四 长方体和正方体 第7天 智闯易错迷宫&勇攀思维巅峰-【通成学典】2026年五升六数学暑期升级训练（苏教版·新教材）

宫期升极训练数学（苏教版）五年级 四 图形王国 长方体和正方体 第7天 智闯易错迷宫 聚焦攻坚 类型一 组合图形的表面积 易错分析 用综合法求组合图形的表面积 例1一种组合高低柜是由一个长80cm、宽 解决此类问题时，先要明确要求哪几个面的 50cm、高60cm的长方体和一个长80cm、宽 面积，然后观察各个面的特点，再选择合适的方法 50cm、高100cm的长方体组合而成的（如图， 计算。 单位：cm)。工人要给这个高低柜刷油漆，底 面不刷，需要刷油漆的面积是多少平方厘米？ 类型二 通过表面积的变化求体积 (把手处忽略不计) 80 例2将一个长方体的高减少6cm,就变成一 50 80 个正方体（如图），正方体的表面积比原来长方 60 100 体的表面积减少了168cm。原来长方体的体 50 积是多少立方厘米？ 点拨：高低柜的底面不刷油漆，把手处忽略不 计，可以把除底面以外的面积相加。前、后两 个面是相同的，都可以看成由长是80cm、宽是 点拨：由题意可知，原来长方体的上、下面是正 60cm和长是100cm、宽是80cm的两个长方 方形，即原来长方体的长和宽相等，前、后、左、 形组成（如图①，单位：cm);左、右两个面是相 右4个面的面积也相等。所以表面积减少的 同的，都可以看成长是100cm、宽是50cm的 168cm相当于高是6cm的长方体的前、后、 长方形（如图②，单位：cm)；上面可以看成长 左、右4个相同面的面积之和，由此可以求出 是(80+80)cm、宽是50cm的长方形（如图 原来长方体的长和宽，进而求出原来长方体的 ③，单位：cm)。 80 高，最后根据长方体的体积计算公式“V= 40 80 100 abh”求出原来长方体的体积。 100 60 60 解答： 50 50 ① 80 80 50 ③ 易错分析 解答： 截去部分后物体的表面积减少的问题 长方体或正方体沿截面被截去一部 分（如图），减少的那部分表面积等于截去 部分前、后、左、右4个面的面积之和。 16 你盼着我，我盼着你。（打一数学名词） 采蜜角 整合提优10天深度融通（春季学期）》 类型三打包表面积最小问题 实验内容：利用提供的辅助工具测量甲、乙容 器中水的体积。 例3一种蜡笔盒长和宽都是8厘米，高是 辅助工具：一块小石头、一把直尺、一支铅笔。 3厘米。乐乐想把6个这样的蜡笔盒包装成 一个长方体，怎样包装最省包装纸？请你算一 算，最少需要多少平方厘米的包装纸？（包装 纸的重叠部分忽略不计) 点拨：要想最省包装纸，则尽量将较大的面拼 小明思考片刻后做起了实验，并很快计算 接在一起。6=1×1×6=1×2×3，三种较为 出了两个容器中水的体积。下面是小明的实 节省包装纸的包装方法如下图。 验过程和实验数据： 米 :第一步：用铅笔在甲、乙两个容器水面的 9 外壁处做标记； 16厘米 第二步：把小石头浸没在甲容器中，测量 8厘米 出水面上升了2cm(未溢出)； 第三步：从甲容器中取出小石头，浸没在 乙容器中，测量出水面上升了3cm(未溢 出)。（水的损耗忽略不计） 8厘 分别计算三种包装方法的表面积后比较 你知道小明是怎样求出乙容器中水的体 即可。 积的吗？ 解答： 点拨：两个容器中，水面上升的体积就是小石 头的体积，长方体的体积=长X宽×高，甲容 器的长×甲容器的宽×甲容器水面上升的高 度=小石头的体积，即乙容器水面上升的体 积；乙容器水面上升的体积÷乙容器水面上升 易错分析 的高度=乙容器的底面积，再用乙容器的底面 表面积最小的打包技巧 积X原来的水面高度，即可求出乙容器中水的 要使打包省包装纸，优先拼接较大面。拆分 体积。 个数得组合方式，计算各组合的长方体的表面积， 解答： 比较后取最小值。 类型四 容器浸物问题 例4数学实践活动课上，王老师带来了甲、乙 易错分析 两个容器（装有同样多的水，甲容器内壁长 水未溢出的浸没问题 解题的关键在于理解“小石头的体积=水面 30cm,宽20cm;乙容器内水面高21cm),并 上升部分的体积”。 布置了一项实验活动。 采蜜角 1000=100×100×100(打一成语) [P16答案：相等] 17 宫期升极训练数学（苏教版）五年级 第7天 勇攀思维巅峰 聚焦攻坚 类型一 长方体挖去一部分后的表面积 类型二 等积变换问题 计算 例2园艺师准备给两个长方体花槽填充营养 例1从一个棱长为10厘米的正方体木块上， 土，A花槽已经装了24cm深的营养土；B花 平行于某条棱挖去一个长10厘米、宽2厘米、 槽是空的（如图）。为了让两个花槽的土深一 高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多 致，需要从A花槽移一部分土到B花槽。调 少平方厘米？ 整后两个花槽的土深是多少厘米？（花槽壁的 点拨：本题有多种情况： 厚度忽略不计) ① 沿着一条棱挖，表面积比原 来正方体少了2个边长是2 B 厘米的正方形的面积 m 50 50 cm 20 cm 40 cm 在某个面上正着挖，表面积 2 点拨：无论怎样移，营养土的体积不变。可以 比原来正方体少了2个边长 是2厘米的正方形的面积， 将两个花槽并排放在一起，将有营养土的部分 多了2个长是10厘米、宽是 2厘米的长方形的面积 看成一个长(20+40)cm、宽50cm的长方体 (如下图)。 挖通某两个对面，表面积比 3 原来正方体少了2个边长是 2厘米的正方形的面积，多 了4个长是10厘米、宽是2 m 厘米的长方形的面积 60 20 cm 40 cm 解答： 由“长方体的体积=底面积X高”可知， “长方体的高=体积÷底面积”，从而计算出调 整后两个花槽的土深。 解答： 方法点金 挖去小立体图形后表面积的分析 方法点金 从一个大立体图形中挖去一个小立体图形， 抓不变量解决问题 要先考虑是怎样挖的，有几种挖法。要求剩下部 解决此类问题的关键是抓住不变量，如本题 分的表面积，可通过观察图形，得出剩下部分的表 中，无论怎样移动，营养土的体积是不变的。根据 面积与原来大立体图形的表面积相比，是多了还 营养土的体积不变，结合长方体的体积计算公式 是少了挖去的小立体图形的哪几个面的面积。 即可求解。 18 第7天 用时 分钟 自我评价：☆☆☆☆☆ 。评价苑例 例3假设原来游客的人次数为10。 10×(1+1)=2060×10=600(元)》 600×5=120(元)600+120=720（元） 720÷20=36(元)答：现在每张门票36元。 第6天冲刺满分赛场 -1号2能35 4日子吉品 5.326 解析：先计算，再分析比较，如下表。 计算 分析 结果 分母相同，分子 大的分数大。 4☐ 最大填3 77 4>□. 品×号品 分子相同，分母 小的分数大。 ∠ 7 最大填26 27 27>☐。 6.57 二、1.B2.C3.D 三1号专 49 2原式7日日日日品品品品 1115 12=7-1284 1213 四、1.1-65=30 答：种甘草的面积占这块药田的品。 256×号-16(T米助 答：鸵鸟的速度大约比非洲野狗快16千米/时。 3.假设原来的销售量为10件。 480×10=4800(元)4800×4 1 =1200(元) 4800-1200=3600(元)10×3=30（件） 3600÷30=120(元)答：现在这款衬衫每件120元。 附：答案与解析 四 图形王国一长方体和正方体 第7天智闯易错迷宫 例1(80×60+100×80)×2=25600(cm2) 100×50X2=10000(cm2) (80+80)×50=8000(cm) 25600+10000+8000=43600(cm2) 答：需要刷油漆的面积是43600cm。 例2168÷4÷6=7(cm)7+6=13(cm) 7×7×13=637(cm3) 答：原来长方体的体积是637cm3。 例3包法一：3×6=18（厘米） 8×8×2+18×8×4=704(平方厘米) 包法二：8×2=16（厘米）3×3=9（厘米） (16×8+9×8+16×9)×2=688(平方厘米) 包法三：8×3=24（厘米）3×2=6（厘米） (24×8+8×6+24×6)×2=768(平方厘米) 688<704<768 答：包装成长是16厘米、宽是8厘米、高是9厘米的长 方体最省包装纸，最少需要688平方厘米的包装纸。 例430×20×2=1200(cm3)1200÷3=400(cm) 400×21=8400(cm3) 答：乙容器中水的体积是8400cm3。 第7天勇攀思维巅峰 例1情况一：10×10×6-2×2×2=592（平方厘米） 情况二：10×10×6-2×2×2+10×2×2=632（平方 厘米)情况三：10×10×6-2×2×2+10×2×4= 672(平方厘米)答：剩下部分的表面积可能是592平 方厘米或632平方厘米或672平方厘米。 例220×50×24=24000(cm3) 24000÷[(20+40)×50]=8(cm) 答：调整后两个花槽的土深是8cm。 第8天冲刺满分赛场 -、1.mlm3Lcm32.8123.48 4.4645845.62 二、1.B2.B3.B4.C 三、1.(8×3+6×3)×2+8×6-11.4=120.6(m) 120.6×4=482.4(元) 答：粉刷这间教室需要花482.4元的涂料费。 79