第7天 图形与几何——长方体 智闯易错迷宫-【通成学典】2026年五升六数学暑期升级训练（北师大版·新教材）

宫期升级训练数学（北师版）五年级 四 图形与几何 长方体 第7天 智闯易错迷宫 类型一 相对面问题 8050 80 例1如图，正方体的6个面上写着1~6这 60 100 6个数字，想一想，1和几相对？2和几相对？ 50 (单位：cm) 4和几相对？（不考虑数字朝向） 点拨：高低柜的底面不刷油漆，把手处忽略不 计，可以把除底面以外的面积相加。前、后两 个面是相同的，都可看成由长是80cm、宽是 点拨：观察三幅图，发现第1幅和第3幅图上 60cm和长是100cm、宽是80cm的两个长方 都有数字1，数字1的相邻面上的数字是2,6， 形组成，如图①（单位：cm);左、右两个面是相 4,5。根据相邻的面不相对，推断出数字1相 同的，都可以看成长是100cm、宽是50cm的 对的面上的数字是3。运用排除法一步步 长方形，如图②（单位：cm);上面可以看成长 解答。 是(80+80)cm、宽是50cm的长方形，如图③ 解答： (单位：cm)。 80 40 80 100 100 60 60 60 50 ① ② 80 80 易错分析 50 用排除法解决相对面问题 ③ 先找出出现次数较多的数字，然后找出与这 解答： 个数字相邻面上的数字是什么，一一排除，再判断 这个面相对的面上的数字。 类型二 组合图形的表面积 例2一种组合高低柜是由一个长80cm、宽 50cm、高60cm的长方体和一个长80cm、宽 易错分析 50cm、高100cm的长方体组合成的（如图）。 用综合法求组合图形的表面积 工人要给这个高低柜刷油漆，底面不刷，需要 解决此类问题时，先要明确要求哪几个面的 面积，然后观察各个面的特点，再选择合适的方法 刷油漆的面积是多少平方厘米？（把手处忽略 计算。 不计) 16 你盼着我，我盼着你。（打一数学名词） 采蜜角 整合提优10天深度融通（春季学期） 类型三 通过表面积的变化求体积 缸中的水深一样。”小枫按留言条倒水后，这两 个鱼缸现在的水深是多少厘米？（鱼缸壁厚度 例3将一个长方体的高减少6cm,就变成一 忽略不计) 个正方体（如下图），正方体的表面积比原来长 方体的表面积减少了168cm。原来长方体的 体积是多少立方厘米？ B 50 20 cm 40cm 点拨：不管怎么倒水，水的体积不变。可以将 点拨：由题意可知，原来长方体的上、下面是正 两个鱼缸并排放在一起，将有水的部分看成是 方形，即原来长方体的长和宽相等，前、后、左、 一个长(20+40)cm、宽50cm的长方体 右4个面的面积也相等，所以表面积减少的 (如图)。 l68cm相当于高是6cm的长方体的前、后、 左、右4个相同面的面积之和，由此可以求出 原来长方体的长和宽，进而得出原来长方体的 高，最后根据长方体的体积计算公式V=abh 50 求出原来长方体的体积。 20cm 40cm 解答： 由“长方体的体积一底面积X高”可知，“长方 体的高=体积÷底面积”，从而计算出现在的 水深。 解答： 易错分析 截去部分后物体的表面积减少的问题 长方体或正方体沿截面被截去一段 (如图)，减少的那部分表面积等于截去部 分前、后、左、右4个面的面积和。 易错分析 抓不变量解决问题 类型四 等积变换问题 解决此类问题的关键是抓住不变量，如本题 例4小枫放学回家，看见桌上放着两个玻璃 中，鱼缸中的水无论怎么倒，体积是不变的。根据 水的体积不变，结合长方体的体积计算公式即可 鱼缸，爸爸在留言条上写着：“小枫，你回家后， 求出水深。 把A鱼缸的水倒一些到B鱼缸中，使两个鱼 采蜜角 想象力比知识更重要。 [P16答案：相等] 宫期升级训练数学（北师版）五年级 第7天 勇攀思维巅峰 类型一 正方体挖去一部分后的表面积 类型二物体部分浸入水中的问题 计算 例2一个长方体容器，从里面量，底面是一个 例1从一个棱长是10厘米的正方体木块上 边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个 平行于某条棱挖去一个长10厘米、宽2厘米、 高1米的长方体铁棒，长方体铁棒的底面是边 高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多 长为15厘米的正方形，这时容器里的水深是 少平方厘米？ 50厘米（如图①）。现在把铁棒轻轻地向上提 点拨：本题有多种情况： 起24厘米（如图②），露出水面的铁棒上被水 沿着一条棱挖，表面积比原来 浸湿的部分长多少厘米？ 正方体少了2个边长是2厘米 的正方形的面积。 在某个面上水平（或竖直）地 挖，表面积比原来正方体少了 2个边长是2厘米的正方形的 ① ② 面积，多了2个长是10厘米、 宽是2厘米的长方形的面积。 点拨：铁棒部分浸入水中，当轻轻提起铁棒时， 水的体积不变，提起的那部分铁棒的体积= 挖通某两个对面，表面积比 原来正方体少了2个边长是 容器中下降的那部分水的体积，容器中下降的 2厘米的正方形的面积，多了 那部分水的底面积=容器的底面积一铁棒的 4个长是10厘米、宽是2厘米 底面积。用“提起的那部分铁棒的体积÷（容 的长方形的面积。 器的底面积一铁棒的底面积)”求出水面下降 解答： 的高度，再加上提起的24厘米就是露出水面 的铁棒上被水浸湿的部分的长度。 解答： 方法点金 挖去小立体图形后表面积的分析 从一个大立体图形中挖去一个小立体图形， 方法点金 要先考虑是怎么挖的，有几种挖法。要求剩下部 求物体提出水面部分的长度 分的表面积，可通过观察图形，得出剩下部分的表 解决此类物体部分浸入水中的问题，要注意 面积与原来大立体图形的表面积相比，是多了还 当轻轻提起物体时，提起的那部分物体的体积 是少了挖去的小立体图形的哪几个面的面积。 容器里下降的那部分水的体积 78 第7天 用时 分钟 自我评价：☆☆☆☆☆ 。评价苑言期升级训练数学（北师版）五年级 四、1.解：设这幅油画的宽是xm。 x十2x=1.8÷2x=0.32x=0.6 答：这幅油画的宽是0.3m,长是0.6m。 2.19×83(件)3÷8-13c件) 答：中层有33件，下层有13件。 3客车的速度：75×号=50（千米/时）解：设经过： 小时两车相遇。75.x一50.x=25×2x=2(75+ 50)×2=250(千米)答：甲、乙两地相距250千米。 40梁号09-智 345 945 324,480和400 的录大公因致是4，每杯中果汁的质量是告1： -81（杯）号÷-120杯)0÷着 4 9÷45=100(杯) 答：橙汁至少装81杯，西瓜汁至少装120杯，桃汁至 少装100杯。 5.解：设客运火车完全超过货运火车至少需要x秒。 (25-15)x=450十350x=80答：客运火车完全超 过货运火车至少需要80秒。 解析：客运火车完全超过货运火车时，客运火车比货 运火车多行了这两列火车的车长和，也就是路程差是 450十350=800（米），再除以这两列火车的速度差即 可求出追及时间。 四 图形与几何一长方体 第7天智闯易错迷宫 例11和3相对，2和5相对，4和6相对 例2前、后两个面：(80×60+100×80)×2 25600(cm2)左、右两个面：50×100×2=10000(cm2) 上面：50×(80+80)=8000(cm2)需要刷油漆的面 积：25600+10000+8000=43600(cm2) 答：需要刷油漆的面积是43600cm。 例3168÷4÷6=7(cm)7+6=13(cm)7×7X 13=637(cm3)答：原来长方体的体积是637cm3。 例420×50×24÷[(20+40)×50]=8(cm) 答：这两个鱼缸现在的水深是8cm。 第7天勇攀思维巅峰 例1情况一：10×10×6-2×2×2=592（平方厘米） 情况二：10×10×6-2×2×2+10×2×2=632（平方 厘米)情况三：10×10×6-2×2×2+10×2×4= 672(平方厘米)答：剩下部分的表面积可能是 592平方厘米或632平方厘米或672平方厘米。 例215×15×24=5400（立方厘米）5400÷(60× 60-15×15)=1.6(厘米)1.6+24=25.6（厘米） 答：露出水面的铁棒上被水浸湿的部分长25.6厘米。 第8天冲刺满分赛场 -、1.mLm3Lcm3m2L2.812 3.484.4645845.蓝绿红6.62 二、1.B2.B3.B4.C 三、1.(8×3+6×3)×2+8×6-11.4=120.6(m) 120.6×4=482.4(元) 答：粉刷这间教室至少需要花费482.4元涂料费。 2.50厘米=0.5米(100-40)×30×0.5÷(100× 30)=0.3(米)0.5-0.3=0.2（米）0.2米=20厘米 答：要从甲处推下20厘米厚的土填在乙处。 3.5×5×5-1×1×5×2+1×1×1=116(立方厘米) 5×5×6-1×1×4+1×(5-1)×4×2+1×1×2= 180(平方厘米) 答：打孔后橡皮泥的体积是116立方厘米，表面积是 180平方厘米。 4.10×10×30=3000(cm3)40×40-10×10= 1500(cm)3000÷1500+30=32(cm) 答：露出水面的铁棒上被水浸湿的部分长32cm。