专题23 平面向量的内积与运算法则（练习）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以向量夹角、内积及性质为核心，通过选择、填空、解答题分层训练，构建从概念到运算再到性质应用的逻辑链条，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量的夹角|8题|选择/填空/解答|从定义出发，结合几何图形与坐标运算考查夹角计算| |平面向量的内积|8题|选择/填空/解答|以内积定义为基础，延伸至垂直关系判断与应用| |内积的性质及其坐标表示|8题+2真题|选择/填空/解答/真题|整合性质与坐标表示，实现代数运算到几何意义的转化|

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》练习 专题23 平面向量的内积与运算法则 【考点1 向量的夹角】 1．在边长为2的正方形中，E为的中点，则（   ）. A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算，可以求得结果. 【详解】以A为坐标原点，建系如图：   ， 则，，，，； 所以， 故选：D. 2．若向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．6 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示运算即可. 【详解】∵，∴， 即， 解得. 故选：A. 3．已知向量，若，则________． 【答案】 【分析】利用向量平行求出，再计算 由，则，解得， ， ． 4．已知向量，，，求 (1)； (2). 【答案】(1). (2)50. 【分析】（）根据题意结合平面向量线性运算的坐标表示即可得解. （）根据平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】（1）向量，，， . （2）向量，，， ， . 【考点2 平面向量的内积】 5．若点，，，试判断的形状，正确的是（   ）. A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示，及向量垂直的坐标表示，即可判断求解. 【详解】因为点，，， 所以，， 所以，故，即, 所以是直角三角形. 故选：A. 6．已知向量，，则与位置关系是（   ）. A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 【答案】A 【分析】根据题意利用平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】向量，， ，所以， 故选：. 7．已知向量，则实数_________． 【答案】2 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 8．已知空间向量，求和的坐标； 【答案】， 【分析】根据空间向量的内积的坐标表示和向量的线性坐标计算公式求值即可. 【详解】已知空间向量， 则， . 【考点3 平面向量内积的性质及其坐标表示】 9．已知两个非零向量和满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直以及向量内积求解即可. 【详解】已知两个非零向量和满足，则与的夹角为. 故选：B. 10．已知向量与的夹角为，，则（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据向量的内积公式求解即可. 【详解】已知向量与的夹角为，，则. 故选：C. 11．已知向量和的夹角为，，，则________. 【答案】0 【分析】利用平面向量数量积的定义进行计算即可. 【详解】由平面向量数量积的定义可得. 故答案为：. 12．已知点． (1)求； (2)求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据向量的坐标表示求出的坐标，即可求得的坐标再根据向量的模的计算公式即求解. （2）由（1）可知，再根据向量夹角的余弦值公式即可求解. 【详解】（1）因为点， 所以，则， 所以. （2）因为， 所以. 【考点1 向量的夹角】 13．已知向量，，则（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的坐标表示计算. 【详解】已知向量，， 则， 故选：A. 14．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的夹角公式求解. 【详解】已知，，， 则. 故选：D. 15．已知，，若，则与的夹角为___________. 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】已知，，若， 则， 因为，所以， 所以与的夹角为， 故答案为：. 16．已知向量，满足，，求. 【答案】 【分析】根据平面向量内积公式即可求解. 【详解】因为，， 则， 解得，因为，所以. 【考点2 平面向量的内积】 17．已知向量，若，则（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的条件列式即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：D. 18．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】向量，，若， 则，解得， 故选：. 19．已知向量，那么________. 【答案】 【分析】根据向量模的坐标表示求解. 【详解】向量，那么， 故答案为：. 20．已知向量，，为何值时，？ 【答案】9 【分析】根据向量垂直的条件求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 【考点3 平面向量内积的性质及其坐标表示】 21．已知向量，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的内积的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量，， 则， 故选：B. 22．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量， 则， 故选：C. 23．已知向量，，则向量，的夹角为______． 【答案】 【详解】因为向量，， 所以，， ， 所以． 因为，所以． 故答案为：. 24．已知，求． 【答案】 【分析】运用向量内积的坐标运算公式求解. 【详解】已知 ， 所以. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第16题）已知向量，，，求x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件利用向量内积的坐标表示列出不等式，求解即可. 【详解】∵向量，，， ∴， ∴，解得，即x的取值范围是. 故答案为：. 2.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，求： （1）; （2），，求 （3）令P是AB中点，求 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再由向量的加法和减法运算计算即可. （2）由向量内积的坐标运算计算即可. （3）先求出点P的坐标，再由坐标的模长公式计算即可. 【小问1详解】 因为点A、B的坐标分别为，， 所以， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，， 所以. 【小问3详解】 设， 由（1）知，， 因为P是AB中点，所以， 即， 即， 所以，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》练习 专题23 平面向量的内积与运算法则 【考点1 向量的夹角】 1．在边长为2的正方形中，E为的中点，则（   ）. A． B． C． D．1 2．若向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．6 3．已知向量，若，则________． 4．已知向量，，，求 (1)； (2). 【考点2 平面向量的内积】 5．若点，，，试判断的形状，正确的是（   ）. A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 6．已知向量，，则与位置关系是（   ）. A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 7．已知向量，则实数_________． 8．已知空间向量，求和的坐标； 【考点3 平面向量内积的性质及其坐标表示】 9．已知两个非零向量和满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 10．已知向量与的夹角为，，则（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 11．已知向量和的夹角为，，，则________. 12．已知点． (1)求； (2)求． 【考点1 向量的夹角】 13．已知向量，，则（   ） A． B．1 C．4 D． 14．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 15．已知，，若，则与的夹角为___________. 16．已知向量，满足，，求. 【考点2 平面向量的内积】 17．已知向量，若，则（   ）. A．2 B． C． D． 18．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 19．已知向量，那么________. 20．已知向量，，为何值时，？ 【考点3 平面向量内积的性质及其坐标表示】 21．已知向量，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 23．已知向量，，则向量，的夹角为______． 24．已知，求． 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第16题）已知向量，，，求x的取值范围是______. 2.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，求： （1）; （2），，求 （3）令P是AB中点，求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $