预学储备 1.2.1 二次函数y=ax²(a≠0)的图象及其特征-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

3预学储备 1.2二次函数的图象 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 新知导学 知识点1 二次函数y=ax2(a≠0) 方法归纳 的图象 画二次函数图象的注意点：(1)由于二次函数 的图象是曲线，所以画图时应多选几个点.列表时， 二次函数y=x2的图象是一条关于y轴对 自变量的取值通常由小到大取.(2)连线时应平滑 称、过坐标原点并向上伸展的曲线.像二次函数 顺畅，切忌连成折线.(3)图象应向两方延伸. y=x2的图象这样的曲线叫作抛物线.抛物线 与它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点， 练1已知二次函数y=一x2. 例1(1)填写下表，再在如图①所示的平面直角 (1)画出该函数的图象。 (2)函数y=一x2的图象开口向 ,对称 坐标系内画函数y=2与y=一号的图象 轴是 -3-2-1 0 1 3 … 1 (2)①由(1)，可知二次函数y=a.x2(a≠0)的 图象的形状为 ②直接写出二次函数y=ax2(a≠0)的图象的 开口情况. 练2已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过 点（号，-1.有下列点：1,40，(0,0（号，1， -3-2 (2,一16).其中，哪些点在函数图象上？哪些点 不在函数图象上？ ① ② (例1图) 1 .1.。.9.9 1 解：1)9；2：之03之23292；一2：209 1 9 ：一2；一2函数图象如图②所示. (2)①抛物线， ②当a>0时，二次函数y=ax2(a≠0)的图象 开口向上；当a<0时，二次函数y=ax2(a≠ 0)的图象开口向下. 毫期升级训练 数学（浙教版）八年级 知识点2 二次函数y=ax2(a≠0)的图象 练3如图所示为二次函数y=4x2,y=-4x2, 特征 1 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛 y- 420y=- 的图象各二次函数表达式 物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点.当α> 分别对应哪个图象？ 0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低 2 点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物 线的最高点.α影响抛物线的开口大小和方向. 例2已知抛物线y=a.x2经过点A(-2,一8). (1)求此抛物线对应的函数表达式. (2)写出这条抛物线的顶点坐标、对称轴、开口 (练3图) 方向. (3)判断点B(一1，一4)是否在此抛物线上 (4)求出此抛物线上纵坐标为一6的点的坐标， 解：(1)因为抛物线y=ax2经过点A(一2， 练4写出二次函数y=一：的图象的顶点 -8),所以a·(一2)2=-8，解得a=-2.所以 坐标、对称轴、开口方向和图象的位置， 此抛物线对应的函数表达式为y=一2x2. (2)此抛物线的顶点坐标为(0,0)，对称轴为 y轴，开口向下. (3)把x=-1代入y=-2x2,得y=-2X (-1)2=-2.因为-2≠-4，所以点B(-1, 一4)不在此抛物线上. (4)把y=一6代入y=-2x2,得-6=-2x2, 解得x=士√5.所以此抛物线上纵坐标为一6的 点的坐标为(5，一6)或(-√5，一6) 预学过关 1.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点 x,另一条直角边的长是这条直角边的长的 (2,16),则下列各点中，不在图象上的是() 2倍，则这个直角三角形的面积y与x之间 A.(1,4) B.(4,16) 的函数图象大致为 () C.(-1,4) D.(-2,16) 2.有下列关于二次函数y=5x2的图象特征的 说法：①开口向上：②对称轴是y轴；③顶 点是坐标原点；④有最高点.其中，正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知一个直角三角形的一条直角边的长为 42 3预学储备 4.[2024杭州上城段考]在同一平面直角坐标 9.已知点A(3,18)与点B(-1,k)都在二次函 系中，当ab>0时，函数y=ax2与y=ax十 数y=a.x2(a≠0)的图象上 b的图象大致是 (1)求a和k的值 (2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口 方向和图象的位置 (3)试判断这个函数的图象是否经过点 (-2,10). 5.二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-1， 2),则a的值是 6.如图所示的四个二次函数图象分别对应 ①y=ax2,②y=bx2,③y=cx2,④y= dx2,则a,b,c,d的大小关系为 (用“>”连接). 10.如图，二次函数y=a.x2(a卡0)与一次函数 ① ② y=kx一2(k≠0)的图象相交于A(一1， 一1)，B两点，且直线y=k.x一2(k≠0)交 2 ④ y轴于点G,求△OAB的面积 ③ (第6题) 7.已知二次函数y=2026x2的图象经过原点， 且其图象上有两个不同的点P), (第10题) Q)则1t。 8.在平面直角坐标系中，画出二次函数y=2x2 的图象。 43【预学过关】 1.D解析：根据二次函数的定义，可知y=x2一定属于 二次函数 2.C解析：y=(500一10x)(40+x)=10x2+100x+ 20000.所以y是x的二次函数，二次项系数是一10，一 次项是100x,常数项是20000. (4a一2b=8, 3.3223解析：由题意，得 解得 a-2b=-1, a=3, 所以y=3x2一4.当x=一3时，y的值为3×9- b=2. 4=23. 4.根据题意，可知六块草坪可合成长为(40一2x)m、宽为 (26-x)m的矩形草坪.所以6y=(40-2x)(26-x).所 以y=-9x+因为x>0,40-2x>0,26 x>0,所以0<x<20.所以y关于x的函数表达式为y= r-9+200<r<20. 1.2二次函数的图象 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 【新知导学】 1.（1)列表如下： -3-2 -10 12 3 y=一x2 -9 一4 -10 一4一9… 函数y=一x的图象如图所示.(2)下；y轴， "o 10 (第1题) 2因为二次函数y=ax2(a≠0)图象经过点（分，-1） 所以-1=a×(号)》，解得a=-4所以y=-4x.当 x=1时，y=-4×12=-4:当x=0时，y=0:当x 2时y=-4×(-2）=-1:当x=2时y=-4× 2 2=一16.所以点(0,0)，(2，一16)在函数图象上，点(1， 0.(←21)不在函数图象上 3.因为4>>0，所以函数y=和y=子2的图象 开口向上，且函数y=4x2的图象的开口小于函数y= 子：的图象的开口.所以函数y=4r的图象为0，因数 y=的图象为@.同强，可得函数y=一4r的图象 为0，函数y=-子r的图象为8， 4.顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口向下，图象在 x轴的下方（除顶点外）. 【预学过关】 1.B解析：由题意，可得16=4a,解得a=4.所以y= 4x2.当x=1时，y=4:当x=4时，y=64;当x=一1时， y=4;当x=一2时，y=16.所以选项A,C,D不符合题 意，选项B符合题意 2.C解析：二次函数y=5x2的图象是开口向上的抛物 线，对称轴是y轴，顶点是坐标原点，有最低点，故①②③ 正确，④错误.所以正确的有3个 3.C解析：由题意，可知另一条直角边的长为2x,则 1 y=2x·2=x.因为x>0,且当x=1时，y=1,所以 选项C符合题意 4.D解析：由题意，可知a>0,b>0或a<0,b<0.当 a>0时，b>0,所以函数y=ax2的图象开口向上，函数 y=ax十b的图象经过第一、二、三象限，故选项A,B不符 合题意.当a<0时，b<0,所以函数y=ax2的图象开口 向下，函数y=ax十b的图象经过第二、三、四象限，故选 项C不符合题意，选项D符合题意， 5.2解析：因为二次函数y=a.x2(a≠0)的图象经过点 (-1,2),所以2=a×(-1)2,解得a=2. 6.a>b>d>c解析：根据二次函数y=ax2(a≠0)的 图象特征可知，当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图 象开口向下，且a越大，图象开口越小，la越小，图象开 口越大.所以由题图可知，a>b>d>c. 7.0解析：因为二次函数y=2026x2的图象的对称轴 为y轴，且P,Q两点的纵坐标相同，所以P,Q两点关于 y轴对称.所以t1与t2互为相反数.所以t1十t2=0. 1 8.列表如下： 一2 -1 0 2 y 0 … 函数y=2x2的图象如图所示。 --8 6 4 3 -5-4-3-2-1012345x -2 -3 -4 (第8题) 9.(1)把A(3,18)代入y=ax2(a≠0)，得18=a·32,解 得a=2.所以y=2x2.把B(-1,k)代人，得k=2× (一1)2=2.(2)函数图象的对称轴是y轴，顶点坐标是 (0,0),开口向上，图象在x轴的上方（除顶点外）.(3)当 x=一2时，y=2×(一2)2=8≠10，所以这个函数的图象 不经过点（一2,10）. 10.因为一次函数y=kx一2(k≠0)的图象过点 A(-1,-1),所以-1=-k-2,解得k=-1.所以一次 函数的表达式为y=一x一2.令x=0,得y=一2，所以点 G的坐标为(0，一2).所以OG=2.因为二次函数y= ax2(a≠0)的图象过点A(-1,一1)，所以-1=a×(-1)2, 解得a=一1.所以二次函数的表达式为y=一x2.联立， y=-x-2, x1=一1， x2=2, y，解得 或 ,=-1 所以点B y2=-4. 的坐标为(2，-4.所以50aw=20G·l+20G· =号X2×-1+2×2x2=1+2=3. 第2课时二次函数y=a(x一m)2+k(a≠0)的 图象及其特征 【新知导学】 1.在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=2x2与 y=2(x+3)2的图象如图所示.将二次函数y=2x2的图 象向左平移3个单位得到二次函数y=2(x+3)2的 2 图象 y 5 3 y=2(x+3) 1 y=2x -5-4-3-2-10 12345x -2 (第1题) 2.(1)将函数y=x2的图象向右平移1个单位得到函数 y=(x一1)2的图象.(2)函数y=(x-1)2的图象开口向 上，顶点坐标为(1,0)，对称轴为直线x=1. 3y=号(c-3)-1解析：先将二次西数y=号x的 1 图象向右平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为 y=3x-3):再将二次函数y=3(x-3)2的图象向 下平移1个单位，所得图象对应的函数表达式为y= 3(x-3-1 4.因为一个二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同， 所以设这个二次函数的表达式为y=2(x一m)2十k.因为 这个二次函数图象的顶点坐标为(3，一4)，所以m=3, k=一4.所以这个二次函数的表达式为y=2(x一3)2一4. 【预学过关】 1.C解析：由y=3(x一6)2可知，该函数的图象开口向 上，对称轴为直线x=6,顶点坐标为(6,0).令x=0,得 y=108,所以该函数图象与y轴有交点，且交点坐标为 (0,108).故选项C说法正确， 2.C解析：将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛 物线对应的函数表达式为y=(x十2)；再将抛物线y= (x十2)向下平移3个单位.所得抛物线对应的函数表达 式为y=(x十2)2-3. 3.D解析：选项A:平移后，得函数y=(x十1)2的图 象，当x=1时，y=4,所以图象经过点A,该选项不合题 意.选项B:平移后，得函数y=(x一3)2的图象，当x= 1时，y=4,所以图象经过点A,该选项不合题意.选项C: 平移后，得函数y=x2+3的图象，当x=1时，y=4,所以 图象经过点A,该选项不合题意.选项D:平移后，得函数 y=x2一1的图象，当x=1时，y=0≠4，所以图象不经过 点A,该选项符合题意. 2