专题24 平面向量的基本定理及坐标表示（练习）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以支架式教学为核心，将平面向量知识拆解为5大考点，通过基础巩固与分层训练构建从概念到应用的完整进阶路径，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量的基本定理|5题|选择/填空|从基底概念出发，构建向量分解的理论基础| |平面向量的坐标表示|5题|选择/填空/解答|实现向量的代数化表示，衔接几何与代数| |平面向量的坐标运算|5题|选择/解答|基于坐标表示展开加减、数乘运算，强化运算能力| |向量共线的坐标表示|5题|选择/解答|结合坐标运算推导共线条件，体现逻辑推理| |中点坐标公式|4题|选择/填空|坐标运算的具体应用，联系实际情境培养应用意识|

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》练习 专题24 平面向量的基本定理及坐标表示 【考点1 平面向量的基本定理】 1．已知向量，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示，计算即可. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：B. 2．已知，，则（ ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 故选：C. 3．，则的坐标为_________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】因为， 则， 所以的坐标为. 故答案为：. 【考点2 平面向量的坐标表示】 4．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量，， 则， 故选：B. 5．若向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量坐标的线性运算，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：A. 6．已知向量，，则_________ 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】已知向量，， 则. 故答案为：. 【考点3 平面向量的坐标运算】 7．向量的关系是（    ） A．垂直 B．共线 C．既不垂直也不共线 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据向量共线的判定条件求解即可. 【详解】因为向量，满足共线向量的判定条件， 所以向量的关系是共线. 故选：B. 8．设，，向量与位置关系为（     ）. A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【分析】根据平面向量平行的性质即可得解. 【详解】，， 满足，所以， 故选：. 9．已知，，且，则________. 【答案】3 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知， 由，可得，解得. 故答案为：3. 【考点4 向量共线的坐标表示】 10．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标的线性运算求解即可. 【详解】已知向量， 则. 故选：A. 11．已知点，，点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，求出向量的坐标，利用向量相等列式即可求解. 【详解】设点P的坐标为， 因为点，，且， 又， 所以，解得， 所以点P的坐标为. 故选：B. 12．已知，，则______ ，______； 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 则，， 故答案为：；. 【考点5 中点坐标公式】 13．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量， 则. 故选：D. 14．，，则__________. 【答案】 【分析】根据平面向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】，， 则， 故答案为：. 【考点1 平面向量的基本定理】 15．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示求解. 【详解】已知，，则. 故选：A. 16．已知向量， (1)计算； (2)求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量坐标表示的线性运算即可求解. （2）设，结合已知条件利用向量坐标表示的线性运算即可求解. 【详解】（1）因为向量，所以. （2）设，因为向量，， 即，所以， 则. 【考点2 平面向量的坐标表示】 17．已知，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示求值即可. 【详解】已知，， 则， 故选：A. 18．已知点，，，求： (1)、的坐标； (2)的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标表示求值即可. （2）根据向量的线性运算的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知点，，， 则， . （2）由（1）可得，，， 则. 【考点3 平面向量的坐标运算】 19．已知，，若，则（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知，， 由得，， 解得， 故选：B. 20．已知向量，，且，求向量的坐标. 【答案】 【分析】根据向量坐标的线性运算结合已知条件即可求解. 【详解】设向量，因为， 向量，， 所以， 即，解得 ， 所以向量的坐标为 . 【考点4 向量共线的坐标表示】 21．已知，，，若，则实数x的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，，所以，解得：． 故选：D. 22．已知向量，，求. 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， . 【考点5 中点坐标公式】 23．若向量与向量平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用二维向量平行的坐标充要条件列方程，求解得到的值. 【详解】因为向量与平行， 所以，解得：. 故选：D. 24．已知向量，，，求. 【答案】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】∵向量，，， ∴. 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，求： （1）; （2），，求 （3）令P是AB中点，求 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再由向量的加法和减法运算计算即可. （2）由向量内积的坐标运算计算即可. （3）先求出点P的坐标，再由坐标的模长公式计算即可. 【小问1详解】 因为点A、B的坐标分别为，， 所以， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，， 所以. 【小问3详解】 设， 由（1）知，， 因为P是AB中点，所以， 即， 即， 所以，所以. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）如图所示，圆是圆的任意直径；圆，点是圆上的任意一点 （1）圆的圆心坐标和半径； （2）的值； （3）的最小值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程得到其圆心与半径即可得解； （2）利用向量减法的几何应用，结合圆的直径长即可得解； （3）利用向量混合运算的几何应用，将问题转化为圆上的点到圆心距离的最小值，再求得圆的圆心与半径，进而得到，从而得解. 【小问1详解】 因为圆， 所以其圆心坐标，半径为. 【小问2详解】 因为圆是圆的任意直径，则， 所以. 【小问3详解】 连接，如图， 因为，又， 所以，则， 则问题转化为求的最小值，即圆上的点到圆心距离的最小值， 由圆，可知圆心，其半径为， 则，故， 此时点为圆与轴的右交点，故的最小值为. 3.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）点，求： （1）求B点关于x轴对称的C点坐标； （2）直线的斜率； （3）求，. 【答案】（1） （2）1 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据点关于x轴对称的点的特点，即横坐标不变，纵坐标为相反数求解即可； （2）根据两点求斜率的公式代入求解即可； （3）先求解出与的坐标，再根据模长公式计算即可. 【小问1详解】 ∵点关于x轴对称的C点坐标为； 【小问2详解】 ∵点， ∴直线的斜率为； 【小问3详解】 ∵点， ∴，， ∴，. 4.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第9题）已知 ，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可得结果. 【详解】因为 ，， 所以，， ，. 所以A正确，B、C、D错误. 故选：A 5.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第23题）已知等比数列的通项公式为 （1）求首项和公比; （2）已知向量 求m的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式求解首项与公比即可. （2）首先计算，再结合平面向量平行的坐标运算性质求解的值. 【小问1详解】 因为为等比数列， 且，所以，， 所以公比. 【小问2详解】 ，则， 由，得，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $公共基础课一轮讲练测 醇A职教 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、 专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为 !体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、」 综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知 ]识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》练习 专题24平面向量的基本定理及坐标表示 01 系列考点夯实练 【考点1平面向量的基本定理】 1.已知向量4=L,2),6=(84),侧6-2a=《) A.(0,0) B.(1,0) c.() D.（1,0) 2.已知a=(-l2),万=(1），则la-=（) A.5-2 B.1 c:5 D.5 3.B=(0,-2),BC=(,则4C的坐标为 【考点2平面向量的坐标表示】 4.已知向量a=(4,2),i=04),则a+36=（) 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 醇A职教》 A.(5-2) B,(7,-10) c（-7,10) D.（5,2) 5.若间量a=(65-2),=(4-3),则2a+36=（) A.（-2,-13)B.（-2,13) c.(1,-5) 6.已知向量a=(34,6=(2,-3),则ā+6= 【考点3平面向量的坐标运算】 7.向量0=(1,6=(2,2列的关系是（) A.垂直 B.共线 C.既不垂直也不共线D.无法判断 8.设a=L3),6=(2,6),向量ā与6位置关系为() A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面 知a=儿-3)，6=(x-9),且16，则*= 9.已 【考点4向量共线的坐标表示】 10.已知向量a=(,6=(4,-2）,则a+6=（) A.（-2-) B(2,) c.3,-) D.（3) 1.已知点43，B(-1-2）,点P满足D=P历，则点P的坐标为() A.(2,2) B动 c.(2,4) D.(1,2) 12.已知4(-3,6)，B(3,-6),则AB=,BM= 剪原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究」 公共基础课一轮讲练测 A职教 》 【考点5中点坐标公式】 13.已知向数a=).6--少：则a-5=() 1 2 A.(2,) B.（-2 c.(1,2) D.（12) 14.a=6,-2),6=(41.则a+6= 02 核心突破提升练 【考点1平面向量的基本定理】 15.已知43,1），B(--2）,则BM=() A.(4,3) B.(4,3) C.34) D.（34) 16,已知向量i=(21,a+6=(←3) (1)计算3ā： (2)求b的坐标。 剪原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 A职教》 【考点2平面向量的坐标表示】 1已知40,2习，则西-() A.(2,2) B.-) c(1,0) D.(0) 18.已知点4-，2)，B33),C5,2),求 (L)B、BC 的坐标： (2)24B-BC 的坐标 【考点3平面向量的坐标运算】 19.已知a=2.3),6=(4,若a6,则x=() A.5 B.6 C.-6 D.-5 20.已知向量a-(-2-3).=(51,且c=6-a,求向量5的坐标 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 A职教》 thillao.xkw.com 【考点4向量共线的坐标表示】 21.已知4,2)，B(x3),m=(4,5),若B1m,则实数x的值是《). A. B号 9 c.5 1 D.4 2.已知向量a=(-2,3),6=(5.1,求a+26,-ā+36 【考点5中点坐标公式】 23.若向量0=0,5)与向量6=(6.小平行，则x的值为() A.2.5 B.2 c.5 D.3 24.已知向量i=8,2),万=(-13》，6=(6,2)，求6+6-2c 亨原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 9AI职教 hilao.xkw.com 》 03 真题溯源过关练 1.(2021年福建省中等职业学校学业水平考试第11题)在平面直角坐标系中，点A、B的 坐标分别为0,6)，(8,0)，求 B 1)01+0B,01-08 (2)a=0A+0B,b=0A-0B,求a-b (3)令P是AB中点，求O丽 2.(2022年福建省中等职业学校学业水平考试第17题)如图所示，圆 C:(-3+少=4，AB是圆C的任意直径，圆D:G+2)+少=1，点P是圆D上的 任意一点 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 公共基础课一轮讲练测 A职教》 (1)圆C的圆心坐标和半径： 2)PA-P8的值： (3)PA+P⑧的最小值 3.(2025年福建省中等职业学校学业水平考试第1题）点1,0，B(0,-),求： (1)求B点关于x轴对称的C点坐标： (2)直线AB的斜率； (3)求BC,2AB 4.(2025年福建省中等职业学校学业水平考试第9题)已知ā=(3,4)，b=(2,),则下 列结论正确的是() A.a+b=(5,5) B.a-b=(-1,3) 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 A职教》 c.26=(4,) D.l同=V5 5.(2026年福建省中等职业学校学业水平考试第23愿)己知等比数列a,}的通项公式为 an=2” (1)求首项4和公比9； (2)已知向量a=(a,m),b=(a,4),ā/b求m的值 亨原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！