第5天 图形与几何——长方体和正方体 智闯易错迷宫-【通成学典】2026年五升六数学暑期升级训练（冀教版·新教材）

3 2. ×号 (-8）×8s 7 =56-33 5 =23 一14 7、12,7 8X3十8÷13 名×+】 7 8 ×1 四.1x2-ke) ×2-e, 15 答这块冰原来的质量足 kg。 2.19×得-83件)38- 212(件) 答：中层甬钟有33件，下层甬钟有12件。 3.假设原来的销售量为10件。 80X10=4800(元)4800X=1200(元 4800-1200=3600(元)10×3=30（件） 3600÷30=120(元) 答：现在这款衬衫每件120元。 4.解：设原来的盐水有x克。 (1-)-(1-》a+10)x=50 答：原来的盐水有50克。 附：答案与解析 解析：加入盐前后，水的质量不变。设原来的盐 水有x克，盐的质量占盐水的行，则原来的盐水 中水有1-)x克。加入10克盐后，盐水质量 交为x十10)克，盐的质量占盐水的号，则水的质 量为(1-》x十10)克。列出方程求解。 三 图形与几何一长方体和正方体 第5天智闯易错迷宫 例1(80×60+80×100)×2=25600(cm2) 50×100×2=10000(cm2) 50×(80+80)=8000(cm2) 25600+10000+8000=43600(cm2) 答：需要刷油漆的面积是43600cm2。 例2168÷4÷6=7(cm)7+6=13(cm) 7×7×13=637(cm3) 答：原来长方体的体积是637cm3。 例3包法一：3×6=18（厘米） 8×8×2十8×18×4=704（平方厘米） 包法二：8×2=16（厘米）3×3=9（厘米） (8×16+8×9+16×9)×2=688(平方厘米) 包法三：8×3=24（厘米）3×2=6（厘米） (8×24+8×6+24×6)×2=768(平方厘米) 688<704<768答：包装成长16厘米、宽8厘 米、高9厘米的长方体最省包装纸，最少需要688 平方厘米的包装纸。 例430×20X2=1200(cm3) 1200÷3=400(cm2)400×21=8400(cm3) 答：乙容器中水的体积是8400cm3。 79 言期升级训练数学（冀教版）五年级 第5天勇攀思维巅峰 例1情况一：10×10×6-2×2×2=592（平方 厘米)情况二：10×10×6-2×2×2+10×2× 2=632(平方厘米)情况三：10×10×6一2× 2×2+10×2×4=672(平方厘米) 答：剩下部分的表面积是592平方厘米或632平 方厘米或672平方厘米。 例220×50×24÷[(20+40)×50]=8(cm) 答：调整后两个花槽的土深是8cm。 第6天冲刺满分赛场 -、1.mLm3Lcm32.8123.48 4.4645845.62 二、1.B2.B3.B4.C 三、1.(8×3+6×3)×2+8×6-11.4=120.6(m2) 120.6×4=482.4(元) 答：粉刷这间教室需要花482.4元的涂料费。 2.长：5×2=10（厘米）宽：9厘米 高：2×5=10（厘米） 10×10×2+9×10×4=560(平方厘米) 答：至少需要560平方厘米的包装纸。 3.(1)②④③① (2)8×6×(22-15)=336(立方厘米) 答：这个土豆的体积是336立方厘米。 4.4×4×6十(1×1+2×2)×4=116（平方厘米） 答：剩下部分的表面积是116平方厘米。 解析：自上而下挖掉中间的2个小正方体后，大 正方体的表面积相当于增加了前面、后面、左面 和右面4个(1×1十2×2)的面积，故剩下部分的 80 表面积=大正方体的表面积十增加的前、后、左、 右面的面积之和。 5.2×5×8+3×5×6=170(dm3) 170÷(2×5+3×5)=6.8(dm) 答：水深是6.8dm。 解析：将两个容器并排放置，总底面积为2×5十 3×5=25(dm2)。将水的部分看成是一个底面积 为25dm的长方体，水的总体积为2×5×8+ 3×5×6=170(dm3),则水深为170÷25= 6.8(dm)。 四 图形与几何一图形的运动 第7天智闯易错迷宫 例1 (第三幅图对称轴画法不唯一) 例2顺90顺60 例3(1)下33(2)90(3)顺左3 (4)上 例4 例5180°-90°-50°=40°40°+40°+90°= 170°答：正方形ABCD旋转了170°。整合提优10天深度融通（春季学期） 三 图形与几何一长方体和正方体 第5天 智闯易错迷宫 类型一组合图形的表面积 易错分析 用综合法求组合图形的表面积 例1一种组合高低柜是由一个长80cm、宽 解决此类问题时，先要明确要求哪几个面的 50cm、高60cm的长方体和一个长80cm、宽 面积，然后观察各个面的特点，再选择合适的方法 50cm、高100cm的长方体组合而成的（如图， 计算。 单位：cm)。工人要给这个高低柜刷油漆，底 面不刷，则需要刷油漆的面积是多少平方厘 类型二 通过表面积的变化求体积 米？（把手处忽略不计） 80 例2一个长方体的高减少6cm,就变成一个 50 80 正方体（如图），若正方体的表面积比原来长方 60 100 体的表面积减少了168cm,则原来长方体的 50 体积是多少立方厘米？ 点拨：高低柜的底面不刷油漆，把手处忽略不 计，可以把除底面以外的面积相加。前、后两 个面是相同的，都可以看成由长是80cm、宽是 60cm和长是100cm、宽是80cm的两个长方 点拨：由题意可知，原来长方体的上、下面是正 形组成的图形（如图①，单位：cm);左、右两个 方形，即原来长方体的长和宽相等，前、后、左、 面都可以看成长是100cm、宽是50cm的长方 右4个面的面积也相等，所以表面积减少的 形（如图②，单位：cm)；上面可以看成长是 168cm2相当于高是6cm的长方体的前、后、 (80+80)cm、宽是50cm的长方形（如图③， 左、右4个相同面的面积之和。由此可以求出 单位：cm)。 原来长方体的长和宽，进而求出原来长方体的 80 40 高，最后根据长方体的体积计算公式V=abh 80 100 求出原来长方体的体积。 100 60 60 解答： 50 分 ① ② 80 80 50 易错分析 ③ 物体截去一部分后表面积减少的问题 解答： 长方体或正方体沿截面被截去一部 分（如图），减少的那部分表面积等于截去 部分前、后、左、右4个面的面积之和。 采蜜角 搬来数一数。（打一数学名词） 11 宫期升极训练数学（冀教版）五年级 类型三打包表面积最小问题 实验内容：利用提供的辅助工具测量乙容器中 水的体积 例3一种蜡笔盒，长和宽都是8厘米，高是 辅助工具：一块小石头、一把直尺、一支铅笔。 3厘米。乐乐想把6个这样的蜡笔盒包装成 一个长方体，怎样包装最省包装纸？请你算一 算，最少需要多少平方厘米的包装纸？（包装 30 cm 纸的重叠部分忽略不计) 点拨：要想最省包装纸，则尽量将较大的面拼 小明思考片刻后做起了实验，并很快计算出了 接在一起。6=1X1×6=1×2X3,三种较为 乙容器中水的体积。下面是小明的实验过程 节省包装纸的包装方法如下图。 和实验数据： 第一步：用笔在甲、乙两个容器水面的外壁处 做标记。 米 8厘米6 16厘 第二步：把小石头浸没在甲容器中，测量出水 8厘米 面上升了2cm(未溢出)。 第三步：从甲容器中取出小石头（小石头上残 留水的体积忽略不计)，放入乙容器中（浸没）， 8厘 测量出水面上升了3cm(未溢出)。 分别计算三种包装方法的表面积后比较即可。 你知道小明是怎样求出乙容器中水的体积 解答： 的吗？ 点拨：在甲、乙两个容器中，水面上升部分水的 体积就是小石头的体积，长方体的体积=长X 宽×高，甲容器内壁的长×甲容器内壁的宽× 甲容器水面上升的高度=小石头的体积，即乙 容器水面上升部分水的体积；乙容器水面上升 易错分析 部分水的体积÷乙容器水面上升的高度=乙 表面积最小的打包技巧 容器的底面积，再用乙容器的底面积X原来的 包装时要省包装纸，可优先拼接较大面。根 据拆分个数列出组合方式，并计算各组合的长方 水面高度，即可求出乙容器中水的体积。 体的表面积，比较后取最小值。 解答： 类型四 容器浸物问题 例4数学实践活动课上，王老师带来了甲、乙 易错分析 两个容器（如图，甲容器内壁长30cm,宽 水未溢出的浸没问题 20cm,乙容器内水面高21cm),并布置了一项 解题的关键在于理解“小石头的体积=水面 上升部分水的体积”。 实验活动。 1+110=120。(打一成语) [P11答案：运算] 采蜜角 整合提优10天深度融通（春季学期） 第5天 勇攀思维巅峰 类型一 长方体挖去一部分后的表面积 类型二 等积变换问题 计算 例2园艺师准备给两个长方体花槽填充营养 例1从一个棱长为10厘米的正方体木块上； 土，A花槽已经装了24cm深的营养土；B花 平行于某条棱挖去一个长10厘米、宽2厘米、 槽是空的（如图）。为了让两个花槽的土深一 高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多 致，需要从A花槽移一部分土到B花槽。调 少平方厘米？ 整后两个花槽的土深是多少厘米？（花槽壁厚 点拔：本题有多种情况，如下。 度忽略不计) ① 沿着一条棱挖，表面积比原来 正方体少了2个边长是2厘米 的正方形的面积。 40 cm 50 cm 在某个面上平行于一条棱挖， 点拨：无论怎样移，营养土的体积不变。可以 ② 表面积比原来正方体少了2个 将两个花槽并排放在一起，将有营养土的部分 边长是2厘米的正方形的面 看成一个长(20+40)cm、宽50cm的长方体 积，多了2个长是10厘米、宽 是2厘米的长方形的面积。 (如图)。 平行于一条棱挖通某两个对面， 3 表面积比原来正方体少了2个 边长是2厘米的正方形的面 20 cm40 cm 60 积，多了4个长是10厘米、宽 由“长方体的体积=底面积X高”可知，“长方 是2厘米的长方形的面积。 体的高=体积÷底面积”，从而计算出调整后 解答： 两个花槽的土深。 解答： 方法点金 挖去小立体图形后表面积的分析 从一个大立体图形中挖去一个小立体图形， 方法点金 要先考虑是怎样挖的，有几种挖法。要求剩下部 抓不变量解决问题 分的表面积，可通过观察图形，将剩下部分的表面 解决此类问题的关键是抓住不变量，如本题 积与原来大立体图形的表面积相比，是多了还是 中，无论怎样移动，营养土的体积是不变的。根据 少了，相差的面积等于挖去的小立体图形的哪几 营养土的体积不变，结合长方体的体积计算公式 个面的面积。 即可求解 评价苑 第5天 用时： 分钟 自我评价：☆☆☆☆☆ 13