专题01 立体图形截面、三视图（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理立体图形截面与三视图知识体系，涵盖几何构成、三视图绘制规则、截面判定定理及正方体展开图等核心内容，用框架图呈现从基础概念到专项结论（如正方体截面形状、堆积立方体计数）的递进关系，突出转化思想（立体转平面）的重难点联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础题型（如圆柱形水杯水面形状判定）到综合压轴题（如正方体展开与截面结合），典例搭配变式训练，强化训练融入中考真题。通过三视图还原几何体、截面形状分析等题型，培养空间观念与几何直观，基础学生可掌握识图方法，优秀学生能突破最值计数难点，助力教师实施精准分层教学。

专题 01 立体图形截面、三视图 1. 掌握立体图形截面与三视图的解题思路，能完成几何体识图、截面判断、三视图计数、展开图相关计算； 2. 能根据柱、锥、球特征匹配解题方法，解决基础识图、简单计数题型； 3．依托转化思想实现立体转平面，突破堆积立方体最值计数、截面形状判定难点； 融合思想解决正方体展开+截面综合压轴题。 （一）基础核心知识点 几何构成：点动成线，线动成面，面动成体；几何体分为多面体（棱柱、棱锥）、旋转体（圆柱、圆锥、球）。 三视图定义与绘制规则 主视图：从正面观察；左视图：从左面观察；俯视图：从上方观察； 绘图准则：长对正、高平齐、宽相等；看得见的棱实线，看不见的棱虚线。 截面判定定理：平面与面体个面相交，截面为边形；含曲面几何体截面可出现曲线。 正方体展开图：共11种有效形式，分为一四一、一三二、三三、二二二型；“田字、凹字”不能折成正方体；展开图中相对面不相邻。 （二）专项图形结论 正方体截面：只能截出锐角三角形，无法截直角、钝角三角形；最多六边形； 圆柱截面：平行底面→圆；竖直沿轴→长方形；倾斜截取→椭圆； 圆锥截面：平行底面→小圆；沿轴→等腰三角形；倾斜→椭圆/抛物线； 球体：任意截面都是圆； 堆积立方体计数：俯视图定底层布局，主、左视图定每层方块数，分最多、最少两种情况。 （三）核心数学思想 转化思想：将抽象立体几何问题转化为三视图、截面、展开图等平面图形分析，降低空间想象难度。 题型 01 几何体截面形状的判定 【典例1】如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（　　） A．长方形 B．圆 C．平行四边形 D．三角形 【变式】如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（　　） A．七边形 B．五边形 C．正方形 D．三角形 题型 02 三视图的辨识 【典例2】由10个大小相同的正方体搭成的两个几何体如图所示，关于这两个几何体的视图下列说法正确的是（　　） A．主视图和左视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．主视图和俯视图相同 D．三种视图都相同 【变式】如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 题型 03 三视图还原结合体 【典例3】如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则这个几何体可能是（　　） A． B． C． D． 【变式】某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 题型 04 正方体展开图 【典例4】如图所示是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，和“生”字一面相对的字是（　　） A．率 B．效 C．就 D．命 【变式】为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A．中 B．神 C．精 D．天 【巩固训练】 1. 如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3.如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数不可能为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4. 用一个平面去截一个几何体，如果截面形状是三角形，那么原来的几何体可能是 　　 ． 5. 如图，该几何体由大小相同的小正方体拼接而成．若移走一块小正方体后，几何体的主视图保持不变，那么移走的小正方体是　　 ．（填写所标的序号） 6. 如图所示，该几何体是由6个完全相同的小正方体搭而成．如果在该几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加　　 个小正方体． 7. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是　　 个． 8. 若要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x+y＝　　 ． 9. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． （1）请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； （2）如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加　　 块小正方体． 10. 如图所示的圆柱，它的底面半径为3cm，高为10cm． （1）该圆柱的截面有几种不同的形状？ （2）你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 【强化训练】 1. （2026•越秀区校级三模）我国科学家为建造月球基地，模拟月壤成分烧制出一种具有互锁结构的“月壤砖”（如图1），图2是“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2. （2026春•南岗区校级月考）两个圆柱的体积之差是30πcm3，如果将这两个圆柱分别切削成两个最大的圆锥，那么这两个圆锥的体积之差是（　　）cm3． A．30π B．20π C．10π D．无法确定 3. （2026•吴忠校级模拟）由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（　　） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 4. （2026•路北区二模）在标准的骰子上，相对面上的点数之和为7．如图，四个骰子粘成一排，则整个表面上的点数之和最大是（　　） A．58 B．60 C．68 D．70 5. （2025秋•达川区期末）用一个平面去截一个棱柱，得到的截面边数最多是20条，则这个棱柱有　20　 个面，有　　 条棱． 6. （2025秋•贺兰县校级期末）如图①，A，B，C是正方体的三个顶点，过A，B，C三点的平面将正方体截去一个角，剩余部分是一个新几何体（如图②）．若这个新几何体有x个面，y条棱，z个顶点，则x+y﹣z＝　　 ． 7. （2025秋•顺义区校级期末）如图，现有棱长为a的8个正方体堆成一个棱长为2a的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一个边长为2a的正方形，现如果要求从图中上面4个正方体中拿去2个，而三个视图的形状仍不改变，那么拿去的2个正方体的编号应为 ． 8. （2025秋•建邺区校级期末）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“6”对面的数字是　　 ． 9.（2025秋•伊川县期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题： （1）a，d，f各表示几？ （2）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ （3）当b＝e＝3，c＝1时，画出这个几何体从左面看到的形状图． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 01 立体图形截面、三视图 1. 掌握立体图形截面与三视图的解题思路，能完成几何体识图、截面判断、三视图计数、展开图相关计算； 2. 能根据柱、锥、球特征匹配解题方法，解决基础识图、简单计数题型； 3．依托转化思想实现立体转平面，突破堆积立方体最值计数、截面形状判定难点； 融合思想解决正方体展开+截面综合压轴题。 （一）基础核心知识点 几何构成：点动成线，线动成面，面动成体；几何体分为多面体（棱柱、棱锥）、旋转体（圆柱、圆锥、球）。 三视图定义与绘制规则 主视图：从正面观察；左视图：从左面观察；俯视图：从上方观察； 绘图准则：长对正、高平齐、宽相等；看得见的棱实线，看不见的棱虚线。 截面判定定理：平面与面体个面相交，截面为边形；含曲面几何体截面可出现曲线。 正方体展开图：共11种有效形式，分为一四一、一三二、三三、二二二型；“田字、凹字”不能折成正方体；展开图中相对面不相邻。 （二）专项图形结论 正方体截面：只能截出锐角三角形，无法截直角、钝角三角形；最多六边形； 圆柱截面：平行底面→圆；竖直沿轴→长方形；倾斜截取→椭圆； 圆锥截面：平行底面→小圆；沿轴→等腰三角形；倾斜→椭圆/抛物线； 球体：任意截面都是圆； 堆积立方体计数：俯视图定底层布局，主、左视图定每层方块数，分最多、最少两种情况。 （三）核心数学思想 转化思想：将抽象立体几何问题转化为三视图、截面、展开图等平面图形分析，降低空间想象难度。 题型 01 几何体截面形状的判定 【典例1】如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（　　） A．长方形 B．圆 C．平行四边形 D．三角形 A【解析】根据图形可得，水面的形状为：长方形．故选：A． 【变式】如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（　　） A．七边形 B．五边形 C．正方形 D．三角形 A【解析】正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴所得水平面形状不可能出现七边形，可能是三角形、四边形、五边形和六边形，故选：A． 题型 02 三视图的辨识 【典例2】由10个大小相同的正方体搭成的两个几何体如图所示，关于这两个几何体的视图下列说法正确的是（　　） A．主视图和左视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．主视图和俯视图相同 D．三种视图都相同 A【解析】对于右边的几何体：主视图：从左往右3列，小正方形的个数依次为2，1，1； 左视图：从左往右2列（对应后排和前排），小正方形的个数依次为2，1； 俯视图：从上往下看，后排3个，前排中间1个， 对于左边的几何体：主视图：从左往右3列，小正方形的个数依次为2，1，1； 左视图：从左往右2列（对应后排和前排），小正方形的个数依次为2，1； 俯视图：从上往下看，后排3个，前排右侧1个； ∴两个几何体的主视图和左视图相同，俯视图不同．故选：A． 【变式】如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． A【解析】如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是，故选：A． 题型 03 三视图还原结合体 【典例3】如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则这个几何体可能是（　　） A． B． C． D． B【解析】由俯视图可知，该几何体底面小正方体的分布情况为：左列只有前排，中列前后排都有，右列只有后排，A选项的俯视图左列前后都有； B选项的几何体中小正方体的位置：前排：左、中各1个；后排：中、右各1个，上层1个在后排中，正好符合俯视图的形状，总共5个小正方体，完全符合题意； C选项的俯视图右列前后都有；D选项的俯视图右列前后都有．故选：B． 【变式】某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　） A． B． C． D． C【解析】A．选项A的三视图均不符合题意，故本选项不符合题意； B．选项B的主视图和俯视图均不符合题意，故本选项不符合题意； C．选项C的三视图均符合题意，故本选项符合题意； D．选项D的左视图和俯视图均不符合题意，故本选项不符合题意．故选：C． 题型 04 正方体展开图 【典例4】如图所示是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，和“生”字一面相对的字是（　　） A．率 B．效 C．就 D．命 A【解析】和“生”字一面相对的字是率，故选：A． 【变式】为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A．中 B．神 C．精 D．天 B【解析】正方体展开图中，相对面之间相隔一个正方形，与“航”字所在面相对的面上的汉字是“神”． 故选：B． 【巩固训练】 1. 如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 D【解析】如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，不可能是六边形，故选：D． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． B【解析】几何体的俯视图是 ， 故选：B． 3.如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数不可能为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 D【解析】由主视图可知，左列最高为1层，右列最高为3层，由俯视图可知，该几何体最底层共有4个小正方体，分布为左列1个，右列3个， ∴左列位置只能放1个小正方体．右列3个位置中，至少有一个位置放3个小正方体，其余位置最少放1个，最多放3个，∴小正方体个数最少为1+3+1+1＝6， ∴小正方体个数最多为1+3+3+3＝10， ∴小正方体个数n的取值范围是6≤n≤10，∴n不可能是12．故选：D． 4. 用一个平面去截一个几何体，如果截面形状是三角形，那么原来的几何体可能是 　　 ． 正方体【解析】用平面截几何体，截面可能是三角形的几何体是正方体．故答案为：正方体． 5. 如图，该几何体由大小相同的小正方体拼接而成．若移走一块小正方体后，几何体的主视图保持不变，那么移走的小正方体是　　 ．（填写所标的序号） ④【解析】若从几何体上移走一块小正方体，主视图不发生改变，则移走的小正方体是④．故答案为：④． 6. 如图所示，该几何体是由6个完全相同的小正方体搭而成．如果在该几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加　　 个小正方体． 4【解析】由图可知，第一排和第三排最下面各添加2个小正方体，可保持从正面看和从左面看的形状图不变，∴保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加4个，故答案为：4． 7. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是　　 个． 5【解析】由俯视图可知，该几何体只有一行，由主视图可知，该几何体有三列，其中从左边起第一列有1个小正方体，第二列和第三列都有两个小正方体， ∴1+2+2＝5（个）， ∴这个几何体的小正方体的个数是5．故答案为：5． 8. 若要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x+y＝　　 ． 8【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 1与x是相对面， 3与y是相对面， ∵相对面上两个数之和为6，∴x＝5，y＝3， ∴x+y＝5+3＝8．故答案为：8． 9. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． （1）请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； （2）如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加　　 块小正方体． 解:（1）这个组合体从左面、上面看到的图形为： （2）如图，在俯视图的相应位置标注所能添加的最多小正方体的个数如图所示， 所以最多可以添加1个小正方体．故答案为：1． 10. 如图所示的圆柱，它的底面半径为3cm，高为10cm． （1）该圆柱的截面有几种不同的形状？ （2）你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 解:（1）圆柱的截面可能是圆形、长方形、椭圆形、不规则三角形共4种不同的形状； （2）能，截面最大时，长为底面直径6cm，宽为10cm， 因此面积为10×6＝60（cm2）， 答：能截出截面最大的长方形，截得的最大的长方形的面积为60cm2． 【强化训练】 1. （2026•越秀区校级三模）我国科学家为建造月球基地，模拟月壤成分烧制出一种具有互锁结构的“月壤砖”（如图1），图2是“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． D【解析】从上面看得到的图形是，故D符合题意，故选：D． 2. （2026春•南岗区校级月考）两个圆柱的体积之差是30πcm3，如果将这两个圆柱分别切削成两个最大的圆锥，那么这两个圆锥的体积之差是（　　）cm3． A．30π B．20π C．10π D．无法确定 C【解析】设两个圆柱的体积分别为V1和V2， 由题意得 ， ∵削成的最大圆锥与原圆柱等底等高，圆锥体积是同底等高圆柱体积的， ∴两个圆锥的体积分别为和， ∴．故选：C． 3. （2026•吴忠校级模拟）由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（　　） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 C【解析】如图所示，根据三视图可以确定每个位置的小正方体数量，由俯视图可知最下面一层有6个小正方体，由左视图和主视图可知第二层有2个小正方体，第三次有1个小正方体， ， ∴组成这个几何体的小正方体的个数是1+1+1+1+2+3＝9个，故选：C． 4. （2026•路北区二模）在标准的骰子上，相对面上的点数之和为7．如图，四个骰子粘成一排，则整个表面上的点数之和最大是（　　） A．58 B．60 C．68 D．70 C【解析】由题意可得：一个标准的骰子整个表面上的点数之和为3×7＝21， ∴四个标准的骰子分开时整个表面上的点数之和为21×4＝84， ∴如图，骰子B、C粘成一排，不管哪一面粘合都减去点数2×7＝14， 要使整个表面上的点数之和最大需A、D粘合的面最小点数1， ∴整个表面上的点数之和最大是84﹣2×7﹣1×2＝68．故选：C． 5. （2025秋•达川区期末）用一个平面去截一个棱柱，得到的截面边数最多是20条，则这个棱柱有　20　 个面，有　　 条棱． 54【解析】由于用一个平面去截一个棱柱，得到的截面边数最多是20条，则这个棱柱有20个面，这个棱柱是十八棱柱，十八棱柱有18×3＝54条棱，故答案为：20，54． 6. （2025秋•贺兰县校级期末）如图①，A，B，C是正方体的三个顶点，过A，B，C三点的平面将正方体截去一个角，剩余部分是一个新几何体（如图②）．若这个新几何体有x个面，y条棱，z个顶点，则x+y﹣z＝　　 ． 12【解析】根据图象得这个新几何体多了一个面，少了三条棱同时加了三条棱，少了一个顶点． 即有12条棱，7个顶点，7个面，即x＝7，y＝12，z＝7， 则x+y﹣z＝7+12﹣7＝12．故答案为：12． 7. （2025秋•顺义区校级期末）如图，现有棱长为a的8个正方体堆成一个棱长为2a的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一个边长为2a的正方形，现如果要求从图中上面4个正方体中拿去2个，而三个视图的形状仍不改变，那么拿去的2个正方体的编号应为 ． A、C或B、D【解析】∵拿走既不在一行又不在一列上的2个正方体三个视图的形状仍不改变， ∴拿去的2个正方体的编号应为A、C或B、D．故答案为A、C或B、D． 8. （2025秋•建邺区校级期末）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“6”对面的数字是　　 ． 2【解析】由题意通过分析正方体骰子投掷时各面的相邻关系可知： 5的相邻面有1，2，3，6；3的相邻面有2，4，5，6， ∴5的对面是4；3的对面是1，∴6对面的数字是2．故答案为：2． 9.（2025秋•伊川县期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题： （1）a，d，f各表示几？ （2）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ （3）当b＝e＝3，c＝1时，画出这个几何体从左面看到的形状图． 解:（1）由主视图，俯视图可知a＝2，d＝f＝1； （2）这个几何体最少2+3+1+1+1+1＝9（个），最多2+3+3+3+1+1＝13（个）； （3）左视图为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $