专题23 平面向量的内积与运算法则（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 平面向量的内积与运算法则 【复习目标】 1. 理解平面向量内积的概念，分清向量内积的几何意义，掌握内积的计算公式。 2. 掌握向量内积的运算法则，会进行向量内积的代数运算。 3. 会利用向量坐标求两个向量的内积、向量的模长。 4. 会运用内积公式判断两个向量垂直关系，记住向量垂直的坐标条件。 5. 能结合向量内积解决简单夹角、垂直相关的中职题型，提高综合计算能力。 考点1 向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作 . 【即时训练】 1．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D．0 2．已知向量，，则（ ） A． B．3 C． D．4 3．若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 4．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则实数______. 6．若向量满足，则______. 7．已知向量，求以及向量的单位向量． 8．已知与的夹角为，求. 考点2 平面向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的内积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的内积为0，即0·a＝ . (2)几何意义：内积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积． 【即时训练】 9．已知平面向量，．设，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 10．已知，则，设所成的角为，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 11．已知向量，则（ ） A．5 B．2 C． D．8 12．已知向量，且，则（ ） A． B．2 C． D．4 13．已知，，，则与的夹角为_____． 14．已知向量满足，则__________. 15．已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 16．设，. (1)求的值； (2)求. 考点3 平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量内积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【即时训练】 17．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 18．已知向量，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 19．在平行四边形中，，，则（ ） A．1 B．4 C．6 D．11 20．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．1 D． 21．已知向量，，且与的夹角为，则______． 22．已知向量，，则________. 23．已知向量. (1)求的值； (2)求的值. 24． 已知平面向量，求及其模的大小. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第16题）已知向量，，，求x的取值范围是______. 2.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，求： （1）; （2），，求 （3）令P是AB中点，求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 平面向量的内积与运算法则 【复习目标】 1. 理解平面向量内积的概念，分清向量内积的几何意义，掌握内积的计算公式。 2. 掌握向量内积的运算法则，会进行向量内积的代数运算。 3. 会利用向量坐标求两个向量的内积、向量的模长。 4. 会运用内积公式判断两个向量垂直关系，记住向量垂直的坐标条件。 5. 能结合向量内积解决简单夹角、垂直相关的中职题型，提高综合计算能力。 考点1 向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 【即时训练】 1．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为， 所以. 2．已知向量，，则（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 3．若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出，，，再利用平方求模即可. 由，可得.由，可得， 即，所以. 由，可得. 所以，则. 4．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边同时平方得， 整理得：，， 所以与的夹角为. 5．已知向量，，若，则实数______. 【答案】-2 【分析】先根据向量线性运算的坐标公式求得的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得，由， 可得，解得. 故答案为：. 6．若向量满足，则______. 【答案】9 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 由题意， 解得. 7．已知向量，求以及向量的单位向量． 【答案】， 【分析】根据向量模的坐标表示求出，再由向量的单位向量计算可得. 因为，所以， 则向量的单位向量. 8．已知与的夹角为，求. 【答案】 【详解】 考点2 平面向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的内积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的内积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：内积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 【即时训练】 9．已知平面向量，．设，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积求夹角即可. ， 所以． 而， 所以，因此夹角． 10．已知，则，设所成的角为，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由，计算，结合数量积定义，即可解出. 因为，所以，即. 又因为，所成的角为，所以，解得. 故选：B. 11．已知向量，则（ ） A．5 B．2 C． D．8 【答案】C 【详解】由. 12．已知向量，且，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量的坐标运算求解即可. 因为， 则，解得． 故选：D. 13．已知，，，则与的夹角为_____． 【答案】 【详解】因，，， 则， 又因，故. 即与的夹角为. 14．已知向量满足，则__________. 【答案】 【分析】根据数量积运算律计算得，再由向量的模的公式计算即得. 因为，，， 则，解得， 又由，可得. 15．已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合向量垂直性质，根据数量积的运算律列方程求解即可； （2）先利用数量积的运算律求解，利用数量积模的运算求解和，然后代入向量夹角公式即可求解. （1）由，得，则，即，所以，解得； （2）因为与的夹角为， 所以， ， ， 所以， 平方化简得，解得. 由夹角为 可知 ，即 ， 所以. 16．设，. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示运算即可. （2）根据向量夹角的坐标表示运算即可. 【详解】（1）已知，， . （2）， ， ，因为， 考点3 平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量内积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【即时训练】 17．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 由题意可得， 所以. 故选：D 18．已知向量，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 所以， 又因为， 所以. 19．在平行四边形中，，，则（ ） A．1 B．4 C．6 D．11 【答案】C 【详解】，，则在平行四边形中，， . 20．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的坐标运算及模长公式求得，即可求解. ， 由题意：， 所以. 故选：C. 21．已知向量，，且与的夹角为，则______． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 向量，，则. 22．已知向量，，则________. 【答案】 【详解】由，，得， 则. 23．已知向量. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示求解即可； （2）根据向量的模长公式求解即可. 【详解】（1）因为向量， 所以. （2）因为，所以. 24．已知平面向量，求及其模的大小. 【答案】，. 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和模的计算公式求值即可. 【详解】已知平面向量， 则， 所以. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第16题）已知向量，，，求x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件利用向量内积的坐标表示列出不等式，求解即可. 【详解】∵向量，，， ∴， ∴，解得，即x的取值范围是. 故答案为：. 2.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第11题）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，求： （1）; （2），，求 （3）令P是AB中点，求 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再由向量的加法和减法运算计算即可. （2）由向量内积的坐标运算计算即可. （3）先求出点P的坐标，再由坐标的模长公式计算即可. 【小问1详解】 因为点A、B的坐标分别为，， 所以， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，， 所以. 【小问3详解】 设， 由（1）知，， 因为P是AB中点，所以， 即， 即， 所以，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $