； . 故答案为：；. 16．已知点，，则的长度为________. 【答案】 【分析】由两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点，， 所以的长度为. 故答案为：. 17．已知点，，，且，则_______． 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为点，，，且， 即， 则，解得. 故答案为： 18．已知点，，线段的中点为，则______． 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式，中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点，，则中点， 所以. 故答案为：． 19．已知点和点，求线段的长度. 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式可求解. 【详解】因为点和点， 所以线段的长度. 20．已知圆经过三点，，． (1)求圆的方程； (2)判断点与所求圆的位置关系． 【答案】(1) (2)点在圆内 【分析】（1）设出圆一般方程，将已知点代入列方程组可得解； （2）求出圆心和半径，根据点到圆心的距离与半径的大小可得结果. 【详解】（1）设圆一般方程，将已知点代入可得： ，解得， 所以圆的方程为：； （2）由（1）可得圆的标准方程为： 所以圆心，半径， 点到圆心的距离， 故点在圆内. 21．已知圆C过点，，圆心在直线上． (1)求圆心坐标； (2)求圆C的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，圆心在的垂直平分线，由中点坐标公式可得中点，结合斜率公式，两直线垂直，斜率乘积为，以及点斜式方程，直线交点坐标的求法即可求解. （2）根据两点间距离公式求得半径，结合圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）因为点，，所以中点为， 所在直线斜率为：，则垂直平分线斜率为， 所以垂直平分线为，即， 又圆心在直线上， 则联立，解得圆心. （2）因为圆C过点，圆心为，所以半径， 则标准方程为. 22．已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程 【答案】 【分析】利用两点间距离公式和中点坐标公式，结合圆的标准方程求解即可. 【详解】因为，，所以两点的中点坐标为， ， 又因为以线段为直径的圆的圆心为两点的中点， 半径， 所以圆的标准方程为：，即. 23．在平面内的直线上确定一点，使M到点的距离最小. (1)求点M. (2)并求出距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据条件设M坐标，再根据两点间距离公式列关系式，最后根据二次函数性质求距离的最小值时M坐标； （2）由（1）求得的M坐标，代入两点间距离公式，即可得到距离的最小值. （1）点在平面内的直线上， 点的坐标可设为， 则， 当时，取最小值，此时； （2）由（1）知，，点坐标为时， 最小，最小值为． 24．（1）求在x轴上与点A(5，12)的距离为13的点的坐标. （2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1，5)间的距离等于10，求点P的纵坐标. 【答案】（1）或；（2）或11 【分析】（1）设x轴上点的坐标为，由距离公式可得关于x的方程，解方程可得；（2）设点P的纵坐标为y，由距离公式可得关于y的方程，解方程即可. （1）设x轴上点的坐标为， 由距离公式可得，解得或， 所以所求点的坐标为或； （2）设点P的纵坐标为y， 由距离公式可得，解得或， 所以点P的纵坐标为或11. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，属于基础题. 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第9题）过点，且以为圆心的圆的方程的半径是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意，圆心和点的连线为圆的半径， 所以圆的半径为. 故答案为：. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）如图所示，已知点是角终边上的一个点 （1）判断角是第几象限角 （2）点P到原点O的距离； （3）求的值 【答案】（1）角是第二象限角 （2） （3）11 【解析】 【分析】（1）根据象限角的定义，即可判断. （2）利用两点间距离公式，即可求解. （3）根据终边上的点，求出正弦函数值，即可求解. 【小问1详解】 角的终边在第二象限，所以角是第二象限角. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ， ， . 3.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）点，求： （1）求B点关于x轴对称的C点坐标； （2）直线的斜率； （3）求，. 【答案】（1） （2）1 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据点关于x轴对称的点的特点，即横坐标不变，纵坐标为相反数求解即可； （2）根据两点求斜率的公式代入求解即可； （3）先求解出与的坐标，再根据模长公式计算即可. 【小问1详解】 ∵点关于x轴对称的C点坐标为； 【小问2详解】 ∵点， ∴直线的斜率为； 【小问3详解】 ∵点， ∴，， ∴，. 4.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第25题）如图所示，二次函数 图像过点和点 （1）求二次函数解析式； （2）求直线方程； （3）在函数的对称轴上是否存在一点P，使得是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求解. （2）根据已知两点求斜率，结合斜截式方程即可求解. （3）分情况讨论，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为二次函数 图像过点和点， 所以，解得，即. 【小问2详解】 因为点和点，所以直线斜率为，轴上的截距为， 则直线方程为，即. 【小问3详解】 由（1）得，，则对称轴为，则设点， 则， 当时，则，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 所以存在点使得是直角三角形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题25 中点公式、两点间距离公式 【复习目标】 1.理解平面内两点的中点坐标公式，能够识记公式，分清端点坐标与中点坐标的关系。 2.熟记两点间距离公式，会代入坐标计算两点之间的距离。 3.已知两点坐标，熟练求解中点坐标、两点距离；已知中点和其中一点，会反求另一点坐标。 4.能够结合向量、平面几何题型，运用中点、距离公式进行简单计算。 5.能辨析公式使用条件，规范代入计算，解决中职学考相关基础计算题。 考点1 线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．为 . 【即时训练】 1．到x轴的距离等于3的y轴上的点的坐标是（ ） A． B． C． D．或 2．已知点，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． A． B．5 C．1 D． 4．已知两点和，则为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知点和点之间的距离为5，则实数a的值为（     ） A．0或6 B．或7 C． D． 6．已知点A和点B，则线段AB的长度为（     ） A． B． C． D． 7．在轴上一点到点的距离为，则点的坐标为（   ）. A．或 B．或 C． D． 8．已知点，点在轴上，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 9．点和两点间的距离为（   ） A．8 B．12 C． D． 10．已知两点，，则（    ） A．3 B． C．9 D． 11．已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 12．以为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 13．已知两点，，且，则_________. 14．点和点之间的距离是 ________. 15．已知点和，则线段的中点坐标为__________，=__________. 16．已知点，，则的长度为________. 17．已知点，，，且，则_______． 18．已知点，，线段的中点为，则______． 19．已知点和点，求线段的长度. 20．已知圆经过三点，，． (1)求圆的方程； (2)判断点与所求圆的位置关系． 21．已知圆C过点，，圆心在直线上． (1)求圆心坐标； (2)求圆C的标准方程． 22． 已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程 23．在平面内的直线上确定一点，使M到点的距离最小. (1)求点M. (2)并求出距离的最小值． 24．（1）求在x轴上与点A(5，12)的距离为13的点的坐标. （2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1，5)间的距离等于10，求点P的纵坐标. 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第9题）过点，且以为圆心的圆的方程的半径是__________ 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）如图所示，已知点是角终边上的一个点 （1）判断角是第几象限角 （2）点P到原点O的距离； （3）求的值 3.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）点，求： （1）求B点关于x轴对称的C点坐标； （2）直线的斜率； （3）求，. 4.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第25题）如图所示，二次函数 图像过点和点 （1）求二次函数解析式； （2）求直线方程； （3）在函数的对称轴上是否存在一点P，使得是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $