专题17 三角函数的图象与性质（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 三角函数的图象与性质 【复习目标】 1.熟记正弦、余弦函数的周期性、奇偶性、单调区间、最值，能求简单三角函数的周期与最值。 2.掌握正弦、余弦函数对称轴、对称中心，会判断三角函数奇偶性，能根据图象比较函数值大小。 3.能结合图象解决简单求自变量取值范围、判断增减区间、求对应最值点等基础题型。 4.能综合前面任意角、诱导公式、同角关系式知识，完成学考选择、填空类综合小题。 考点1 正弦和余弦函数的图像 1．正弦函数 正弦函数,的图象叫做正弦曲线，正弦图像画法（五点法）：在函数,的图象上,以下五个点：，，，，，在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 2．余弦函数 余弦函数,的图叫做余弦曲线，余弦图像画法（五点法）：画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 【即时训练】 1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A和B，先求出相应函数的最小正周期，再利用正弦函数和余弦函数的性质，即可求解；对C，作出的图象，数形结合，即可求解；对D，利用正切函数的性质可得是的一个周期，即可求解. 对于A，因为的最小正周期为， 又当时，，由正弦函数的性质知在区间上不单调，故A错误， 对于B，因为的最小正周期为， 又当时，，由余弦函数的性质知在区间上单调递增，故B错误， 对于C，的图象如图所示，由图可知的最小正周期为，且在区间上单调递减，所以C正确， 对于D，令，因为， 所以是的一个周期，故最小正周期不是，所以D错误， 故选：C. 2．已知函数在处取最大值，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的最值求解即可. 因为函数在处取最大值， 所以，即， 当时，. 故选：B 3．在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性及在上单调性，逐项分析判断. 对于A，函数是奇函数，所以A错误； 对于B，函数是偶函数，在上单调递减，所以B错误； 对于C，函数是奇函数，所以C错误； 对于D，函数是偶函数，在上单调递增，所以D正确. 故选：D 4．已知，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，根据集合的关系即可求出答案. 解不等式得， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5．函数，的值域为______________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增， ，， 所以函数，的值域为. 6．已知函数，当_____________时，y有最大值等于_____________. 【答案】 ， 5 【分析】令，则.由函数的单调性可得，当时，有最大值. 令，则. 因为函数是减函数， 所以当，时，取得最小值，此时取得最大值. 故答案为：， ；. 7．已知直线，函数，，试探求以下问题． (1)当a为何值时，直线与函数的图象只有一个交点？ (2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦函数的性质，结合函数图象求解； （2）根据正弦函数的性质，结合函数图象求解. （1）由图象易知当时，与函数的图象只有一个交点． （2）当时，与函数图象有两个交点． 8．求函数的单调递减区间. 【答案】. 【分析】根据题意利用正弦函数的性质即可得解. 【详解】函数， 令，解得， 所以减区间为. 考点2 函数的周期性 1．周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 【即时训练】 9．，的减区间为（ ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】根据正弦函数的单调性判断. 函数与函数的减区间相同，减区间为，， 故选：D. 10．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦函数性质判断即得. 由，得，即成立； 反之，由，得，则不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．函数的最大值是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数最值计算求解. 因为的最大值为1， 所以当，即， 函数的最大值是2. 故选：B. 12．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦函数的五点作图法，可得描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同， 即五个点的横坐标分别为. 13．函数的最小正周期__________________. 【答案】 【分析】根据余弦函数的周期公式求解. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 14．函数的最大值是 ________ 【答案】4 【分析】根据余弦函数的性质可求解. 【详解】因为， 所以，当时，即时， 函数取得最大值. 故答案为：. 15．当取什么值时，函数能取得最大值和最小值，并求出此函数的最大值、最小值. 【答案】当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. 【分析】根据余弦函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最大值， 当时，函数取得最小值. 16．利用五点法作出函数在上的简图. 【答案】作图见解析 【分析】根据五点法列表，描点，连线作图即可. 【详解】（1）列表 0 0 1 0 0 （2）描点作图 在平面直角坐标系中画出五个关键点：，再用平滑的曲线连接起来.    考点3 正弦、余弦、正切函数的图象和性质 函数 性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R 图象 值域 [－1，1] [－1，1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0) 对称轴： x＝kπ(k∈Z)； 对称中心:(k∈Z) 无对称轴； 对称中心:(k∈Z) 最小正 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间: (k∈Z)； 单调减区间: (k∈Z) 单调增区间: [2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 单调减区间: [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间: (k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 【即时训练】 17．下列选项中，函数，的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据正弦函数的图象判断即可. 【详解】根据正弦函数的图象判断D选项符合题意. 故选：D. 18．函数的最小正周期为2，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数的最小正周期为2， 则，所以， 故选：A. 19．函数的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合余弦函数的值域，即可求解. 【详解】， ，即函数的最小值为. 故选：C. 20．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的性质可判断的最大值，从而判断函数的最大值. 【详解】由余弦函数的性质可知，函数的最大值为1， 则函数的最大值为1，函数的最大值为5. 故选：D. 21．函数的最小值是___________． 【答案】0 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以 ， 所以函数的最小值是. 故答案为：. 22．比较大小：_______.（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据余弦函数的单调性求解即可. 【详解】余弦函数在区间上是单调递减函数，且，因此. 故答案为：. 23．已知函数，求： (1)函数的最小正周期； (2)函数的最大值和最小值. 【答案】(1). (2)最大值为2，最小值为. 【分析】（）根据最小正周期公式即可得解. （）根据正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）函数， 则最小正周期为. （2）函数， ，所以最大值为2，最小值为. 24．已知函数 . (1)求该函数的最小正周期； (2)求该函数的最大值及取得最大值时的集合. 【答案】(1) (2)最大值为2，的集合为 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式即可求解. （2）根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由函数得 . （2）由函数得， 当时，函数取得最大值，此时 ， 即该函数的最大值为，此时的集合为 . 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，是偶函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断选项即可. 【详解】A：的定义域为R，定义域关于原点对称， 所以，所以函数不是偶函数，A错误， B：的定义域为R，定义域关于原点对称， 所以，所以函数是偶函数，B正确， C：的定义域为R，定义域关于原点对称， 所以，所以函数不是偶函数，C错误， D：的定义域为，定义域关于原点对称， 所以，所以函数不是偶函数，D错误. 故选：B. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）下列各函数中，是奇函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质逐项判断即可求解. 【详解】对于A，的定义域为R，函数，所以函数为奇函数； 对于B，的定义域为R，函数，所以函数为偶函数不为奇函数； 对于C，的定义域为R，函数，且函数为非奇非偶函数； 对于D，的定义域为，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数， 故选：A 3.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，哪个为非奇非偶函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数，一次函数与正余弦函数的性质判断选项即可. 【详解】A选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是奇函数，不是非奇非偶函数； B选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是非奇非偶函数； C选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是奇函数，不是非奇非偶函数； D选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是偶函数，不是非奇非偶函数. 故选：B. 题） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 三角函数的图象与性质 【复习目标】 1.熟记正弦、余弦函数的周期性、奇偶性、单调区间、最值，能求简单三角函数的周期与最值。 2.掌握正弦、余弦函数对称轴、对称中心，会判断三角函数奇偶性，能根据图象比较函数值大小。 3.能结合图象解决简单求自变量取值范围、判断增减区间、求对应最值点等基础题型。 4.能综合前面任意角、诱导公式、同角关系式知识，完成学考选择、填空类综合小题。 考点1 正弦和余弦函数的图像 1．正弦函数 正弦函数,的图象叫做正弦曲线，正弦图像画法（五点法）：在函数,的图象上,以下五个点：，，，，，在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 2．余弦函数 余弦函数,的图叫做余弦曲线，余弦图像画法（五点法）：画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 【即时训练】 1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数在处取最大值，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 3．在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数，的值域为______________． 6．已知函数，当_____________时，y有最大值等于_____________. 7．已知直线，函数，，试探求以下问题． (1)当a为何值时，直线与函数的图象只有一个交点？ (2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？ 8.求函数的单调递减区间. 考点2 函数的周期性 1．周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的 . 2．最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的 . 【即时训练】 9．，的减区间为（ ） A． B． C．， D．， 10．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．函数的最大值是（ ） A． B．2 C． D． 12．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 13．函数的最小正周期__________________. 14．函数的最大值是 ________ 15．当取什么值时，函数能取得最大值和最小值，并求出此函数的最大值、最小值. 16.利用五点法作出函数在上的简图. 考点3 正弦、余弦、正切函数的图象和性质 函数 性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R 图象 值域 [－1，1] [－1，1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0) 对称轴： x＝kπ(k∈Z)； 对称中心:(k∈Z) 无对称轴； 对称中心:(k∈Z) 最小正 周期 单调性 单调增区间: (k∈Z)； 单调减区间: (k∈Z) 单调增区间: [2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 单调减区间: [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间: (k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 【即时训练】 17．下列选项中，函数，的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   18．函数的最小正周期为2，则的值为（   ） A． B． C． D． 19．函数的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D． 20．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 21．函数的最小值是___________． 22．比较大小：_______.（填“>”、“<”或“=”） 23．已知函数，求： (1)函数的最小正周期； (2)函数的最大值和最小值. 24．已知函数 . (1)求该函数的最小正周期； (2)求该函数的最大值及取得最大值时的集合. 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，是偶函数为（ ） A. B. C. D. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）下列各函数中，是奇函数的是（ ）． A. B. C. D. 3.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，哪个为非奇非偶函数（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $