专题24 平面向量的基本定理及坐标表示（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 平面向量的基本定理及坐标表示 【复习目标】 1.理解平面向量基本定理，知道基底的含义，能识别平面向量的一组基底。2.掌握平面向量的坐标表示，理解向量坐标与点的坐标的区别与联系。 3.熟练掌握向量坐标的加减、数乘运算，会求向量的坐标。 4.会用坐标判定向量共线，熟记向量共线的坐标等价条件。 5.能够运用向量坐标解决简单的中职题型，提升向量相关计算与推理能力。 考点1 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 【即时训练】 1．已知三点共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．平面向量，，且，则（ ） A． B．2 C． D．3 4．与向量方向相反的单位向量为_____． 5．已知，，是直线上一点，且，求点的坐标. 考点2 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的 ，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 【即时训练】 6．已知平面向量，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A． B． C． D． 9．已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 10．已知向量，. (1)求的值； (2)判断与是否垂直，并说明理由； (3)求 的值. 考点3 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 【即时训练】 11．向量与共线，则的值为（ ） A．-4 B．4 C．9 D．-9 12．已知向量，，则（ ） A． B．3 C． D．4 13．已知向量，，，若与共线，则实数的值为（ ） A．2 B． C．4 D． 14．已知，，，则点的坐标为________ 15．城市市政部门对城区人行步道进行升级改造，以十字路口中心点为坐标原点建立平面直角坐标系，精准测算步道施工距离与走向.已知两段步道的位移向量分别为，.请结合平面向量坐标运算、数量积公式，以及向量垂直的充要条件，完成下列问题： (1)求向量的坐标； (2)求向量与的数量积； (3)依据向量垂直的充要条件，判定与是否垂直，并说明理由. 考点4 向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 【即时训练】 16．已知点，向量，则向量（ ） A． B． C． D． 17．已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 18．与向量平行的单位向量为（   ） A． B． C． 或 D． 19．已知，与方向相反的单位向量的坐标为______ 20．已知向量，. (1)求 的值； (2)判断与是否垂直，并说明理由； (3)求的值. 考点5 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 【即时训练】 21．若向量，，且，则（   ）. A． B． C．2 D．1 22．已知向量，，且，那么t等于（   ）. A． B． C．1 D．4 23．已知，则与同向的单位向量的坐标为______. 24．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求： (1)； (2)； (3)若，求的值. 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，求： （1）; （2），，求 （3）令P是AB中点，求 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）如图所示，圆是圆的任意直径；圆，点是圆上的任意一点 （1）圆的圆心坐标和半径； （2）的值； （3）的最小值 3.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）点，求： （1）求B点关于x轴对称的C点坐标； （2）直线的斜率； （3）求，. 4.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第9题）已知 ，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第23题）已知等比数列的通项公式为 （1）求首项和公比; （2）已知向量 求m的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 平面向量的基本定理及坐标表示 【复习目标】 1.理解平面向量基本定理，知道基底的含义，能识别平面向量的一组基底。2.掌握平面向量的坐标表示，理解向量坐标与点的坐标的区别与联系。 3.熟练掌握向量坐标的加减、数乘运算，会求向量的坐标。 4.会用坐标判定向量共线，熟记向量共线的坐标等价条件。 5.能够运用向量坐标解决简单的中职题型，提升向量相关计算与推理能力。 考点1 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 【即时训练】 1．已知三点共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 由.故D正确. 2．已知，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 3．平面向量，，且，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 4．与向量方向相反的单位向量为_____． 【答案】 【分析】由相反向量及单位向量的定义可得. 向量方向相反的单位向量. 故答案为：. 5．已知，，是直线上一点，且，求点的坐标. 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量运算的坐标表示列出方程组即可得解. 【详解】设，由， 则， 即， 所以， 解得，所以. 考点2 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 【即时训练】 6．已知平面向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标表示的模长公式即可求解. 【详解】， 所以. 故选：D 7．已知向量，点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的坐标表示即可得出点的坐标. 【详解】设点，由向量的坐标表示可知，， 所以，解得，即点的坐标为. 故选：A. 8．已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， ， 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 9．已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标进行计算即可. 已知向量，， 所以. 故答案为：. 10．已知向量，. (1)求的值； (2)判断与是否垂直，并说明理由； (3)求 的值. 【答案】(1)0 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示可求解； （2）根据向量垂直的坐标表示可判断结果； （3）根据向量的线性运算的坐标表示及向量模的坐标表示可求解. 【详解】（1）由题可得： ； （2）由（1）知，所以； （3）由题意，， . 考点3 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 【即时训练】 11．向量与共线，则的值为（ ） A．-4 B．4 C．9 D．-9 【答案】A 【详解】由向量与共线，得， 所以. 12．已知向量，，则（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 13．已知向量，，，若与共线，则实数的值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算及向量共线的充要条件求解即可. ，， 因为与共线， 所以，解得. 14．已知，，，则点的坐标为________ 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 设点， 则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 15．城市市政部门对城区人行步道进行升级改造，以十字路口中心点为坐标原点建立平面直角坐标系，精准测算步道施工距离与走向.已知两段步道的位移向量分别为，.请结合平面向量坐标运算、数量积公式，以及向量垂直的充要条件，完成下列问题： (1)求向量的坐标； (2)求向量与的数量积； (3)依据向量垂直的充要条件，判定与是否垂直，并说明理由. 【答案】(1). (2). (3)不垂直，理由见解析. 【分析】（）根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解. （）根据平面向量内积的坐标表示即可得解. （）根据平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】（1）因为，， ， . （2）. （3）因为， 所以与不垂直. 考点4 向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 【即时训练】 16．已知点，向量，则向量（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件求向量的坐标，再结合关系求结论. 因为点， 所以，又 . 故选：C. 17．已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量运算的坐标表示列式求解. 依题意，与的方向相反，又，则， 设，因，则，因此，解得， 故点的坐标为. 故选：A 18．与向量平行的单位向量为（   ） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】求出的模，再利用单位向量的定义求解. 向量，则， 所以与向量平行的单位向量为或． 故选：C 19．已知，与方向相反的单位向量的坐标为______ 【答案】 【详解】由，得与方向相反的单位向量， 所以与方向相反的单位向量的坐标为. 20．已知向量，. (1)求 的值； (2)判断与是否垂直，并说明理由； (3)求的值. 【答案】(1)0 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示即可求解. （2）根据向量垂直的坐标表示即可求解. （3）根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为向量，，所以 . （2）因为，所以与垂直. （3）因为， 则. 考点5 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 【即时训练】 21．若向量，，且，则（   ）. A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程即可. 【详解】∵，∴， 解得， 故选：C. 22．已知向量，，且，那么t等于（   ）. A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标运算列出方程，即可解出答案. 【详解】因为，，且， 所以即，解得， 故选：A. 23．已知，则与同向的单位向量的坐标为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合与同向的单位向量为，即可求解. 由向量，可得， 则与同向的单位向量为. 24．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标表示求解； （2）根据向量模的坐标表示求解； （3）根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】（1）由，， 得. （2）， . （3），， ， ，解得. 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，求： （1）; （2），，求 （3）令P是AB中点，求 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再由向量的加法和减法运算计算即可. （2）由向量内积的坐标运算计算即可. （3）先求出点P的坐标，再由坐标的模长公式计算即可. 【小问1详解】 因为点A、B的坐标分别为，， 所以， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，， 所以. 【小问3详解】 设， 由（1）知，， 因为P是AB中点，所以， 即， 即， 所以，所以. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）如图所示，圆是圆的任意直径；圆，点是圆上的任意一点 （1）圆的圆心坐标和半径； （2）的值； （3）的最小值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程得到其圆心与半径即可得解； （2）利用向量减法的几何应用，结合圆的直径长即可得解； （3）利用向量混合运算的几何应用，将问题转化为圆上的点到圆心距离的最小值，再求得圆的圆心与半径，进而得到，从而得解. 【小问1详解】 因为圆， 所以其圆心坐标，半径为. 【小问2详解】 因为圆是圆的任意直径，则， 所以. 【小问3详解】 连接，如图， 因为，又， 所以，则， 则问题转化为求的最小值，即圆上的点到圆心距离的最小值， 由圆，可知圆心，其半径为， 则，故， 此时点为圆与轴的右交点，故的最小值为. 3.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）点，求： （1）求B点关于x轴对称的C点坐标； （2）直线的斜率； （3）求，. 【答案】（1） （2）1 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据点关于x轴对称的点的特点，即横坐标不变，纵坐标为相反数求解即可； （2）根据两点求斜率的公式代入求解即可； （3）先求解出与的坐标，再根据模长公式计算即可. 【小问1详解】 ∵点关于x轴对称的C点坐标为； 【小问2详解】 ∵点， ∴直线的斜率为； 【小问3详解】 ∵点， ∴，， ∴，. 4.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第9题）已知 ，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可得结果. 【详解】因为 ，， 所以，， ，. 所以A正确，B、C、D错误. 故选：A 5.（2026年福建省中等职业学校学业水平考试第23题）已知等比数列的通项公式为 （1）求首项和公比; （2）已知向量 求m的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式求解首项与公比即可. （2）首先计算，再结合平面向量平行的坐标运算性质求解的值. 【小问1详解】 因为为等比数列， 且，所以，， 所以公比. 【小问2详解】 ，则， 由，得，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $